2-6-一维无限深方势阱.pdf

2-6 一维无限深方势阱 ~ 1 ~ 2-6 一维无限深方势阱一维无限深方势阱 1. 一维自由粒子一维自由粒子 一维情形的薛定谔方程为  222d,,2dix tV xx ttm x (1) 分离变量后，得到定态薛定谔方程    222d 2dV xxExm xψψ (2) 对于自由粒子， 0V x ，薛定谔方程(1)变为 222d,,2dix tx ttm x (3) 而定态薛定谔方程(2)变为   222d 2dxExm xψψ (4) 我们曾经验证过一维平面波ipx Ete是方程(3)的解 现在， 我们通过求解方程来得到这个解从物理上考虑，E代表粒子的动能，因此我们推测0E 才有意义先假设0E ，令 22mEk  (5) 则方程(4)化为   2 2 2d0dxkxxψψ (6) 这是个二阶微分方程，对于确定的E（或k）值，两个线性无关的解可选为 ikxe和ikxe (7) 二者对应同一个能量值，因此能量E是二重简并的将(7)式添上时间因子iEti tee，得 i kxte和i kxte(8) 可以看出，两个解分别代表向右和向左传播的平面波。

参数k的含义是波数，两个解对应的波矢k分别为xke和xk e注意，通常将(8)式统一写为i kxte，此时k是波矢k的分量，可以取正值，也可以取负值 2-6 一维无限深方势阱 ~ 2 ~ 和三维自由粒子一样，现在用(8)式的两个平面波的适当线性叠加，也可以得到驻波解cosi tkx e和sini tkx e，它们同样是方程的两个线性无关的解，并且属于能量本征值E对于自由粒子，我们通常选择指数形式的解(8)式进行讨论，它们对应确定的动量值，其动量大小为pk 讨论 (1) 我们还漏掉一种情况，即0E 此时，方程(4)变成了 0xψ，其通解为 xAxBψ由于线性项Ax是发散的，必须排除，因此让0A由于0E ，时间因子1iEte，因此, x tB这当然也是不能归一化的，我们可以选择1B ，它是平面波(8)在0k 的特殊情形 (2) 以上基于物理上的考虑， 假设0E  从求解方程的角度来看，0E 有没有意义？此时，我们令2mE，注意0，此时方程(4)化为   2 2 2d0dxxxψψ (9) 这个方程的两个线性无关解为xe和xe。

它们分别在x和x时发散，因此不是模平方可积的，从而不代表物理上有意义的状态由此可知，在量子力学中，自由粒子的 能量是非负的，这和经典力学情形一样 通过傅里叶变换，可以得到平面波的动量分布设粒子的动量pp，得到 1,2πip x E tpx te，其中22pEm (10) 其中选择了合适的归一化系数对,0px进行傅里叶变换，得 11,0,0dd2π2πiipxpp xpc pxexexpp(11) 注意函数是个偶函数，因此pppp函数形式的动量分布，正是动量具有确定值的体现 2. 一维无限深方势阱一维无限深方势阱 设粒子在如下势场中运动  0,,xaV xxa(12) 2-6 一维无限深方势阱 ~ 3 ~ 这种势场称为一维无限深方势阱，势阱宽度为2a，如图 1 所示 图 1 一维无限深方势阱 在势阱外（xa） ， V x ，此时波函数只能为 0， 0x ψ这个结果，我们将在后面讨论有限深方势阱时证明 在势阱内（xa） ， 0V x ，粒子满足的定态薛定谔方程为   222d 2dxExm xψψ (13) 这和自由粒子满足的薛定谔方程相同，只是限制在势阱内部而已。

因此，这一段方程的解和自由粒子的解相同， 可以取为ikxe和ikxe， 也可以取为cos kx和sin kx 不过应当注意，虽然参数k仍由(5)式定义，但由于波函数限制在势阱内，因而不具有确定的波数和动量（见 后面讨论） 因此，这里k只是一个与能量E有关的参数，其含义见后面讨论对于束缚在 势阱内的粒子，取三角函数的解计算会更方便因此，方程的通解在势阱内的部分可写为  sincos,xAkxBkxxaψ (14) 由于波函数是连续的，因此在势阱两端，必须满足如下条件  0aaψψ (15) 注意，并非对于任何k值或E，波函数都能满足条件(15)，能够满足需要的E值就是能量本 征值利用条件(15)，可得 sincos0aAkaBka ψ (16)  sincos0aAkaBkaψ (17) 由此可得 sin0 cos0Aka Bka (18) 首先，,A B不能同时取非零值 其次， 如果,A B同时为零， 则波函数在势阱内外处处为零，2-6 一维无限深方势阱 ~ 4 ~ 这是薛定谔方程在任何情况下都有的平庸解 它是一个非平方可积的函数， 而且也不像平面 波那样在数学上很重要，因此今后我们不再提这个无用的平庸解。

因此，我们得到了两组解 0,cos0Aka (19) 0,sin0Bka (20) 由此可知，满足要求的k值为 π,1,2,2nkan (21) 相应的能量本征值为 2222π 8nnEma (22) 当n为奇数时，取第一组解  πcos,2nnxBxxaaψ (23) 当n为偶数时，取第二组解  πsin,2nnxAxxaaψ (24) 0n 时，依然得到平庸解n取负整数也会满足条件(19)或(20)，但得到的波函数最多与相 应正整数标记的波函数相差一个负号， 和后者描述同一个量子态， 因此我们限制n为正整数 两种情况的波函数可以合并为一个表达式  ππsin,220,nnnAxxaaxxa ψ (25) 其中1,2,n ， 这里我们补写了波函数阱外部分， 它恒等于零 薛定谔方程是个线性方程，因此有个未确定的常数因子A可以利用归一化条件来确定这个常数的模  2222ππdsind122anannxxAxxAaaψ (26) 选择A为实数，由此得到 1Aa (27) 因此  1ππsin,220,nnnxxaaxaxa ψ (28) 讨论 (1) 能量本征函数随着n的增加是奇偶交替的：n是奇数时， nxψ是偶函数；n是偶数时， nxψ是奇函数。

以后会知道， 当 V xVx时， 能量本征态具有确定的对称性 2-6 一维无限深方势阱 ~ 5 ~ (2) 势阱内（不包括势阱两端）波函数的零点称为节点节点随着能量的增加，波函数的节点逐次增加 1，基态无节点， nxψ有1n个节点 注意， 波函数的节点不可能同时为极值点 因为极值点意味着波函数的二阶导数大于零 （极小值）或者小于零（极大值） ，而根据定态薛定谔方程(2)，波函数的节点处二阶导数等 于零因此，节点是波函数与x的交点而不是切点 (3) 容易证明（作为练习题） ，不同的本征函数相互正交相互正交1，即当nm时   d0nmxxxψψ (29) 通常把正交性和归一性合并为   nmnmxx dxψψ (30) 称本征函数组 ,1,2,nxn ψ是正交归一正交归一的 (4) 本征函数组 ,1,2,nxn ψ是完备完备的也就是说，任何在势阱内的连续函数 f x都可以用这组函数来展开   0nn nf xcxψ (31) 其中    dnncx f xxψ (32) 注意(31)式仅在势阱内成立， 我们并未定义 f x在势阱外的值， 而等号右端在势阱外为零。

稍后我们将说明这个完备性为什么成立 (5) 将势阱往右平移a，即势阱内部的范围变为0~ 2a，由此得到不对称势阱不对称势阱等价的 说法是，把坐标原点选在势阱左端很明显，坐标原点的重新选择不影响能级能量本征函 数可以由(28)式做替换xxa 得到  1πsin,022 0,0,2nnxxaxaa xxa ψ (33) 势阱宽度仍为2a，可以做参数替换2aa 将势阱宽度变为a，此时能级和能量本征函数变为 2222π 2nnEma (34) 1 正交性的定义将在第三章给出 2-6 一维无限深方势阱 ~ 6 ~  2πsin,00,0,nnxxaxaa xxa ψ (35) 当然，也可以通过求解定态薛定谔方程来得到这个结果 对于这种不对称势阱，上述关于本征态的性质，比如节点数、正交归一性、完备性都成 立，这些性质和坐标原点和势阱参数的选择无关而函数的奇偶性，变成了关于势阱中心反 对称或者对称本征函数组(35)的完备性是显而易见的，因为根据傅里叶级数的理论，在 0~ a上的连续函数，都可以用正弦函数(35)来展开。

从细节上讲， 傅里叶级数是对周期函数进行展开， 所用的三角函数也是定义在无穷区间上的周期函数 比如， 已知函数 f x在0~ a上的定义， 先将 f x作奇延拓， 即在~ 0a上，定义 f xfx ，然后将函数以2a为周期延拓到整个实轴上因为是奇函数，所以傅里叶级数中只出现正弦，基波周期为2a这里我们只关注势阱内部分，将 f x用本征函数组(35)展开当然，也可以对 f x作偶延拓，再作周期性延拓，这样会得到余弦级数；或者直接以a为周期作周期性延拓，得到标准形式的傅里叶级数，此时基波的周期为 a而不是2a不过，这两种情况和这里的能量本征函数无关 (6) 仍然回到~aa范围的势阱的讨论将能量本征函数添上时间因子niE te，可得定态波函数（仅写出阱内部分）  ππ,sin,22nniiE tE tnnnnx tx eAxexaaψ (36) 利用欧拉公式，可以将其改写为指数形式 12ππ,expexp,22nnnininx tCxE tCxE txaaa(37) 我们已经将相因子π 2ninei吸收到了新的常数12,C C中 11 1211,22n nnCiCiaa (38) (37)式右端两项分别代表向右和向左传播的“平面波” ，二者叠加形成驻波。

这里加引 号的意思是，这两项不是真正的平面波，而只是平面波的一段真正的平面波必须是无限长平面波必须是无限长 的的，对应确定的动量值对应确定的动量值37)式右端两项都不具有确定的动量值，这通过傅里叶变换就能看出来和自由粒子一样，我们对0t 时刻的波函数进行变换即可 2-6 一维无限深方势阱 ~ 7 ~ ππ 2212111,0,0d2πdd2π2πππ12π22ipxininp xp xaaaaaannc pxexCCexexanniFpFpaa (39) 其中  sin/ /paF ppa (40) 由此可见，动量不具有确定值，而是有一个分布动量分布可以看作是分别以π 2npa与π 2npa 为中心两个“衍射函数”π 2nFpa与π 2nFpa的叠加由此可知，参数k的含义是两个“衍射。