几何与代数：习题解析第五章1.ppt

教学内容和学时分配教学内容和学时分配第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量教教 学学 内内 容容学时数学时数§5.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量2§5.2 相似矩阵相似矩阵2§5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化2§5.5 用用Matlab解题解题 1 特特 征征 值值 和和 特特 征征 向向 量量 | |   E E– –A A| = || = |   E E–(–(P P   1 1APAP)| )|       i i = tr( = tr(A A), ),      i i = | = |A A| | A A可逆可逆可逆可逆A A的的的的特征值特征值特征值特征值≠ ≠0 0, , 1/1/   是是是是A A   1 1的特征值的特征值的特征值的特征值; ;| |A A| |/ /   是是是是A*A*的特征值的特征值的特征值的特征值. . | |   E E– –A A| = || = |   E E– –A AT T| | A A    = =       f f( (A A) )    = =f f( (   ) )    对应于不同特征值的对应于不同特征值的对应于不同特征值的对应于不同特征值的 特征向量线性无关特征向量线性无关特征向量线性无关特征向量线性无关 A AT T= =A A      R,R,对应于不同对应于不同对应于不同对应于不同特征值的特征向量正交特征值的特征向量正交特征值的特征向量正交特征值的特征向量正交 性性性性 质质质质 应应应应 用用用用 计计计计 算算算算 定定定定 义义义义 相似对角化相似对角化相似对角化相似对角化 用用用用A A= =P P   P P    1 1 计计计计算算算算f f( (A A) =) =PfPf( (   ) )P P   1 1化实二次型为化实二次型为化实二次型为化实二次型为 标准形标准形标准形标准形 | |   E E– –A A| =| = 0 0 ( (   E E– –A A) )x x = = 0 0 A A    = =        其中其中其中其中            P P –1–1APAP=diag(=diag(   1 1,…,,…,   n n) )A A有有有有n n个个个个l.i.l.i.的特征向量的特征向量的特征向量的特征向量A A( (复复复复) )r r( (   i iE E   A A)=)=n n   n ni i A有有n个个不同特征值不同特征值A AA A的化零多项式的根的化零多项式的根的化零多项式的根的化零多项式的根可能是可能是可能是可能是但未必都是但未必都是但未必都是但未必都是A A的特征值的特征值的特征值的特征值. . §5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化•实对称矩阵实对称矩阵实对称矩阵实对称矩阵的特征值均为的特征值均为的特征值均为的特征值均为实数实数实数实数. . • 实对称阵对应于实对称阵对应于不同不同特征值特征值的的特征向量特征向量正交正交.ThTh5.7 5.7 任意任意n阶实对称阵总可以阶实对称阵总可以正交相似对角化正交相似对角化, 存在正交阵存在正交阵Q, 使得使得Q–1AQ= =diag( 1, 2,…, n),其中其中Q = (q1,q2,…,qn)的列向量组是的列向量组是A的的对应于特对应于特征值征值 1,  2, …, n的的标准正交标准正交特征向量组特征向量组.正交正交特特征向量征向量1. l.i.特征向量再由特征向量再由Schmidt正交化法正交正交化法正交2. 由由1个个特量及特量及正交方程组解其他正交特量正交方程组解其他正交特量实对称矩阵对角化的反问题：实对称矩阵对角化的反问题：实对称矩阵对角化的反问题：实对称矩阵对角化的反问题：Q–1AQ=QTAQ=   A=Q QT=Q Q–1P–1AP=   A=P P–1无需正交标准化无需正交标准化无需正交标准化无需正交标准化, , 但需求逆但需求逆但需求逆但需求逆正交标准化正交标准化正交标准化正交标准化, , 但不需求逆但不需求逆但不需求逆但不需求逆  f, f(A) = Qf( )QT  关于相似对角化与正交相似对角化关于相似对角化与正交相似对角化实对称矩阵对角化的反问题：实对称矩阵对角化的反问题：实对称矩阵对角化的反问题：实对称矩阵对角化的反问题：Q–1AQ=QTAQ=   A=Q QT=Q Q–1•不是任不是任不是任不是任一个方阵一个方阵一个方阵一个方阵A A都可以相似对角化，只有当都可以相似对角化，只有当都可以相似对角化，只有当都可以相似对角化，只有当A A有有有有n n个个个个线性无关的特征向量时才可相似对角化；线性无关的特征向量时才可相似对角化；线性无关的特征向量时才可相似对角化；线性无关的特征向量时才可相似对角化；•实对称矩阵必可正交相似对角化，也可以相似对角化实对称矩阵必可正交相似对角化，也可以相似对角化实对称矩阵必可正交相似对角化，也可以相似对角化实对称矩阵必可正交相似对角化，也可以相似对角化. .•若实方阵若实方阵若实方阵若实方阵A A可以正交相似对角化，则可以正交相似对角化，则可以正交相似对角化，则可以正交相似对角化，则A A必是实对称矩阵必是实对称矩阵必是实对称矩阵必是实对称矩阵. . AT=(Q QT)T =Q TQT =Q QT =A•一般方阵若能相似对角化，不一定能正交相似对角化一般方阵若能相似对角化，不一定能正交相似对角化一般方阵若能相似对角化，不一定能正交相似对角化一般方阵若能相似对角化，不一定能正交相似对角化. .•只有要求正交相似对角化时才需正交化标准化只有要求正交相似对角化时才需正交化标准化只有要求正交相似对角化时才需正交化标准化只有要求正交相似对角化时才需正交化标准化. .P–1AP=   A=P P–1无需正交标准化无需正交标准化无需正交标准化无需正交标准化, , 但需求逆但需求逆但需求逆但需求逆正交标准化正交标准化正交标准化正交标准化, , 但不需求逆但不需求逆但不需求逆但不需求逆  f, f(A) = Qf( )QT 等价关系汇总等价关系汇总等价关系汇总等价关系汇总等价等价关系关系定义定义矩阵矩阵定定 义义等价类等价类代表代表不变量不变量 Rn nRm n相抵相抵相抵相抵相似相似正交正交相似相似Rn n,实对称实对称相抵相抵标标准形准形为为初等初等阵阵 i为特征值为特征值 ①①秩秩 ②②特征值特征值,迹迹,行列式行列式 ①②①② ①①秩秩 若若A可相似可相似对角化对角化 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 证明：证明：5. .设设n阶方阵阶方阵A的任一行中的任一行中n个元素之和都是个元素之和都是 0, 证明：证明： 0是是A的一个特征值的一个特征值, 并求出其对应的一并求出其对应的一个特征向量个特征向量.所以所以 0是是A的一个特征值的一个特征值.对应对应 0的一个特征向量为的一个特征向量为•设设n阶方阵阶方阵A可逆，且可逆，且A每行元素之和都等于每行元素之和都等于a ，，证明：证明： a   0.证明证明: a   0. A每行元素之和都等于每行元素之和都等于aa是是A的特征值，的特征值，(1,…,1)T是是A对应于对应于a的特征向量的特征向量方阵方阵A可逆可逆 A的特征值都不等于的特征值都不等于0A 1每行元素之和等于每行元素之和等于?解：解：因此，对于因此，对于A的任意的特征值的任意的特征值 都有都有因因为为A满满足足A2 3A+2E=O 是是A的一个化零多的一个化零多项项式，式， 所以所以A的特征的特征值值只能取只能取1,2。

2) 当当A=E时，时， 2不是不是A的特征值的特征值. 1不是不是A的特征值的特征值. 6. 设设矩矩阵阵A满满足足A2 3A+2E=O, 证证明：明：A的特征的特征值值只只能取能取1或或2，，举举例例说说明明1和和2未必一定是未必一定是A的特征的特征值值.A满满足足A2 3A+2E=O当当A=2E时，时， A满满足足A2 3A+2E=O解：解：对于对于A的任意的特征值的任意的特征值 都有都有因因为为A满满足足A2= E 是是A的一个化零多的一个化零多项项式，式， 所以所以A的特征的特征值值只能取只能取1,  12)若若 1不是不是A的特征的特征值值，，7. 设设矩矩阵阵A满满足足A2 = E, 证证明：明：A的特征的特征值值只能只能取取1或或 1; 若若 1不是不是A的特征的特征值值，，则则A = E.•  是是方阵方阵A的一个特征值的一个特征值  ( E A)不可不可逆逆.•  不是不是方阵方阵A的特征值的特征值  ( E A)可逆可逆.则则( 1E A)可可逆逆.由由A2= E 可得可得(A+ E) (A  E) =O则则A = E.解：解：即存在非零向量即存在非零向量x,y,z, 使得使得有非零解有非零解所以所以A的三个特征值为的三个特征值为1, 3,  1.8. 设设A为为3阶阶矩矩阵阵，如果，如果E A, 3E A, E+A均均不可逆，求不可逆，求A的迹和行列式的迹和行列式.因因为为E A, 3E A, E+A均不均不可逆可逆•  是是方阵方阵A的一个特征值的一个特征值  ( E A)不可不可逆逆.•  不是不是方阵方阵A的特征值的特征值  ( E A)可逆可逆.证明：证明：14. .设设 1, 2为为方阵方阵A的属于不同特征值的属于不同特征值 1, 2的特征的特征向量，若向量，若k1k2  0, 证明证明k1 1+k2 2 不是不是A的特征向量的特征向量.若若k1 1+k2 2 是是A的特征向量的特征向量, 则存在则存在  使得使得因为因为 1, 2线性无关线性无关产生矛盾产生矛盾.因此，因此，k1 1+k2 2 不是不是A的特征向量的特征向量.证明证明2：：因因为为 1,  2为对应为对应于于 1  2 的特征向量，的特征向量，所以所以 1,  2线性无关线性无关, 设设k1 1+k2 2为对应为对应 的特征向量的特征向量.矛盾矛盾. 当当 ，，线线性无关性无关, 矛盾矛盾.当当14. .设设 1, 2为为方阵方阵A的属于不同特征值的属于不同特征值 1, 2的特征的特征向量，若向量，若k1k2  0, 证明证明k1 1+k2 2 不是不是A的特征向量的特征向量.k1 1+k2 2    k1 1+k2 2,  1,  2 因此，因此，k1 1+k2 2 不是不是A的特征向量的特征向量15. (6)解：当解：当a=0时，时，A=O可以相似对角化可以相似对角化.当当a 0时，时，A的特征值为的特征值为0 (n 1重重), na. (过程过程略略) 1 1 1注意：要有中间过程，注意：要有中间过程，不能直接写结果！不能直接写结果！16. .设设 的一个特征向量的一个特征向量. (1) (1) 求求求求a,ba,b及及及及   对应的特征值对应的特征值对应的特征值对应的特征值. . (2) (2) A A能否相似对角化？能否相似对角化？能否相似对角化？能否相似对角化？解：解：(2)trA trA = 3 = = 3 =  1+ 2+ 3 2+ 3=4|A| |A| = =    4 = 4 =   2 3 2 3=4 2= 3=2所以所以所以所以A A不能相似对角化不能相似对角化不能相似对角化不能相似对角化. .16. .设设 的一个特征向量的一个特征向量. (1) (1) 求求求求a,ba,b及及及及   对应的特征值对应的特征值对应的特征值对应的特征值. . (2) (2) A A能否相似对角化？能否相似对角化？能否相似对角化？能否相似对角化？解：解： (2) 法法2：： 2= 3=2所以所以所以所以A A不能相似对角化不能相似对角化不能相似对角化不能相似对角化. .A A的特征值可由特征方程求得的特征值可由特征方程求得的特征值可由特征方程求得的特征值可由特征方程求得. .若若若若A A能与对角阵能与对角阵能与对角阵能与对角阵 相似相似相似相似. . 则则则则19. .设设 相似相似. 求求x,y, 并求并求可逆阵可逆阵P, 使得使得使得使得P 1AP= . (1) (1) A A与与与与B B相似，则有相同的特征值相似，则有相同的特征值相似，则有相同的特征值相似，则有相同的特征值. .解：解：21. 21. 若二阶实方阵若二阶实方阵若二阶实方阵若二阶实方阵A A满足满足满足满足| |A A|<0, |<0, 证明：证明：证明：证明：A A与对角阵相似与对角阵相似与对角阵相似与对角阵相似. .trA trA = = x x   1 = 1 = y y+ +1证明：设证明：设证明：设证明：设 y =  2.x = 0.二阶实方阵二阶实方阵二阶实方阵二阶实方阵A A有两个不同的特征值，有两个不同的特征值，有两个不同的特征值，有两个不同的特征值，所以与对角阵相似所以与对角阵相似所以与对角阵相似所以与对角阵相似. .因因因因 A A有一个特征值有一个特征值有一个特征值有一个特征值   2 2，，，，因为因为因为因为| |A A| | < 0，，20. 若若任意任意n维列向量都是维列向量都是n阶方阵阶方阵A的特征向量的特征向量, 证明：证明：A是数量矩阵是数量矩阵.证明证明证明证明1 1：：：：显然显然e1, e2, …, en都是都是A的特征向量的特征向量，，所以所以Aei = iei =Ai 20. 若若任意任意n维列向量都是维列向量都是n阶方阵阶方阵A的特征向量的特征向量, 证明：证明：A是数量矩阵是数量矩阵.证明证明证明证明2 2：：：：显然显然e1, e2, …, en都是都是A的特征向量的特征向量，，所以存在可逆阵所以存在可逆阵P = (e1, e2, …, en) = E 使得使得20. 若若任意任意n维列向量都是维列向量都是n阶方阵阶方阵A的特征向量的特征向量, 证明：证明：A是数量矩阵是数量矩阵.证明证明证明证明3 3：：：：任意任意n维列向量维列向量 都是都是A的特征向量的特征向量，，所以所以A  =  ，，. 所以所以 ( E  A)  =   的非零解为的非零解为任意任意非零向非零向量量显然显然e1, e2, …, en都是都是( E  A)  =   的的解解，，所以所以e1, e2, …, en是是( E  A)  =   的基础的基础解系解系.所以所以 n  r( E  A) = n .r( E  A) = 0 .A=O也成立，故也成立，故A不可逆不可逆.   不是方不是方阵阵，不存在逆，不存在逆矩矩阵阵和行列式！和行列式！22. 设设 求求A=T的特征值的特征值, 并证明：并证明：A可以相似对角化可以相似对角化 T    0.证明：证明：证明：证明：A的特征值为的特征值为0(n 1重重),  T  (过程略过程略)若若 T  =0, 则则0是是n重根。

重根 所以所以 r(0E  A) = r(A) = 1  n  n = 0.从而从而A不可以相似对角化不可以相似对角化. 矛盾矛盾.必要性：必要性：必要性：必要性：充分性：充分性：充分性：充分性：若若 T    0,设设 T 对应的特征向量为对应的特征向量为 0对应的对应的n 1线性无关的特征向量为线性无关的特征向量为 1,…,  n-1则则 , 1,…,  n-1线性无关线性无关.所以所以A可相似对角化可相似对角化.§5.5 §5.5 用用MatlabMatlab解题解题 §5.5 用用Matlab解题解题 一一. 求矩阵的特征值和特征向量求矩阵的特征值和特征向量  >> A=[1,2,3;0,1,2;0,0,2]; [P,D]=eig(A) >> P = 1.0000 -1.0000 0.9526 0 0 0.2722 0 0 0.1361 1 0 0 0 1 0 0 0 2 D = 第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量 注注: 这里这里P不可逆不可逆.2重根重根1只只有有1个个l.i.特征向量，故特征向量，故A不不相似于对角阵相似于对角阵. 但由此可得但由此可得A的特征值和特征向量的特征值和特征向量. %%返回返回A所有特征所有特征值组值组成的成的矩阵矩阵D和特和特征向量组成的矩阵征向量组成的矩阵P.特征特征值值从小到大从小到大§5.5 §5.5 用用MatlabMatlab解题解题 §5.5 用用Matlab解题解题 一一. 求矩阵的特征值和特征向量求矩阵的特征值和特征向量  >> A=[1,2,3;0,1,2;0,0,2]; [P,D]=eigs(A) >> P = 0.9526 -1.0000 1.00000.2722 0 00.1361 0 02 0 0 0 1 0 0 0 1 D = 第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量 注注: 这里这里P不可逆不可逆.2重根重根1只只有有1个个l.i.特征向量，故特征向量，故A不不相似于对角阵相似于对角阵. 但由此可得但由此可得A的特征值和特征向量的特征值和特征向量. %%返回返回A所有特征所有特征值组值组成的成的矩阵矩阵D和特和特征向量组成的矩阵征向量组成的矩阵P.特征特征值值从大到小从大到小>> >> §5.5 §5.5 用用MatlabMatlab解题解题  A=[1,2,3,4;4,1,2,3;3,4,1,2;2,3,4,1]; A=[1,2,3,4;4,1,2,3;3,4,1,2;2,3,4,1]; [P,D]=eig(A) [P,D]=eig(A) >> >> P = P = -0.5000 0.5000 -0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.0000-0.5000i -0.5000 -0.0000-0.5000i 0.0000+0.5000i 0.0000+0.5000i 0.5000 0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 0.0000+0.5000i -0.5000 0.0000+0.5000i -0.0000-0.5000i -0.0000-0.5000i 0.5000 0.5000 D = D = 10.0000 0 0 0 10.0000 0 0 0 0 -2.0000+2.0000i 0 0 0 -2.0000+2.0000i 0 0 0 0 -2.0000-2.0000i 0 0 0 -2.0000-2.0000i 0 0 0 0 -2.0000 0 0 0 -2.0000第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量 >> §5.5 §5.5 用用MatlabMatlab解题解题  A=[0,1,1,1;1,0,1,1;1,1,0,1;1,1,1,0]; [P,D]=eig(A) %若若A为对为对称称阵阵,则则P为为正交正交阵阵 >> P = 0.7887 -0.2113 0.2887 0.5000 -0.2113 0.7887 0.2887 0.5000 -0.5774 -0.5774 0.2887 0.5000 0 0 -0.8660 0.5000 D = -1.0000 0 0 0 0 -1.0000 0 0 0 0 -1.0000 0 0 0 0 3.0000 二二. 求正交矩阵将实对称矩阵化成对角矩阵求正交矩阵将实对称矩阵化成对角矩阵 第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量 §5.5 §5.5 用用MatlabMatlab解题解题 实验实验2：比赛排名问题：比赛排名问题 第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量 M=[0 1 0 1;0 0 1 1;1 0 0 0;0 0 1 0];e=ones(4,1);a=input(‘input a:’) %输入精度输入精度a,一般一般<10^-5s=M*e;s=s/sum(s); %归一化归一化ss1=M*s;s1=s1/sum(s1); %归一化归一化s1k=1;while max(abs(s-s1))>a %精度检验精度检验s=s1;s1=M*s;s1=s1/sum(s1);k=k+1;ends1保存保存为为mingci.m §5.5 §5.5 用用MatlabMatlab解题解题 实验实验2：比赛排名问题：比赛排名问题 第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量 保存保存为为mingci.m >>mingci >> input a: 10^-10>>s1 = 0.3213 0.2833 0.2303 0.1650。