小题压轴题专练14—数列（1）新课标试卷.doc

小题压轴题专练14—数列（1）一、 单选题1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足sin（a4﹣1）+2a4﹣5＝0，sin（a8﹣1）+2a8+1＝0，则下列结论正确的是（　　）A．S11＝11，a4＜a8 B．S11＝11，a4＞a8 C．S11＝22，a4＜a8 D．S11＝22，a4＞a8解：sin（a4﹣1）+2a4﹣5＝0，sin（a8﹣1）+2a8+1＝0，∴sin（a4﹣1）+2（a4﹣1）﹣3＝0，sin（1﹣a8）+2（1﹣a8）﹣3＝0，令f（x）＝sinx+2x﹣3，可得f′（x）＝cosx+2＞0，因此函数f（x）在R上单调递增．又f（1）＝sin1﹣1＜0，f（2）＝sin2+1＞0，因此函数f（x）在（1，2）内存在唯一零点．∴a4﹣1＝1﹣a8，1＜a4﹣1＜2，1＜1﹣a8＜2，∴a4+a8＝2，2＜a4＜3，﹣1＜a8＜0，∴S11＝＝＝11，a4＞a8，故选：B．2．非负实数列前项和为．若分别记与前项和为与，则的最大值与最小值的差为，则　　A．2 B． C．3 D．解：由题设和柯西不等式可得：，当且仅当且时取“ “，的最小值为1，又，当且仅当且时取“ “，的最大值为，，故选：．3．已知数列满足，则一定成立的是　　A． B． C． D．解：，，，，，将上面的式子相加得到：，即，，令，当时，，故当时，，即，，又，，即，，，故选：．4．已知数列的前项和为，且，记数列的前项和为若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为　　A． B． C． D．解：由，可得，所以，所以，当时，，所以，满足上式，所以，，所以，，两式相减得，，所以，所以，所以，令，，故当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以，的最小值为．故选：．5．已知数列满足对任意的，总存在，使得，则可能等于　　A． B． C． D．解：数列满足对任意的，总存在，利用特值法检验，对于选项：当时，，则，令时，不存在；对于选项：当时，，则，取，即可；对于选项：当时，，则，令时，不存在；对于选项时，，当时，，不存在，使得，所以不存在，故选：．6．已知数列，满足，，设数列的前项和为，则以下结论正确的是　　A． B． C． D．解：，把代入递推可得：，令，，则，在单调递增，，即当时，恒有成立，，，，故选项错误；又，选项错误；，，令，，则，函数在，上递减，，，故选项正确；又由可得，，（当且仅当时取“ “，可得，，故选项错误，故选：．7．正整数称为理想的，若存在正整数使得，，构成等差数列，其中为组合数，则不超过2020的理想数个数为　　A．40 B．41 C．42 D．前三个答案都不对解：由题意可得 构成等差数列，则，化简可得，以 为主元整理，则，题意转化为存在正整数使得成立，于是 为完全平方数，设，，令，因为（1），故，因为，则．若，因为， 奇偶性相反，故对于任意 都满足题意．综上，满足题意的有 42 个，故选：．8．在正项数列中，，则下列说法正确的是　　A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则解：由，可得，因为，可得，；或，；故，均不正确；若，由数学归纳法假设时，，时，，，即有，，综上可得，，，则，，则，上式当或11时，取得等号，故选：．9．已知数列中，，，记，，，给出下列结论：①；②；③；④，则　　A．①③正确 B．①④正确 C．②③正确 D．②④正确解：，，，，，，，，，，，同号，，，，即，，不恒成立，故①错误；，，故②正确；，，若，则，不可能恒成立，不能恒成立，故③错误；，，，，故④正确．故选：．10．已知数列满足：，，前项和为，则下列选项错误的是　　（参考数据：，A．是单调递增数列，是单调递减数列 B． C． D．解：由，得，，令，即，则，，．作图如下：由图可得：．是单调递增数列，是单调递减数列，因此正确；．，，，，，，，，因此正确；．，，因此不正确；．由不动点，，得，可得：，，因此正确．故选：．二、 多选题11．下面是关于公差的等差数列的几个命题，其中正确的有　　A．数列递增 B．数列是递增的等差数列 C．若，为的前项和，且为等差数列，则 D．若，则方程有唯一的根解：、设等差数列的首项为，公差，则，所以数列是递增数列，故选项符合题意；、，所以数列是以为首项，为公差的等差数列．，该数列是递增的等差数列，故选项符合题意；、由得到：．由为等差数列可设：．即．所以当恒成立时，，，．所以，或．当时，．当时，．综上所述，或．故选项不符合题意；、由，得，又因为数列递增，所以当时，递增，当时，递增．所以最小值是或，所以．由当时，．故当且仅当时，，故选项符合题意．故选：．12．已知数列满足：，．则下列说法正确的是　　A．数列先增后减 B．数列为单调递增数列 C． D．解：因为，所以，令，则，在上单调递增，在上单调递减，（3）可得：，则，故数列是单调递增数列，，，，，，故选：．13．如图，已知点是平行四边形的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是　　A． B．数列是等比数列 C． D．解为中点，，，又、、三点共线，，又，，化简可得，，数列是等比数列．又，，，，．故选：．14．设为不超过的最大整数，为可能取到所有值的个数，是数列前项的和，则下列结论正确的有　　A． B．190是数列中的项 C． D．当时，取最小值解：当时，，，，，故，即，当时，，，，，，，故，，即，当时，，，，1，，，，，故，1，4，，即，以此类推，当，，时，，1，2，，，，，，，故可以取的个数为，即，当时也满足上式，故，对，，故正确；对，令，即无整数解，故错误；对，，则，，故正确；对，，当且仅当时取等号，，当时，，当时，，故当时，取最小值，故正确．故选：．三、 填空题15．已知数列，均为正项等比数列，，分别为数列，的前项积，且，则的值为　　．解：数列，均为正项等比数列，它们的公比分别为、，，分别为数列，的前项积，，,,解得,；由,,解得,；,则,故答案为：16．已知正项递增数列的前项和为，若，，设，则　 　．解：由，化为：，解得或，数列是正项递增数列，取，数列是等差数列，首项为1，公差为2，，．，则当时，；当时，．．故答案为：．17．已知数列的前项和为，且，当时，，则　　；若且，则　　．解：当时，有，即，解得：，又当时，，由可得：，又，，，又，，数列是首项为1，公差为1的等差数列；数列是首项为0，公差为1的等差数列，，，，且，，易知与奇偶性相同，当为奇数时，有，解得：；当为偶数时，有，解得：，综上，或50，故答案为：；53或50．18．已知数列，，且，则　　，　　．解：因为，所以；由，可得，即有，由，，，，，，所以当，，上式相乘可得，，即为；当，时，，可得，所以，当，时，．故答案为：，．。