2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题（北师大版2019选择性必修第一册第1-3章：直线与圆 圆锥曲线 空间向量与立体几何）（全解全析）.docx

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回4．测试范围：北师大版（2019）选择性必修第一册第一章~第三章（直线与圆+圆锥曲线+空间向量与立体几何）5．难度系数：0.65第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意，.故选A.2．已知分别是平面的法向量，若，则（ ）A． B． C．7 D．1【答案】C【解析】因为，又，所以，所以，解得，故选.3．在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置不可能为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】圆的圆心坐标为，半径为，直线过圆内定点，斜率可正可负可为0，ABD选项都有可能，C选项不可能.故选C.4．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若四边形的周长为12，则椭圆的短半轴长为（ ）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】D【解析】依题意，，由椭圆对称性，得线段互相平分于原点，则四边形为平行四边形，由椭圆的定义得，解得，所以椭圆的短半轴长.故选D.  5．在长方体中，已知，，E为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，∴，设直线与所成角为，则，即异面直线与所成角的余弦值为.故选A.6．已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由于点满足关系式，且，可知段上移动，且设，则，因为点段上，所以的取值范围是，故选A.  7．已知抛物线的焦点为F，过F的直线交E于A，B两点，点P满足，其中O为坐标原点，直线AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D，记，的面积分别为，，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据已知条件作出图形，如图所示由题意知，又，所以.显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，Ax1,y1，，由，得，显然，所以.显然直线BD的斜率不为0，设，直线BD的方程为，由，得，显然，所以，又，所以，设，同理可得，.故选C.8．已知圆与圆，过动点分别作圆､圆的切线（分别为切点），若，则到圆距离的最小值是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题，，因为，则，即，化简得，即动点在直线上，  圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，所以到圆距离的最小值是.故选A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）  A．CC1⊥BD B．C．夹角是60° D．直线与直线的距离是【答案】ABD【解析】如图，设，则  对于A，因，则，故A正确；对于B，因，，则，故B正确；对于C，，则，且设夹角为，则，因，则，即C错误；对于D,在平行六面体中，易得,则得,故,故点到直线的距离即直线与直线的距离.因，且，则，故D正确.故选ABD.10．已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，过点且倾斜角为的直线l与双曲线的右支交于A、B两点（A在第一象限），则下列说法中正确的是（ ）A．双曲线C的虚轴长为 B．C．的周长的最小值为16 D．当时，的内切圆面积为【答案】BCD【解析】对于A:因为，所以虚轴长为，A错误；对于B:因为双曲线渐近线方程为，倾斜角分别为，过点且倾斜角为的直线l与双曲线的右支交于A、B两点,得出B正确；对于C:的周长为,结合双曲线的定义，设双曲线的右焦点为，，当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为，则当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为联立，消去，得，又，故或,而，所以当直线AB与x轴垂直时，的长最小，即最小值为，的周长最小值为，故C正确；对于D: 当时, 设直线AB的方程为联立，消去，得，，当时,A点坐标 ，，的周长，设的内切圆半径为r，则，解得，因此的内切圆面积为，D正确.故选BCD.11．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）A．的最大值为5 B．的最大值为C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4【答案】BC【解析】圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径.，Px0,y0是圆上的点，所以的最大值为，A选项错误.如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大，此时，且，B选项正确.直线，即，过定点，若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，即，解得，所以C选项正确.圆心到直线的距离，当时，，当时，，所以D选项错误.故选BC.第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 .【答案】2【解析】解法一：如图，由可知，设，由定义，的面积为.解法二：如图，的面积为.故答案为：2.13．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形状体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，，动点段MN上运动，若，则 .  【答案】【解析】如图，取的中点，连接AE交于点．  因为M，N分别是的中点，所以．因为平面，所以平面．因为平面EMN，所以平面平面，点在平面EMN内，所以由等和面定理可知，．故答案为：.14．已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为 .【答案】【解析】如图，为直线上的任意一点，过圆心作，连接，由，可得，由，当共线时取等号，又是的中点，所以，所以.则此时，的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知直线：，：，且满足，垂足为C.（1）求m的值及点C的坐标.（2）设直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，求△ABC的外接圆方程.【解析】（1）解：显然，可得，，-----------------------------------------2分由，可得，即，解得，----------------------------3分所以直线：，直线：，------------------------------------------------------4分联立方程组，解得，所以点．------------------------------------------6分（2）解：由直线：，直线：，可得，，------------8分所以△ABC的外接圆是以为直径的圆，-----------------------------------------------------------10分可得圆心，半径，---------------------------------------------------------------------12分所以△ABC的外接圆方程是．------------------------------------------------------13分16．（15分）已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程.【解析】（1）抛物线的焦点为，----------------------------------------------------------------1分由题意得，解得，，--------------------------------------------------------------4分所以椭圆的方程为.-------------------------------------------------------------------------------5分（2）直线的斜率存在，设斜率为，直线的方程为，即，-----------------------------------------------------7分联立，消去得：，-------------------------------------------------9分设，因为，即，--------------------------------------------------------------------10分所以，解得，此时满足题意----------------------------------------------------------------------------------13分所以所求直线的方程为.------------------------------------------------------------------15分17．（15分）如图，在直三棱柱中，D，E，F分别为AB，BC，的中点．  （1）证明：平面；（2）若，，，求点E到平面的距离．【解析】（1）因为为直三棱柱，所以，又D，E，分别为AB，BC的中点，所以，-----------------------------------------------2分所以，----------------------------------------------------------------------------------3分又平面，平面，--------------------------------------------------------------4分所以平面.--------------------------------------------------------------------------------------5分（2）因为为直三棱柱，且，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，-----------------------------------------7分设，且，则，则，，------------------------------------------------------------。