特殊的四边形(归纳).doc

特殊的平行四边形知识点一：矩形的定义要点诠释：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形嘿嘿嘿）知识点二：矩形的性质要点诠释：矩形具有平行四边形所有的性质此外，它还具有如下特殊性质：1. 矩形的四个角都是直角；2. 矩形的对角线相等；推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3. 矩形是轴对称图形也是中心对称图形知识点三：矩形的判定方法要点诠释：1.用矩形的定义：一个角是直角的平行四边形是矩形；2. 有三个角是直角的四边形是矩形；3. 对角线相等的平行四边形是矩形；4. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形知识点四：菱形的定义要点诠释：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.知识点五：菱形的性质要点诠释：菱形具有平行四边形一切性质，此外，它还具有如下特殊性质：1. 菱形的四条边相等2. 菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角3. 菱形是轴对称图形也是中心对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴知识点六：菱形的判定办法要点诠释：1.用菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2.四条边都相等的四边形是菱形；3.对角线垂直的平行四边形是菱形；4. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

知识点七：正方形的定义要点诠释：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形知识点八：正方形的性质要点诠释：1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等；2.正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；3.正方形既是轴对称图形也是中心对称图形知识点九：正方形的判定方法要点诠释：1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2.有一组邻边相等的矩形是正方形；3.有一个角是直角的菱形是正方形.归纳整理，形成认知体系1．复习概念，理清关系正方形菱形有一个角是直角,且有一组邻辺相等袒形2．集合表示，突出关系3．性质判定，列表归纳平行四边形矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角对角相等四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角判定•两组对边分别平行；•两组对边分别相等；•一组对边平行且相等;•两组对角分别相等；•两条对角线互相平分.•有三个角是直角;•是平行四边形且有一个角是直角;•是平行四边形且两条对角线相等.•四边相等的四边形；•是平行四边形且有一组邻边相等；•是平行四边形且两条对角线互相垂直。

•是矩形，且有一组邻边相等；•是菱形，且有一个角是直角对称性只是中心对称图形既是轴对称图形，又是中心对称图形S=ahS=abS=d,d为菱"条对角线的长0S=”类型一：矩形a1U如图，在矩形BOC=120°．求：（1DD0,已知AC=6cm,D思路点拨ABCD中，对角线AC、BD相交于点1）要求口：本题是对矩形性质的考查（ACB000,0000BOCD120°,在口BOC中，由矩形的性质,0OBDOC,从00OBC=0ACBU由此可求出0ACB．（2）在RtUACB中，对角线AC=6cm,0D1D问已求出0ACB=3O°,因此AB即可求出口然后利用勾股定理求出BC的长口总结升华：矩形问题通常通过对角线将其转化为等腰三角形或直角三角形来解决．举一反三：【变式1】已0ABCD的对角线ABD4cm,求这个平行四边形的面积AC,BD相交于O,△ABO是等边三角形，计算矩形□ABCD为矩形2D求出RtUABC0直角边BC的长03DABUBC解析：D四边形ABCD是平行四边形DUABOD△DCOUDUABO是等边三角形DUDCO也是等边三角形，即AODBODCODDO1）先判定思路点拨：（ABCD0面积为DACDBDD□ABCD为矩形。

DABD4cm,ACDAO+CODACD8cm在RtUABC中，由勾股定理得：4AC2-AB1=屈-牢=4^3cmDOOABCD的面积为：cm2【变式2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AEDBD于E,则：(1DDOODBAE相等的角有；(2DODAOB=60°,则AB：BDD图中△DOC是三角形(按边分)．类型二：菱形2DOD,BD是口ABC中DABC的平分线，DE//BC交AB于E,DF//AB交BC于F.试判断四边形思路点拨:此题条件中有角分线有平行线,一般会有等腰三角形存在解析：DDE//BC,DF//ABDDE//BF,DF//EB,D2=D3.D四边形BFDE是菱形.总结升华：菱形的四条边都相等,对角线互相垂直且平分一组对角问题时,经常要用到菱形的这些特殊性质在解决菱形的有关举一反三：【变式1】已知如图,平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F试判断四边形DAE=EC,D1=D2D平行四边形ABCD可得AE//FCDD1=D3DD3=D2在直角三角形EOC和FOC中，DOEC=DOFCDCE=CFDAE=CFAFCE的形状并说明理由【答案】:DEF是AC的垂直平分线D四边形EBFD是平行四边形又DBD平分DABCDD1=D2DD1=D3DBE=EDDAE=FC且AE//FCD四边形AFCE是菱形【变式2】（贵州贵阳）如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别为边AB,CD的中点，连接DE,BF,BD1）求证：AADE口2）若皿丄屈°，则四边形BFDE是什么特殊四边形?解：（ABDCD．（2）若【变式请证明你的结论．1）在平行四边形ABCD中，DADDC,DE,F分别为AB,CD的中点AE=CFADD证明：DEAD=2D【答案】设DADDCB,LxADE口BD,则四边形BFDE是菱形．AD:LED,仏朋°是RtZX，且AB是斜边（或丁丑是曲的中点，DE=^AB=BE由题意可知••四边形3】已知如图,菱形BAE,求证：由菱形在三角形EBIIDF且EB=DFABCD中，AM=BE。

BAE为x度，DEAD为ABCD可知AD//BC且AEB=DEAD=（2x）°,Dx=36°^ADB=90aE是BC上一点，2x度，BD平分DABD=DABE中，x+2x+2x=180°ABM中，DABM=DBAM=36°,DABC,DBC=x°AM=BMEBM中，DBME=DBEM=72°,DBM=BED类型三：正方形AM=BEAE、丑是正方形AB上任意一点，过点DAE与口ABCD中，G是CD上一点，延长BCDE于FD90°得到△DAEU,判断四边形EDBGD是什么特B°的延长线于点思路点拨：证明两条线段相等的方法有很多种，而本题中DCF中，结合正方形的性质，我们可以证明口边相等来说明举一反三：【变式1】(青岛市中考)已知：如图，在正方形到E,使CEDCG,连接BG并延长交(1) 求证：△BCG叮DCE；(2) 将口DCE绕点D顺时针旋转殊四边形？并说明理由答案】(1)证明：D四边形为正方形DBCDCD,DBCGDDDCED90°DCGDCE,DUBCG叮DCE(2)答：四边形EDBGD是平行四边形理由：叮DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAEDDCEDAEDDCGDCEDCGDAEDDABDCD,ABDCD,DBEDDDG,BEDDDG,D四边形EDBGD是平行四边形【变式2】如图B、CDE是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形,连接BG、DE.(1)观察猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论.(2)在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由【答案】(1)BG=DEDODOABCD和四边形CEFG都是正方形，DGC=CE,BC=CD,DBCG=DDCE=90°□△BCGMDCEDBG=DE90°MDCE重合(2)存在.△BCG□△DCE△BCG绕点C顺时针方向旋转【变式3】如图2，在梯形纸片ABCD中，AD//BC,AD>CD。

将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C'处，折痕DE交BC于点E,连接C，E(1)求证：四边形CDC，E是菱形(2)若BC=CD+AD,试判断四边形ABED的形状，并加以证明解析：(1)根据题意可知CD=C'D，口C'DE=DCDE,DD=DCEDD因为AD//BC,所以UC'DE=DCED,所以口CDE=DCED,所以CD=CE同汕D/E,故CD=CE=C'D=U'E,所以四边形CDC'E是菱形2)当BC=CD+AD时，四边形ABED为平行四边形证明：由(1)知CE=CD,而BC=CD+AD,则BE=AD,又因AD//BED所以四边形ABED为平行四边形变式4】如图3所示，在四边形交于点0若不添加辅助线，要使得四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA,对角线ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是AC与BD相【答案】此题为开放性题目，答案不唯一由“ABCD是菱形，根据菱形的性质可得出需增加的条件为：ABC=90°ODBCD=90°ODCDA=90°等AB=BC=CD=DA”可以判断出四边形AC=BD或DBAD=90°或D总结升华：特殊四边形主要根据其特有性质来判定，做题时，一定要找准边、角、对角线三个要素的特殊关系。

类型四：添加辅助线构造特殊图形4□证明:（1）等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于腰上的高2）等腰三角形底边延长线上任一点到两腰的距离差等于腰上的高思路点拨:本题是一道文字题，要先画图，并由图形写出已知、求证、要证一条线段是另两条线段的和或差经常使用的是“截长补短”的方法解析：（1）命题等价于：如图，已知△ABC中,AB=AC,P是BC0000,PEDAB于E,PFDAC于F,B。