2023年双曲线知识点归纳总结与性质大全.pdf

双曲线与方程 【知识梳理】 1、双曲线的定义 （1）平面内，到两定点1F、2F的距离之差的绝对值等于定长1222 ,0aF Fa a的点的轨迹称为双曲线，其中两定点1F、2F称为双曲线的焦点，定长2a称为双曲线的实轴长，线段12F F的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线的第一定义. 【注】12122PFPFaF F，此时P点轨迹为两条射线. （2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值 1e e 的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦点，定直线称为双曲线的准线，定值e称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义. 2、双曲线的简单性质 标准方程 22221,0xya bab 22221,0yxa bab 顶点坐标 ,0Aa 0,Ba 焦点坐标 左焦点1,0Fc，右焦点 2,0Fc 上焦点 10,Fc，下焦点20,Fc 虚轴与虚轴 实轴长2a、虚轴长2b 实轴长2a、虚轴长2b 有界性 xa ya， 对称性 关于x轴对称，关于y轴对称，同时也关于原点对称. 3、渐近线 双曲线22221,0xya bab的渐近线为22220xyab，即0xyab ，或byxa . 【注】 ①与双曲线22221xyab具有相同渐近线的双曲线方程可以设为22220xyab； ②渐近线为byxa 的双曲线方程可以设为22220xyab； ③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴， 实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线. ④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线. 4、焦半径 双曲线上任意一点P到双曲线焦点F的距离称为焦半径.若00(,)P xy为双曲线22221,0xya bab上的任意一点，1(,0)Fc，2( ,0)F c为双曲线的左、右焦点，则10||PFexa，20||PFexa，其中cea. 5、通径 过双曲线22221,0xya bab焦点F作垂直于虚轴的直线，交双曲线于A、B两点，称线段AB为双曲线的通径，且22bABa. 6、焦点三角形 P为双曲线22221,0xya bab上的任意一点，1(,0)Fc，2( ,0)F c为双曲线的左右焦点，称12PF F为双曲线的焦点三角形.若12F PF，则焦点三角形的面积为：122cot2F PFSb. 7、双曲线的焦点到渐近线的距离为b（虚半轴长）. 8、双曲线22221,0xya bab的焦点三角形的内心的轨迹为0xa y 9、直线与双曲线的位置关系 直线:0l AxByC ，双曲线：22221,0xya bab，则 l与相交22222a Ab BC； l与相切22222a Ab BC； l与相离22222a Ab BC. 10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点. 【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为 4 条、3 条、2 条，或者 0 条. 11、焦点三角形角平分线的性质 点( , )P x y是双曲线22221,0xya bab上的动点，12,F F是双曲线的焦点，M是12F PF的角平分线上一点，且20F M MPuuuur uuu r，则OMa，即动点M的点的轨迹为222xyaxa . 12、双曲线上任意两点的坐标性质  1122,,,A x yB x y为双曲线22221,0xya bab上的任意两点，且12xx，则2221222212yybxxa. 【推广 1】直线l过双曲线22221,0xya bab的中心，与双曲线交于 1122,,,A x yB xy两点，P为双曲线上的任意一点，则22APBPbk ka（,APBPkk均存在）. 【推广 2】设直线110lyk xm m：交双曲线22221,0xya bab于CD、两点，交直线22lyk x：于点E．若E为CD的中点，则2122bk ka. 13、中点弦的斜率 直线l过 000,0Mxyy 与双曲线22221,0xya bab交于,A B两点， 且AMBM， 则直线l的斜率2020ABb xka y. 14、点( , ) (0,0)P x yxy是双曲线22221,0xya bab上的动点，过P作实轴的平行线，交渐近线于,M N两点，则PM PN 定值2a. 15、点( , ) (0,0)P x yxy是双曲线22221,0xya bab上的动点， 过P作渐近线的平行线，交渐近线于,M N两点，则OMPNSY定值2ab.  【典型例题】 例 1、双曲线的渐近线方程为20xy，焦距为10，这双曲线的方程为_________. 【变式 1】若曲线22141xykk表示双曲线，则k的取值范围是_________. 【变式 2】双曲线22148xy的两条渐近线的夹角为_________. 【变式 3】已知椭圆2222135xymn和双曲线2222123xymn有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_________. 【变式 4】若椭圆221(0)xymnmn 和双曲线221(0,0)xyabab有相同焦点1F、2F，P为两曲线的一个交点，则12PFPF_________. 【变式 5】如果函数2yx 的图像与曲线22:4C xy恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ） A．[ 1,1) B.  1,0 C. (, 1][0,1)  U D. [ 1,0](1,)U 【变式 6】直线2x与双曲线14:22yxC的渐近线交于BA,两点，设P为双曲线C上的任意一点，若OBbOAaOP(ORba,, 为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（ ） A.222ab B.2122 ba C.222ab D.2212ab  【变式 7】 设连接双曲线22221xyab与22221yxba的四个顶点为四边形面积为1S,连接其四个焦点的四边形面积为2S，则12SS的最大值为_________. 例 2、 设12FF、分别是双曲线2219yx 的左右焦点,若点P在双曲线上， 且12=0PF PFuuu r uuu u rg， 则12PFPFuuu ruuu u r=_________. 【变式 1】过双曲线221109xy的左焦点1F的弦6AB ，则2ABF（2F为右焦点）的周长为_________. 【变式 2】双曲线2211620xy的左、右焦点1F、2F，P是双曲线上的动点，且19PF ，则2PF_________. 例 3、设12FF、是双曲线2214xy的两个焦点，点P是双曲线的任意一点，且123F PF，求12PF F的面积. 例 4、已知直线1ykx与双曲线2231xy有A B、两个不同的交点，如果以AB为直径的圆恰好过原点O,试求k的值. 例 5、已知直线1ykx与双曲线2231xy相交于A B、两点，那么是否存在实数k使得A B、两点关于直线20xy对称？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.  例 6、已知双曲线221124xy的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜率的取值范围为_________. 【变式 1】已知曲线C:21(4)xy yx； （1）画出曲线C的图像； （2）若直线l：1ykx与曲线C有两个公共点，求k的取值范围； （3）若 0Pp，0p ，Q为曲线C上的点，求PQ的最小值. 【变式 2】直线l：10axy  与曲线C：2221xy. （1）若直线l与曲线C有且仅有一个交点，求实数a的取值范围； （2）若直线l被曲线C截得的弦长22 1PQa，求实数a的取值范围； （3）是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过原点，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 例 7、已知F是双曲线221412xy的左焦点，(1 4)A ，,P是双曲线右支上的动点，求PFPA的最小值. 【变式】P是双曲线221916xy的右支上一点，,M N分别是圆2254xy和2251xy上的点，则PMPN的最大值等于_________. 例 8、已知动圆P与两个定圆2251xy和22549xy都外切，求动圆圆心P的轨迹方程. 【变式 1】ABC的顶点为 50A ，, 5,0B，ABC的内切圆圆心在直线3x 上，则顶点C的轨迹方程是_________. 【变式 2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为 7,0F，直线1yx 与其相交于MN、两点，线段MN的中点的横坐标为23，求此双曲线的方程. 例 9、已知双曲线221916xy，若点M为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为_________. 例 10、焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点(0,2)P为圆心，以 1 为半径的圆相切，又知双曲线C的一个焦点与P关于直线yx对称 （1）求双曲线的方程； （2）设直线1ymx与双曲线C的左支交于,A B两点，另一直线l经过点( 2,0)M 及AB的中点，求直线l在轴上的截距n的取值范围. 【变式】设直线l的方程为1ykx，等轴双曲线C：222xya右焦点为 2,0. （1）求双曲线的方程； （2）设直线l与双曲线的右支交于不同的两点A B、,记AB中点为M，求实数k的取值范围，并用k表示点M的坐标； （3）设点 1,0Q ，求直线QM在y轴上的截距的取值范围. 例 11、已知双曲线C方程为：2212yx . （1） 已知直线0xym  与双曲线C交于不同的两点A B、， 且线段AB的中点在圆225xy上， 求m的值； （2） 设直线l是圆O：222xy上动点00(,)P xy（000x y ） 处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A B、，证明AOB的大小为定值. 例 12、已知中心在原点，顶点12AA、在x轴上，其渐近线方程是2 33yx，双曲线过点 6,6P. （1）求双曲线的方程； （2） 动直线l经过12APA的重心G， 与双曲线交于不同的两点MN、， 问： 是否存在直线l， 使G平分线段MN，证明你的结论. 例13、已知点1F、2F为双曲线C： 01222bbyx的左、右焦点，过2F作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且3021FMF．圆O的方程是222byx． （1）求双曲线C的方程； （2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P、2P，求21PPPP 的值； （3） 过圆O上任意一点00y,xQ作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB中点为M， 求证：． 例 14、已知双曲线C：222210,0xyabab的一个焦点是 22,0F，且ab3． （1）求双曲线C的方程； （2）设经过焦点2F的直线的一个法向量为) 1 ,(m，当直线l与双曲线 C 的右支相交于BA,不同的两点时，求实数m的取值范围；并证明AB中点M在曲线3) 1( 322yx上． （3）设（2）中直线l与双曲线C的右支相交于BA,两点，问是否存在实数m，使得AOB为锐角？若存在，请求出m的范围；若不存在，请说明理由． l。