【高中数学】习题课一-求数列的通项.doc

习题课一习题课一 求数列的通项求数列的通项 题型一 利用累加、累乘法求数列的通项公式 【例 1】 (1)数列an满足 a11，对任意的 nN*都有 an1a1ann，求数列an的通项公式； (2)已知数列an满足 a123，an1nn1an，求 an. 解 (1)an1ann1，an1ann1， 即 a2a12，a3a23，anan1n(n2).等式两边同时相加得 ana1234n(n2)， 即 ana1234n1234nn（n1）2，n2. 又 a11 也适合上式，ann（n1）2，nN*. (2)由条件知an1annn1，分别令 n1，2，3，n1，代入上式得(n1)个等式，累乘， 即a2a1a3a2a4a3 anan1122334n1n(n2). ana11n，又a123，an23n，n2. 又 a123也适合上式，an23n，nN*. 规律方法 (1)求形如 an1anf(n)的通项公式. 将原来的递推公式转化为 an1anf(n)，再用累加法(逐差相加法)求解，即 ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)a1f(1)f(2)f(3)f(n1). (2)求形如 an1f(n)an的通项公式. 将原递推公式转化为an1anf(n)， 再利用累乘法(逐商相乘法)求解， 即由a2a1f(1)，a3a2f(2)， ，anan1f(n1)，累乘可得ana1f(1)f(2)f(n1). 【训练 1】 数列an中，a12，an1an2n，求an的通项公式. 解 因为 a12，an1an2n，所以 a2a12，a3a222，a4a323，anan1 2n1，n2，以上各式累加得，ana1222232n1， 故 an2（12n1）1222n，当 n1 时，a1也符合上式， 所以 an2n. 题型二 构造等差(比)数列求通项公式 【例 2】 (1)在数列an中，a113，6anan1anan10(n2，nN*). 证明：数列1an是等差数列； 求数列an的通项公式. (2)已知数列an中，a12，an12an3，求 an. (1)证明 由 6anan1anan10， 整理得1an1an16(n2)，故数列1an是以 3 为首项，6 为公差的等差数列. 解 由可得1an3(n1)66n3， 所以 an16n3，nN*. (2)解 由 an12an3 得 an132(an3)， 所以数列an3是首项为 a131，公比为 2 的等比数列，则 an3(1) 2n1，即 an2n13. 规律方法 (1)课程标准对递推公式要求不高，故对递推公式的考查也比较简单，一般先构造好等差(比)数列让学生证明，再在此基础上求出通项公式，故同学们不必在此处挖掘过深. (2)形如 an1panq(其中 p，q 为常数，且 pq(p1)0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下： 第一步 假设递推公式可改写为 an1tp(ant)； 第二步 由待定系数法，解得 tqp1； 第三步 写出数列anqp1的通项公式； 第四步 写出数列an的通项公式. 【训练 2】 已知各项均为正数的数列bn的首项为 1，且前 n 项和 Sn满足 SnSn1 SnSn1(n2).试求数列bn的通项公式. 解 SnSn1 Sn Sn1(n2)， ( Sn Sn1)( Sn Sn1) Sn Sn1(n2). 又 Sn0， Sn Sn11. 又 S11，数列 Sn是首项为 1，公差为 1 的等差数列， Sn1(n1)1n，故 Snn2. 当 n2 时，bnSnSn1n2(n1)22n1. 当 n1 时，b11 符合上式. bn2n1. 题型三 利用前 n 项和 Sn与 an的关系求通项公式 【例 3】 (1)已知数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sn2an4，nN*，则 an等于( ) A.2n1 B.2n C.2n1 D.2n2 (2)已知数列an中，前 n 项和为 Sn，且 Snn23 an，则anan1的最大值为( ) A.3 B.1 C.3 D.1 解析 (1)因为 Sn2an4，所以 n2 时，Sn12an14，两式相减可得 SnSn12an 2an1，即 an2an2an1，整理得 an2an1，所以anan12.因为 S1a12a14，即 a14，所以数列an是首项为 4，公比为 2 的等比数列，则 an42n12n1，故选 A. (2)由 Snn23an得，当 n2 时，Sn1n13an1， 两式作差可得：anSnSn1n23ann13an1，整理得anan1n1n112n1， 由此可得，当 n2 时，anan1取得最大值，其最大值为 3. 答案 (1)A (2)C 规律方法 已知 Snf(an)或 Snf(n)的解题步骤： 第一步 利用 Sn满足条件 p，写出当 n2 时，Sn1的表达式； 第二步 利用 anSnSn1(n2)，求出 an或者转化为 an的递推公式的形式； 第三步 若求出 n2 时的an的通项公式，则根据 a1S1求出 a1，并代入 n2 时的an的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.如果求出的是an的递推公式，则问题化归为例 2 形式的问题. 【训练 3】 在数列an中，a11，a12a23a3nann12an1(nN*)，求数列an的通项公式 an. 解 由 a12a23a3nann12an1，得 当 n2 时，a12a23a3(n1)an1n2an， 两式作差得 nann12an1n2an， 得(n1)an13nan(n2)， 即数列nan从第二项起是公比为 3 的等比数列，且 a11，a21，于是 2a22，故当 n2时，nan23n2. 于是 an1，n1，23n2n，n2，nN*. 一、素养落地 1.通过学习数列通项公式的求法，提升数学运算与逻辑推理素养. 2.求数列通项的方法有：(1)公式法，(2)累加、累乘法，(3)构造法等，但总的思想是转化为特殊的数列(一般是等差或等比数列)求解. 二、素养训练 1.数列 1，3，6，10，15，的递推公式可能是( ) A.an1（n1）an1n1（nN*，n2） B.an1（n1）an1n（nN*，n2） C.an1（n1）an1n1（nN*，n2） D.an1（n1）an1n1（nN*，n2） 解析 由题意可得，a11， a2a12， a3a23， a4a34， a5a45， anan1n(n2)， 故数列的递推公式为 an1（n1）an1n（nN*，n2）故选 B. 答案 B 2.数列an中，a11，且 an1an2n，则 a9( ) A.1 024 B.1 023 C.510 D.511 解析 由题意可得an1an2n， 则a9a1(a2a1)(a3a2)(a9a8)1212228291511.故选 D. 答案 D 3.已知数列an的各项均为正数，且 a2nann2n0，则 an_. 解析 由 a2nann(n1)0，得an(n1)(ann)0.又 an0，所以 ann1. 答案 n1 4.已知数列an中，a11，对于任意的 n2，nN*，都有 a1a2a3ann2，则 a10_. 解析 由 a1a2a3ann2，得 a1a2a3an1(n1)2(n2)，所以 ann2（n1）2(n2)，所以a1010081. 答案 10081 5.已知数列an满足 a11，an1anan2(nN*)，求数列an的通项公式. 解 由 an1anan2，得1an12an1， 所以1an1121an1 . 又 a11，所以1a112， 所以数列1an1 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， 所以1an122n12n，所以 an12n1. 基础达标 一、选择题 1.已知数列an中，a12，an1an2n(nN*)，则 a100的值是( ) A.9 900 B.9 902 C.9 904 D.11 000 解析 a100(a100a99)(a99a98)(a2a1)a12(999821)2 299（991）229 902. 答案 B 2.已知数列an中，a11，an1an12an，则这个数列的第 n 项为( ) A.2n1 B.2n1 C.12n1 D.12n1 解析 an1an12an，a11，1an11an2. 1an为等差数列，公差为 2，首项1a11. 1an1(n1)22n1， an12n1. 答案 C 3.若数列an中，a13，anan14(n2)，则 a2 021的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 a13，anan14(n2)，an1an4，an1an1，anan2，即奇数项、偶数项构成的数列均为常数列，又a13，a2 0213. 答案 C 4.已知数列an的首项为 a11，且满足 an112an12n，则此数列的通项公式 an等于( ) A.2n B.n(n1) C.n2n1 D.n（n1）2n 解析 an112an12n，2n1an12nan2， 即 2n1an12nan2. 又 21a12， 数列2nan是以 2 为首项，2 为公差的等差数列， 2nan2(n1)22n， ann2n1. 答案 C 5.已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a12，Sn14an2，则 a12( ) A.20 480 B.49 152 C.60 152 D.89 150 解析 由题意得 S24a12，所以 a1a24a12，解得 a28，故 a22a14，又 an2Sn2Sn14an14an，于是 an22an12(an12an)，因此数列an12an是以 a22a14 为首项，2 为公比的等比数列，即 an12an42n12n1，于是an12n1an2n1，因此数列an2n是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，得an2n1(n1)n，即 ann 2n.所以 a121221249 152，故选 B. 答案 B 二、填空题 6.在等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 则数列an的通项公式为_. 解析 当 a13 时，不合题意； 当 a12 时，当且仅当 a26，a318 时，符合题意； 当 a110 时，不合题意. 因此 a12，a26，a318， 所以公比 q3，故 an23n1. 答案 an23n1 7.在数列an中，a11，an1n1nan，则数列an的通项公式 an_. 解析 当 n2 时，ananan1an1an2 a3a2a2a1 a1 nn1n1n2 3221n， 当 n1 时，a11 也符合此式，ann. 答案 n 8.已知数列an满足ln a13ln a26ln a39 ln an3n3n2(nN*)，则 a10_. 解析 ln a13ln a26ln a39 ln an3n3n2(nN*)， ln a13ln a26ln a39 ln an13（n1）3（n1）2(n2)， ln an3n2n1(n2)， ane3n2n1(n2)，a10e1003. 答案 e1003 三、解答题 9.设 f(x)log2xlogx4(0 x1)，数列an的通项 an满足 f(2an)2n，求数列an的通项公式. 解 f(x)log2xlogx4(0 x1)，f(2an)2n， log22anlog2an42n，由换底公式得 log22anlog24log22an2n， 即 an2an2n，a2n2nan20，解得 ann n22. 又 0 x1，02an1，an1，nN*，满足 Sn1Sn12(Sn1)，则( ) A.a917 B.a1018 C.S981 D.S1091 解析 对于任意 n1，nN*，满足 Sn1Sn12(Sn1)， Sn1SnSnSn12，an1an2. 数列an在 n2 时是等差数列，公差为 2.又 a11，a22， 则 a927216， a1028218， 。