复变函数期末考试复习题及答案详解.pdf

1 《复变函数》考试试题（一）1、1|| 00)(zznzzdz __________. （n为自然数）2.zz22cossin_________. 3. 函数zsin的周期为 ___________. 4. 设11)(2zzf ，则)(孤立奇点有__________. 5. 幂级数0nnnz的收敛半径为__________. 6. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7. 若nnzlim ，则nzzznn.lim21______________. 8.)0,(Renzzes ________，其中 n 为自然数 . 9. zzsin 的孤立奇点为 ________ . 10. 若0z是)(极点，则___)(lim 0zf zz. 三. 计算题（ 40 分） ：1. 设)2)(1(1)(zzzf，求)(zf在} 1||0:{zzD内的罗朗展式. 2. .cos11||zdzz3. 设Cdzzf173)(2，其中}3|:|{zzC，试求).1( 'if4. 求复数11zzw 的实部与虚部. 四. 证明题 .(20分) 1. 函数)(zf在区域D内解析 . 证明：如果| )(|zf在D内为常数，那么它在D内为常数 . 2. 试证 : ( )(1)f zzz在割去线段0Re1z的z平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re1z上岸取正值的那支在1z的值 . 《复变函数》考试试题（二）二. 填空题 . (20 分) 2 1. 设iz，则____,arg__,||zzz2.设Ciyxzyxixyxzf),sin(1()2()(222，则)(lim 1zf iz________. 3. 1|| 00)(zznzzdz_________.（n为自然数）4. 幂级数0nnnz的收敛半径为 __________ . 5. 若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0是)( ' _____零点 . 6. 函数 ez的周期为 __________. 7. 方程083235zzz在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zzf，则)(孤立奇点有 _________. 9. 函数||)(z不解析点之集为________. 10. ____)1 ,1(Res4zz . 三. 计算题 . (40 分) 1. 求函数)2sin(3z的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点iz处的值 . 3. 计算积分：iizzId||，积分路径为（1）单位圆（1||z）的右半圆 . 4. 求dz zzz22) 2(sin.四. 证明题 . (20 分) 1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是)(zf在 D 内解析 . 2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 《复变函数》考试试题（三）二. 填空题 . (20分 ) 1. 设 11)(2zzf，则f(z) 的定义域为 ___________. 2. 函数ez的周期为 _________. 3 3. 若n nninnz)11(12，则nz nlim__________. 4. zz22cossin___________. 5. 1|| 00)(zznzzdz_________.（n为自然数）6. 幂级数0nnnx的收敛半径为 __________. 7. 设11)(2zzf，则f(z) 的孤立奇点有 __________. 8.设1ze，则___z.9. 若0z是)(极点，则___)(lim0zf zz. 10. ____)0,(Resnzze . 三. 计算题 . (40分) 1. 将函数1 2( )zf zz e在圆环域0z内展为 Laurent级数 . 2. 试求幂级数nnnznn! 的收敛半径 . 3. 算下列积分： Czzzze)9(d22，其中C是1|| z. 4. 求0282269zzzz在|z|0，则 z0是)( ' _____零点。

7、若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是 D 内_________ 、8、函数||)(z不解析点之集为 ________9、)0,(Resnzze____________，其中 n 为自然数10、公式xixeixsincos称为_____________.三、计算题 （8x5=40 分） ：1、设Cdzzf173)(2 ，其中} 3|:|{zzC，试求).1( 'if2、求3||1||1)4)(1(21sinzzzzzdzizdze3、设1)(2zezfz ，求).),((Rezfs4、求函数ze1 在||0z内的罗朗展式5、求复数11zzw的实部与虚部6、求.21 2122ii四、证明题 （6+7+7=20 分） ：1、设是函数 f(z)的可去奇点且CAzf z)(lim，试证：))((lim)),((ReAzfzzfs z2、若整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部且0)0(f，则20 )(0)(Czzf3、证明0364zz方程在2||1z内仅有 3 个根《复变函数》考试试题（四）一、判断题 （3x10=30 分） ：1、若函数 f(z)在 z0解析，则 f(z)在 z0的某个邻域内可导。

2、如果 z0是 f(z)的本性奇点，则 0lim( )zzf z一定不存在3、若)(lim0zf zz存在且有限，则 z0是 f(z)的可去奇点 ( ) 4、若函数 f(z)在 z0可导，则它在该点解析 （）5、若数列}{nz收敛，则}{Renz与}{Imnz都收敛 （）6、若 f(z)在区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 （）7、若幂级数的收敛半径大于0，则其和函数必在收敛圆内解析8、存在整函数 f(z)将复平面映照为单位圆内部 （）9、若函数 f(z)是区域 D 内的解析函数， 且在 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数10、)(1|sin|Czz （）二、填空题 （2x10=20 分）1、函数 ez的周期为 __________ 2、幂级数0nnnz的和函数为 __________3、函数 ez的周期为 __________ 21 4、设211)(zzf，则)(孤立奇点有 __________的收敛半径为 _________5、幂级数0nnnx的和函数为 ____________ 6、若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它 是 D 内的_____________ 。

7、若nnzlim，则nzzznn.lim21______________ 8、)0,(Renzzes________，其中 n 为自然数9、方程083235zzz在单位圆内的零点个数为________10、函数211)(z幂级数展开式为 __________三、计算题 （5x6=30 分） ：1、.))(9(2||2zdzizzz2、求).,1(Res2izeiz3、.62limnni4、求函数ze1 在||0z内的罗朗展式5、求方程14258zzz在单位圆内零点的个数6、求nni 21lim四、证明题 （6+7+7=20 分） 1、设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是)(zf在 D 内解析2、如果函数)(zf在} 1|:|{zzD上解析，且)1|(|1| )(|zzf，则) 1|(|1|)(|zzf3、设方程014258zzz证明：在开单位圆内根的个数为522 《复变函数》考试试题（五）一、判断题 （3x10=30分） ：1、若函数 f(z)在 z0解析，则 f(z)在 z0连续 （）2、 若函数 f(z)在 z0处满足 Cauchy-Riemann条件，则 f(z)在 z0解析。

3、 若函数 f(z)在 z0解析， 则 f(z)在 z0处满足 Cauchy-Riemann条件 ) 4、 若函数 f(z)在是区域 D 内的单叶函数，则)(0)( 'Dzzf5、若 f(z)在单连通区域D 内解析，则对 D 内任一简单闭曲线C都有0)( Cdzzf （）6、若 f(z)在区域 D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(Cdzzf （）7、若)(0)( 'Dzzf，则函数 f(z)在是 D 内的单叶函数8、若 z0是 f(z)的 m 阶零点，则 z0是 1/ f(z)的 m阶极点 （）9、如果函数 f(z)在} 1|:|{zzD上解析，且)1|(|1|)(|zzf，则)1|(|1|)(|zzf （）10、)(1|sin|Czz （）二、填空题 （2x10=20 分）1、若n nninnz)11(12，则nzzlim__________ 2、设11)(2zzf，则)(定义域为 __________3、函数 sin z的周期为 ___________4、zz22cossin________5、幂级数0nnnz的收敛半径为 _____________ 6、若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>1，则 z0是)( ' ______零点。

23 7、若函数 f(z)在整个复平面处处解析，则称它是_______8、函数 f(z)=|z|的不解析点之集为 __________9、方程083235zzz在单位圆内的零点个数为_________10、公式xixeixsincos称为__________ 三、计算题 （5x6=30 分） ：1、.62limnni2、设Cdzzf173)(2 ，其中}3|:|{zzC，试求).1 ( 'if3、设2( )1zef zz，求Re (( ), ).s f z i4、求函数63sinzz在||0z内的罗朗展式5、求复数11zzw的实部与虚部6、求i e3的值四、证明题 （6+7+7=20 分）1、方程0169367zzz在单位圆内的根的个数为62、若函数),(),()(yxivyxuzf在区域 D 内解析，v(x,y)等于常数，则( )f x在 D 内恒等于常数3、若 z0是)( m阶零点，则 z0是 1/)( m 阶极点《复变函数》考试试题（六）24 一、判断题 （3x8=24 分）1、若函数 f(z)在 z0解析，则 f(z)在 z0的某个邻域内可导2、 若函数 f(z)在 z0处解析，则 f(z)在 z0满足 Cauchy-Riemann条件。

3、 如果 z0是 f(z)的可去奇点，则)(lim0zf zz一定存在且等于零 ( ) 4、若函数 f(z)是区域 D 内的单叶函数， 则)(0)( 'Dzzf （）5、 若函数 f(z)是区域 D 内的解析函数，则它在 D 内有任意阶导数6、若函数 f(z)在区域 D 内的解析，且在 D 内某个圆内恒为常数，则在区域 D 内恒等于常数7、若 z0是 f(z)的 m 阶零点，则 z0是 1/ f(z)的 m阶极点 （）8、)(1|sin|Czz （）二、填空题 （2x10=20分）1、若11sin(1)1n nzinn，则limnnz__________ 2、设2( )1zf zz，则)(定义域为 __________ 3、函数ze的周期为 ___________ 4、zz22cossin________5、幂级数220nnn z的收敛半径为 _____________ 6、若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>1，则 z0是)( ' ______零点7、若函数 f(z)在整个复平面处处解析，则称它是_______8、函数 f(z)=|z|的不解析点之集为。