
基于六何有序结构的高中数学新旧教材的对比分析.docx
17页基于“六何”有序结构的高中数学新旧教材的对比分析 张程 周莹【摘 要】函数作为贯穿高中数学的一条主线,是解决数学问题的基本工具随着新课程改革工作的推进,2019年人教版高中数学教科书在“函数的概念”教学内容的编制上做了较大改动,更偏向于与初中所学的函数内容的联系在此基础上,研究者首先从整体上对函数主题进行教材的纵向比较,其次利用“六何”有序结构以“函数的概念”教学为例,从教材编写、内容编排以及渗透的核心素养等方面进行系统的对比分析,从而得出研究结论与启示,为一线教师的教学提供参考Key】“六何”有序结构;函数;对比分析【作者简介】张程,广西师范大学数学与统计学院在读硕士研究生,主要研究方向为数学教学论;周莹(本文通讯作者),广西师范大学数学与统计学院教授,硕士研究生导师,主要研究方向为数学教育与教师教育基金项目】2019年度广西高等教育本科教学改革工程重点项目“系统性思维能力导向的数学有效教学研究与实践”(019JGZ110)新课程改革在立德树人的工作中发挥了重要作用,其中符合素质教育和时代要求的课程教材体系也在不断完善2018年教育部发布了《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称新课程标准),人教社在此指导下组织编写并出版了2019年人教版高中数学教科书(以下简称新教材)。
函数作为贯穿高中数学的一条主线,是解决数学问题的基本工具而新教材较2007年人教版高中数学教科书(以下简称旧教材),在“函数的概念”教学内容的编制上做了较大改动,更偏向于与初中所学的函数内容的联系在此基础上,本文首先从整体上对函数主题进行教材的纵向比较[1],其次利用“六何”有序结构对“函数的概念”一课从教材编写、内容编排以及渗透的核心素养等方面进行新旧教材的对比分析,以期为一线教师对教材理解与实际教学提供一些参考一、“六何”有序结构的理论基础“六何”有序结构是由周莹教授基于系统论和连贯理念提出的一种策略,能够系统地体现教学的连贯性、自然性以及完整性[2]六何”,即“从何”“是何”“与何”“如何”“变何”“有何”从何”包括知识、经验起点以及章导言与前言,这是新知识的问题发现与提出,也是激发学生学习兴趣的着力点;“是何”包括“是什么”这一事实性知识,是对新知识本质属性的深入探究与理解;“与何”包括从关联的角度看知识间“有何联系”,促进知识的融会贯通;“如何”包括教材呈现的例题、习题的数量及难度,强调理解和应用的认知过程;“变何”强调问题的变式拓展,通过问题的提出和变式,帮助学生触类旁通,拓宽思维层面;“有何”包括“有何收获”,是对学习过程中能力、素养、知识水平等方面的挖掘与凝练。
数学作为一个知识体系,是一个有机的、有逻辑的整体,因此对于教材中的数学知识,除了关注某一节的基本结构与内容,还需要具有基于这一主题的整体观与全局观,否则就会“只见树木,不见森林”本文参考了温建红教授从整体视角研读数学教材的理据和方法[3],从课程标准要求、螺旋间隔、内容深度与广度方面对新旧教材的“函数”主题进行整体对比分析,挖掘和解读蕴含在教材背后的丰富内涵除此之外,以周莹教授的“六何”有序结构理念作为指导,针对函数章节第一课时“函数的概念”进行比较,构建基于“六何”有序结构的教材对比分析框架,如图1所示二、基于“六何”有序结构的人教版新旧教材比较分析(一)从整体视角对比“函数”主题首先,从课程标准来看,新课程标准在《普通高中数学课程标准(实验)》的基础上进一步强化和明确高中数学课程结构的体例与主线,明确指出“函数”主题是高中数学课程内容突出的四条主线之一[4],如图2所示其次,从教材的螺旋间隔来看,旧教材中出现了四次螺旋,包括必修1“集合与函数概念”“基本初等函数”“函数的应用”;必修4“三角函数”“三角恒等变换”;必修5“数列”以及选择性必修1-1(2-2)“导数及其应用”,而新教材把上述内容主要集中在必修第一册,选修中的函数主题包括“数列”以及“一元函数导数及其应用”。
再次,从内容深度来看,新旧教材均遵循学生的认知规律,呈现“概念—性质—应用”的规律特点最后,从内容广度来看,新教材进一步落实立德树人的根本任务,设置数学建模专门模块,以及新增“文献阅读与数学写作”选学内容,在学习数学基础知识之余,给学生提供了数学文化等方面的学习机会二)基于“六何”有序结构从局部视角对比“函数的概念”章节1.从何:认知起点、章导言与前言的比较“从何”主要回答“知识从何而来”以及“为什么要来”的问题为了减少知识碎片化,教师需摸清教材中新知识的逻辑起点除此之外,人教版教材通常会在每一章开头通过章导言和相关配图简单介绍本章所涉及的知识点的意义及相关应用这些看似与考试题目关联不大的内容却对激发学生的学习动机、明确学习目的与意义起着重要作用因此,在该环节主要对新旧教材的认知起点、章导言与前言进行比较1)认知起点对比在初中阶段,学生已经经历了“函数的一般概念——一次函数——二次函数——反比例函数”的学习过程,但初中所学的函数定义强调“变化过程”[5]1-8,而高中则从“对应关系说”视角出發,不仅与集合的知识相联系,引入抽象的符号f:A→B,y=f(x),x∈A,而且采用“非空”“任意”“存在”等逻辑用语,这些语言表达的差异使得高中内容抽象程度明显提升,学生理解难度增加。
在旧教材中,抽象的函数概念紧接着集合的内容在第一章出现,导致很多学生不适应高中学习的变化而失去学好数学的信心[6]因此,新教材一改旧教材直接呈现高中重要知识的方式,在内容编排顺序上进行较大调整(如图3),前两章为高中阶段的预备知识,其中包括集合与常用逻辑用语,以及一元二次函数、方程和不等式,让学生有一个相对较长的时间来储备知识与技能、语言表达以及数学思想方法有了初、高内容衔接之后,第三章才正式开始函数内容的学习,这看似函数与集合的联系没有之前紧密,但学生前期积累的知识和技能将更有利于学生后续的学习2)章导言与前言对比在新旧教材中,函数单元的章导言大同小异,起到总领全章,明确学习导向,介绍函数地位、函数与现实生活的联系等作用首先,新旧教材均提到函数是高中数学的重要内容之一,且函数知识有广泛的实际应用,学生可以初步感受到函数知识的地位与学习的必要性;其次,新旧教材均明确本章教学内容,即“将要通过什么方式学习什么内容”但事实上,在初中阶段,学生就学习了函数的概念和一些常见的函数,如一次函数、反比例函数等,那高中为何重新定义函数概念?单凭章导言的描述,对于回答“为何要进一步学习本节内容”这个问题略显无力。
于是,新教材为了解决这一问题,在前言部分与旧教材有明显差异旧教材中采用开门见山式“在初中的基础上进一步学习”直接引入本节内容,略显突兀和牵强为了更好地激发学生的学习动机,明确再次学习函数概念的目的与意义,新教材新增一段前言,提出两个判断函数是否相同的问题,进而激发学生认知冲突,明确要解决这些问题,就需要进一步学习函数的概念,顺利引入高中阶段函数的概念2.是何:情境导入及概念的比较“是何”主要关注“函数概念是什么”的问题对于高中阶段用集合语言、对应关系加上符号表述函数概念,学生会觉得比较抽象为更好地理解概念本质,在教学中,教师可让学生参与到概念的构建过程中来,完整地经历“具体事例——观察、实验——比较、分析——分类、综合——抽象、概括”的过程[5]1-8通过对比发现,新旧教材都是根据语言和工具的学习规律,从模仿、重复、记忆开始,在不断运用“变量说”分析特殊事例中,加深对“对应关系”的理解,在理解的基础上强化记忆,进而形成技能,逐步达到灵活运用的目的虽然新旧教材的基本模式不变,但新教材在事例选取、语言叙述、版块设计等细节方面做了较大改动1)精拣选取案例,智育、德育两不误首先,旧教材所选取的三个案例中,无论是炮弹飞行还是臭氧层空洞,都让学生觉得有距离感,而恩格尔系数问题的数据也随着时代的变迁亟须更新。
鉴于此,新教材重新选定引入函数概念的实例,在保留旧教材典型、丰富等特点的基础上,设置动车、工资、环境、恩格尔系数四个方面的例子,选取的案例更加贴近生活,且蕴含的对应关系更加清晰明了,避免因为复杂的背景而加大学生的负担特别地,在设计动车和工资问题中,所反映出的对应关系虽然一致,但自变量的变化范围有连续和离散之分,使学生对于如何判断两个函数相同有初步的认知其次,新教材中出现的四个案例均富有生活气息与时代特点,一方面是人们日常关注的工资和环境问题,另一方面是祖国日益提升的生活水平和幸福指数,与生活实际联系紧密,把数学问题生活化,展现社会发展新变化、科技进步新成果,培养学生的社会参与意识和能力2)优化叙述语言,精炼到位双兼顾数学是一门严谨的学科,教材在编写时讲究精雕细琢,内容具有一定的权威性,也常常作为教师上课用语的参考通过对比,新教材在兼顾数学的严谨性和学生的认知特点方面更胜一筹首先,在分析问题环节,旧教材清一色的陈述句缺乏对学生启发性的引导,而新教材问答兼备,例如“你认为该怎样确定一个工人每周的工资?”“你会用怎样的语言来刻画这个函数?”有针对性地启发学生思考其次,新教材对于概念的叙述更严谨,更突出函数概念的本质,新旧教材中对概念的定义并非完全一致(如图4),差异主要体现在两个地方:一个是对集合A,B的表述由原来的数集改为实数集,避免在后续学习复数之后产生歧义;另一个是集合B中唯一确定的数用y代替原来的f(x),减少符号的抽象性,让学生更容易把握两个集合之间的对应关系。
除此之外,新教材注重让学生在归纳环节抓住核心问题,概括出函数概念的本质特征,并提出符号f的出现可以达到表示简便的目的,让学生感受到f并非从天而降,而是表示对应关系的符号3)改进栏目版块,能力素养双丰收教育部在准确把握全面深化课程改革的总体要求中指出,要进一步提升数学等课程的育人价值,发展学生核心素养而数学学科核心素养也成为近年来數学教育的热点新教材在旧教材的基础上,进一步改进栏目设置,在正文设置“思考”“归纳”“探究”等栏目(如图5和图6),以栏目为载体,帮助学生在获得“四基”的过程中,逐步提高“四能”,发展核心素养3.与何:内容联系的比较“与何”主要分析“哪些知识与函数概念相关联”的问题函数知识贯穿于整个高中数学课程,具有承上启下的作用承上连接初中函数的概念与集合知识,表现在新旧教材均注重利用学生现有的认知基础来进一步学习函数的概念,一是在事例中反复运用初中函数的定义来判断对应关系是否为函数,尤其突出定义中的“任意”“唯一”,二是强调两个变量的变化范围用集合表示,这也是由“变量说”转变为“对应关系说”的关键;启下联系函数性质、基本初等函数与应用,在内容分布方面,新教材相对来说集中分布在必修第一册,更利于学生在系统学习函数相关知识的同时形成知识网络。
4.如何:例题、习题的比较“如何”主要解决“新知如何应用”的问题根据鲍建生教授的综合难度模型对例题、习题的相关研究[7],影响高中数学教材例题、习题难度的因素包括探究、运算、背景、知识含量以及推理维度根据以上因素,对新旧教材的例题、习题进行统计,并得出结论在题目数量统计过程中,对于题目里如有多次提到的习题,按一题统计,对一道大题中如有若干道小题的习题,按小题数量统计1)例题、习题数量设置首先从题目数量来看,新教材无论例题还是习题的数量均有所增加新教材一改以往在章节结束时才设置练习的传统,在正文部分每一个小的知识点结束之后新增设题目,配备精准的题目以保证学生及时巩固新知识其次,新教材新增了突出数学建模核心素养的例题与习题,使新教材的题目类型较原来也有所增加,见表12)例题、习题难度比较分析根据鲍建生教授基于数学认知水平框架构建出的描述教材例题、习题难度模型,对新旧教材中不同。












