初等函数的围线积分.pdf

初等函数的围线积分田源2010 年 4 月 11 日田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分围线首尾相连的曲线被称为闭曲线线段不是闭曲线，半圆也不是闭曲线最常见的闭曲线有：三角形，四边形，圆形，椭圆等围线就是逐段光滑的简单闭曲线多边形、圆周、椭圆周都是围线的例子历年试题中出现的闭曲线都是围线考试时不需要考虑闭曲线是不是围线田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分围线的内部和外部围线的内部就是被围线包围的区域（不包括围线本身）围线把平面分成内外两个部分特别地，圆周的内部 = {到圆心的距离 < 半径的所有点}用符号来表示之，圆周 |z −a| = r 的内部 = {到圆心 a 的距离 < 半径 r 的所有点} = |z −a| < r田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分特殊情形设 a 是围线 C 内部的一点，则：田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分特殊情形设 a 是围线 C 内部的一点，则：[柯西定理]如果围线内无奇点或只有可去奇点，那么围线积分为 0田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分特殊情形设 a 是围线 C 内部的一点，则：[柯西定理]如果围线内无奇点或只有可去奇点，那么围线积分为 0[柯西积分公式]若函数 f (z) 在围线 C 内无奇点，则ICf (z)z − adz = 2πif (a)柯西积分公式的证明.如果 f (a) = 0 ，田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分特殊情形设 a 是围线 C 内部的一点，则：[柯西定理]如果围线内无奇点或只有可去奇点，那么围线积分为 0[柯西积分公式]若函数 f (z) 在围线 C 内无奇点，则ICf (z)z − adz = 2πif (a)柯西积分公式的证明.如果 f (a) = 0 ，则 z = a 不是函数f (z)z − a的奇点，由柯西定理，积分为 0田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分特殊情形设 a 是围线 C 内部的一点，则：[柯西定理]如果围线内无奇点或只有可去奇点，那么围线积分为 0[柯西积分公式]若函数 f (z) 在围线 C 内无奇点，则ICf (z)z − adz = 2πif (a)柯西积分公式的证明.如果 f (a) = 0 ，则 z = a 不是函数f (z)z − a的奇点，由柯西定理，积分为 0如果 f (a) 6= 0 ，田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分特殊情形设 a 是围线 C 内部的一点，则：[柯西定理]如果围线内无奇点或只有可去奇点，那么围线积分为 0[柯西积分公式]若函数 f (z) 在围线 C 内无奇点，则ICf (z)z − adz = 2πif (a)柯西积分公式的证明.如果 f (a) = 0 ，则 z = a 不是函数f (z)z − a的奇点，由柯西定理，积分为 0如果 f (a) 6= 0 ， 则 z = a 是函数f (z)z − a的一阶极点，田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分特殊情形设 a 是围线 C 内部的一点，则：[柯西定理]如果围线内无奇点或只有可去奇点，那么围线积分为 0[柯西积分公式]若函数 f (z) 在围线 C 内无奇点，则ICf (z)z − adz = 2πif (a)柯西积分公式的证明.如果 f (a) = 0 ，则 z = a 不是函数f (z)z − a的奇点，由柯西定理，积分为 0如果 f (a) 6= 0 ， 则 z = a 是函数f (z)z − a的一阶极点，于是Res [f (z)z − a,a] = limz → a(z − a)f (z)z − a= limz → af (z) =?田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分特殊情形设 a 是围线 C 内部的一点，则：[柯西定理]如果围线内无奇点或只有可去奇点，那么围线积分为 0[柯西积分公式]若函数 f (z) 在围线 C 内无奇点，则ICf (z)z − adz = 2πif (a)柯西积分公式的证明.如果 f (a) = 0 ，则 z = a 不是函数f (z)z − a的奇点，由柯西定理，积分为 0如果 f (a) 6= 0 ， 则 z = a 是函数f (z)z − a的一阶极点， 于是Res [f (z)z − a,a] = limz → a(z − a)f (z)z − a= limz → af (z) = f (a)田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分特殊情形设 a 是围线 C 内部的一点，则：[柯西定理]如果围线内无奇点或只有可去奇点，那么围线积分为 0[柯西积分公式]若函数 f (z) 在围线 C 内无奇点，则ICf (z)z − adz = 2πif (a)[高阶导数公式]若 f (z) 在围线 C 内解析，则ICf (z)(z − a)ndz = 2πif(n−1)(a)(n − 1)!田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分特殊情形设 a 是围线 C 内部的一点，则：[柯西定理]如果围线内无奇点或只有可去奇点，那么围线积分为 0[柯西积分公式]若函数 f (z) 在围线 C 内无奇点，则ICf (z)z − adz = 2πif (a)[高阶导数公式]若 f (z) 在围线 C 内解析，则ICf (z)(z − a)ndz = 2πif(n−1)(a)(n − 1)!关于高阶导数公式的说明当 a 为 g(z) 的 n 阶极点时， Res [g(z),a] =1(n − 1)!limz → adn−1dzn−1[(z − a)ng(z)]田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分柯西定理如果函数 f (z) 在围线 C 内无奇点或只有可去奇点，则ICf (z) = 0Example (柯柯柯西西西定定定理理理的的的例例例子子子)田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分柯西定理如果函数 f (z) 在围线 C 内无奇点或只有可去奇点，则ICf (z) = 0Example (柯柯柯西西西定定定理理理的的的例例例子子子)I|z−3i|=1ezcoszdz =?田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分柯西定理如果函数 f (z) 在围线 C 内无奇点或只有可去奇点，则ICf (z) = 0Example (柯柯柯西西西定定定理理理的的的例例例子子子)I|z−1|=1sinzdzz2− z − 12=?田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分柯西定理如果函数 f (z) 在围线 C 内无奇点或只有可去奇点，则ICf (z) = 0Example (柯柯柯西西西定定定理理理的的的例例例子子子)I|z−1|=1sinzdzz2− z − 12=?1−11234−1⊗⊗⊗田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分柯西定理如果函数 f (z) 在围线 C 内无奇点或只有可去奇点，则ICf (z) = 0Example (柯柯柯西西西定定定理理理的的的例例例子子子)I|z|=1dzz2+ 2z + 3=?田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分柯西定理如果函数 f (z) 在围线 C 内无奇点或只有可去奇点，则ICf (z) = 0Example (柯柯柯西西西定定定理理理的的的例例例子子子)I|z|=1dzz2+ 2z + 3=?z2+ 2z + 3 = (z + 1)2+ 2= (z + 1 −√2i)(z + 1 +√2i)12−112−1??田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分柯西定理如果函数 f (z) 在围线 C 内无奇点或只有可去奇点，则ICf (z) = 0Example (柯柯柯西西西定定定理理理的的的例例例子子子)I|z|=1sinzdzez− 1=?田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分柯西定理如果函数 f (z) 在围线 C 内无奇点或只有可去奇点，则ICf (z) = 0Example (柯柯柯西西西定定定理理理的的的例例例子子子)I|z|=1sinzdzez− 1=?(sinz)0= cosz,cos0 = 1 6= 0 ， z = 0是分子的 1 阶零点(ez− 1)0= ez,e0= 1 6= 0 ， z = 0 是分母的 1 阶零点田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分柯西定理如果函数 f (z) 在围线 C 内无奇点或只有可去奇点，则ICf (z) = 0Example (柯柯柯西西西定定定理理理的的的例例例子子子)I|z|=1sinzdzez− 1=?(sinz)0= cosz,cos0 = 1 6= 0 ， z = 0是分子的 1 阶零点(ez− 1)0= ez,e0= 1 6= 0 ， z = 0 是分母的 1 阶零点z = 0 是函数sinzez− 1的零阶极点田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分柯西定理如果函数 f (z) 在围线 C 内无奇点或只有可去奇点，则ICf (z) = 0Example (柯柯柯西西西定定定理理理的的的例例例子子子)I|z|=1sinzdzez− 1=?(sinz)0= cosz,cos0 = 1 6= 0 ， z = 0是分子的 1 阶零点(ez− 1)0= ez,e0= 1 6= 0 ， z = 0 是分母的 1 阶零点z = 0 是函数sinzez− 1的零阶极点0 阶极点就是可去奇点田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分柯西定理如果函数 f (z) 在围线 C 内无奇点或只有可去奇点，则ICf (z) = 0Example (柯柯柯西西西定定定理理理的的的例例例子子子)C 为正向圆周 |ξ| = 1 ， |z| > 1 ，求 I =ZCdξ(ξ − 2)(ξ − z)田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分柯西定理如果函数 f (z) 在围线 C 内无奇点或只有可去奇点，则ICf (z) = 0Example (柯柯柯西西西定定定理理理的的的例例例子子子)C 为正向圆周 |ξ| = 1 ， |z| > 1 ，求 I =ZCdξ(ξ − 2)(ξ − z)（注意：是对 ξ 求积分，应该把 z 看成常数）田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分柯西定理如果函数 f (z) 在围线 C 内无奇点或只有可去奇点，则ICf (z) = 0Example (柯柯柯西西西定定定理理理的的的例例例子子子)C 为正向圆周 |ξ| = 1 ， |z| > 1 ，求 I =ZCdξ(ξ − 2)(ξ − z)（注意：是对 ξ 求积分，应该把 z 看成常数）两个极点 ξ = 2 和 ξ = z 都在圆周 |ξ| = 1 的外面，围线内没有奇点田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分柯西定理如果函数 f (z) 在围线 C 内无奇点或只有可去奇点，则ICf (z) = 0Example (柯柯柯西西西定定定理理理的的的例例例子子子)C 为正向圆周 |ξ| = 1 ， |z| > 1 ，求 I =ZCdξ(ξ − 2)(ξ − z)（注意：是对 ξ 求积分，应该把 z 看成常数）两个极点 ξ = 2 和 ξ = z 都在圆周 |ξ| = 1 的外面，围线内没有奇点由柯西定理， I = 0田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分柯西积分定理如果函数 f (z) 在围线 C 内没有奇点， a 在 C 的内部，则有ZCf (z)z − adz = 2πif (a)Example (柯柯柯西西西积积积分分分定定定理理理的的的例例例子子子)设 L 为圆周 |z − 1| = 2 ，求ZLzz + idz田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分柯西积分定理如果函数 f (z) 在围线 C 内没有奇点， a 在 C 的内部，则有ZCf (z)z − adz = 2πif (a)Example (柯柯柯西西西积积积分分分定定定理理理的的的例例例子子子)设 L 为圆周 |z − 1| = 2 ，求ZLzz + idz将 z = −i 代入 |z − 1| 得到 | − i − 1| =√2 < 2 ，因此 z = −i 在圆周 |z − 1| = 2 的内部田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分柯西积分定理如果函数 f (z) 在围线 C 内没有奇点， a 在 C 的内部，则有ZCf (z)z − adz = 2πif (a)Example (柯柯柯西西西积积积分分分定定定理理理的的的例例例子子子)设 L 为圆周 |z − 1| = 2 ，求ZLzz + idz将 z = −i 代入 |z − 1| 得到 | − i − 1| =√2 < 2 ，因此 z = −i 在圆周 |z − 1| = 2 的内部函数 f (z) = z 在围线 L 的内部解析（无奇点）田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分柯西积分定理如果函数 f (z) 在围线 C 内没有奇点， a 在 C 的内部，则有ZCf (z)z − adz = 2πif (a)Example (柯柯柯西西西积积积分分分定定定理理理的的的例例例子子子)设 L 为圆周 |z − 1| = 2 ，求ZLzz + idz将 z = −i 代入 |z − 1| 得到 | − i − 1| =√2 < 2 ，因此 z = −i 在圆周 |z − 1| = 2 的内部函数 f (z) = z 在围线 L 的内部解析（无奇点）由柯西积分公式，ZLzz + idz = 2πif (−i) = 2πi(−i) = 2π田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分柯西积分定理如果函数 f (z) 在围线 C 内没有奇点， a 在 C 的内部，则有ZCf (z)z − adz = 2πif (a)Example (柯柯柯西西西积积积分分分定定定理理理的的的例例例子子子)设 L 为圆周 |z − 1| = 2 ，求ZLcoszzdz田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分柯西积分定理如果函数 f (z) 在围线 C 内没有奇点， a 在 C 的内部，则有ZCf (z)z − adz = 2πif (a)Example (柯柯柯西西西积积积分分分定定定理理理的的的例例例子子子)设 L 为圆周 |z − 1| = 2 ，求ZLcoszzdz将 z = 0 代入 |z − 1| 得到 |0 − 1| = 1 < 2 ，故 z = 0 在圆周 L : |z − 1| = 2 的内部田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分柯西积分定理如果函数 f (z) 在围线 C 内没有奇点， a 在 C 的内部，则有ZCf (z)z − adz = 2πif (a)Example (柯柯柯西西西积积积分分分定定定理理理的的的例例例子子子)设 L 为圆周 |z − 1| = 2 ，求ZLcoszzdz将 z = 0 代入 |z − 1| 得到 |0 − 1| = 1 < 2 ，故 z = 0 在圆周 L : |z − 1| = 2 的内部函数 f (z) = cosz 在 L 内部解析田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分柯西积分定理如果函数 f (z) 在围线 C 内没有奇点， a 在 C 的内部，则有ZCf (z)z − adz = 2πif (a)Example (柯柯柯西西西积积积分分分定定定理理理的的的例例例子子子)设 L 为圆周 |z − 1| = 2 ，求ZLcoszzdz将 z = 0 代入 |z − 1| 得到 |0 − 1| = 1 < 2 ，故 z = 0 在圆周 L : |z − 1| = 2 的内部函数 f (z) = cosz 在 L 内部解析由柯西积分公式，ZLcoszzdz = 2πif (0) = 2πi cos0 = 2πi田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分柯西积分定理如果函数 f (z) 在围线 C 内没有奇点， a 在 C 的内部，则有ZCf (z)z − adz = 2πif (a)Example (柯柯柯西西西积积积分分分定定定理理理的的的例例例子子子)设 f (z) =I|ξ|=2cosξ + ξ3ξ − zdξ ， z ∈ { z | |z| < 2 } ，求 f00(z) 和 f00(π2)田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分柯西积分定理如果函数 f (z) 在围线 C 内没有奇点， a 在 C 的内部，则有ZCf (z)z − adz = 2πif (a)Example (柯柯柯西西西积积积分分分定定定理理理的的的例例例子子子)设 f (z) =I|ξ|=2cosξ + ξ3ξ − zdξ ， z ∈ { z | |z| < 2 } ，求 f00(z) 和 f00(π2)（注意，积分变量是 ξ ）由 |z| < 2 知 ξ = z 在圆周 |ξ| = 2 的内部田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分柯西积分定理如果函数 f (z) 在围线 C 内没有奇点， a 在 C 的内部，则有ZCf (z)z − adz = 2πif (a)Example (柯柯柯西西西积积积分分分定定定理理理的的的例例例子子子)设 f (z) =I|ξ|=2cosξ + ξ3ξ − zdξ ， z ∈ { z | |z| < 2 } ，求 f00(z) 和 f00(π2)（注意，积分变量是 ξ ）由 |z| < 2 知 ξ = z 在圆周 |ξ| = 2 的内部函数 g(ξ) = cosξ + ξ3在圆周 |ξ| = 2 内解析田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分柯西积分定理如果函数 f (z) 在围线 C 内没有奇点， a 在 C 的内部，则有ZCf (z)z − adz = 2πif (a)Example (柯柯柯西西西积积积分分分定定定理理理的的的例例例子子子)设 f (z) =I|ξ|=2cosξ + ξ3ξ − zdξ ， z ∈ { z | |z| < 2 } ，求 f00(z) 和 f00(π2)（注意，积分变量是 ξ ）由 |z| < 2 知 ξ = z 在圆周 |ξ| = 2 的内部函数 g(ξ) = cosξ + ξ3在圆周 |ξ| = 2 内解析由柯西积分公式可知 f (z) =I|ξ|=2cosξ + ξ3ξ − zdξ = 2πig(z) = 2πi(cosz + z3)田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分柯西积分定理如果函数 f (z) 在围线 C 内没有奇点， a 在 C 的内部，则有ZCf (z)z − adz = 2πif (a)Example (柯柯柯西西西积积积分分分定定定理理理的的的例例例子子子)设 f (z) =I|ξ|=2cosξ + ξ3ξ − zdξ ， z ∈ { z | |z| < 2 } ，求 f00(z) 和 f00(π2)（注意，积分变量是 ξ ）由 |z| < 2 知 ξ = z 在圆周 |ξ| = 2 的内部函数 g(ξ) = cosξ + ξ3在圆周 |ξ| = 2 内解析由柯西积分公式可知 f (z) =I|ξ|=2cosξ + ξ3ξ − zdξ = 2πig(z) = 2πi(cosz + z3)f0(z) = 2πi(cosz + z3)0= 2πi(−sinz + 3z2) ， f00(z) = 2πi(−sinz + 3z2)0= ···田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分高阶导数公式如果 f (z) 在围线 C 内没有奇点， a 在 C 的内部，则ZCf (z)z − andz = 2πif(n−1)(a)(n − 1)!Example (高高高阶阶阶导导导数数数公公公式式式的的的例例例子子子)设 C为正向圆周 |z| = R (R 6= 1) ，计算积分 I =ICzez(z − 1)3dz田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分高阶导数公式如果 f (z) 在围线 C 内没有奇点， a 在 C 的内部，则ZCf (z)z − andz = 2πif(n−1)(a)(n − 1)!Example (高高高阶阶阶导导导数数数公公公式式式的的的例例例子子子)设 C为正向圆周 |z| = R (R 6= 1) ，计算积分 I =ICzez(z − 1)3dz当 R < 1 时，奇点 z = 1 不在 |z| = R 的内部，由柯西定理，积分为零田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分高阶导数公式如果 f (z) 在围线 C 内没有奇点， a 在 C 的内部，则ZCf (z)z − andz = 2πif(n−1)(a)(n − 1)!Example (高高高阶阶阶导导导数数数公公公式式式的的的例例例子子子)设 C为正向圆周 |z| = R (R 6= 1) ，计算积分 I =ICzez(z − 1)3dz当 R < 1 时，奇点 z = 1 不在 |z| = R 的内部，由柯西定理，积分为零当 R > 1 时，可以使用高阶导数公式田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分高阶导数公式如果 f (z) 在围线 C 内没有奇点， a 在 C 的内部，则ZCf (z)z − andz = 2πif(n−1)(a)(n − 1)!Example (高高高阶阶阶导导导数数数公公公式式式的的的例例例子子子)设 C为正向圆周 |z| = R (R 6= 1) ，计算积分 I =ICzez(z − 1)3dz当 R < 1 时，奇点 z = 1 不在 |z| = R 的内部，由柯西定理，积分为零当 R > 1 时，可以使用高阶导数公式当 R > 1 时，I =ICzez(z − 1)3dz = 2πi(zez)00(1)2!= 2πi(ez+ zez)0(1)2= πi(2ez+zez)(1) = 3πei田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分高阶导数公式如果 f (z) 在围线 C 内没有奇点， a 在 C 的内部，则ZCf (z)z − andz = 2πif(n−1)(a)(n − 1)!Example (高高高阶阶阶导导导数数数公公公式式式的的的例例例子子子)求积分ICez− 3z4dz的值，其中 C为正向单位圆周田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分高阶导数公式如果 f (z) 在围线 C 内没有奇点， a 在 C 的内部，则ZCf (z)z − andz = 2πif(n−1)(a)(n − 1)!Example (高高高阶阶阶导导导数数数公公公式式式的的的例例例子子子)求积分ICez− 3z4dz的值，其中 C为正向单位圆周z = 0 在单位圆周内部， f (z) = ez− 3 在单位圆周内解析，于是可用高阶导数公式田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分高阶导数公式如果 f (z) 在围线 C 内没有奇点， a 在 C 的内部，则ZCf (z)z − andz = 2πif(n−1)(a)(n − 1)!Example (高高高阶阶阶导导导数数数公公公式式式的的的例例例子子子)求积分ICez− 3z4dz的值，其中 C为正向单位圆周z = 0 在单位圆周内部， f (z) = ez− 3 在单位圆周内解析，于是可用高阶导数公式ICez− 3z4dz = 2πif000(0)3!=πif000(0)3=πi3田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分高阶导数公式如果 f (z) 在围线 C 内没有奇点， a 在 C 的内部，则ZCf (z)z − andz = 2πif(n−1)(a)(n − 1)!Example (高高高阶阶阶导导导数数数公公公式式式的的的例例例子子子)当 |z| < 1 时求 f (z) =I|ξ|=1sin2ξ(ξ − z)3田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分高阶导数公式如果 f (z) 在围线 C 内没有奇点， a 在 C 的内部，则ZCf (z)z − andz = 2πif(n−1)(a)(n − 1)!Example (高高高阶阶阶导导导数数数公公公式式式的的的例例例子子子)当 |z| < 1 时求 f (z) =I|ξ|=1sin2ξ(ξ − z)3|z| < 1 时，令 g(ξ) = sin2ξ ，则由高阶导数公式，f (z) =I|ξ|=1sin2ξ(ξ − z)3=2πig00(z)2!= −4πi sin2z田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分Example (用用用留留留数数数定定定理理理求求求积积积分分分的的的例例例子子子)I|z|=1ze1z2dz =?田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分Example (用用用留留留数数数定定定理理理求求求积积积分分分的的的例例例子子子)I|z|=1ze1z2dz =?在 0 < |z| < +∞ 内的劳朗展开为田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分Example (用用用留留留数数数定定定理理理求求求积积积分分分的的的例例例子子子)I|z|=1ze1z2dz =?在 0 < |z| < +∞ 内的劳朗展开为 z +1z+12z3+ ··· ，田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分Example (用用用留留留数数数定定定理理理求求求积积积分分分的的的例例例子子子)I|z|=1ze1z2dz =?在 0 < |z| < +∞ 内的劳朗展开为 z +1z+12z3+ ··· ，因此， Res [ze1z2, 0] = 1 ，由留数定理I|z|=1ze1z2dz = 2πi田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分Example (用用用留留留数数数定定定理理理求求求积积积分分分的的的例例例子子子)I|z|=1(1 + z2)sin2zdz =?田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分Example (用用用留留留数数数定定定理理理求求求积积积分分分的的的例例例子子子)I|z|=2ez(z − 1)(z + 4)4dz =?田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分Example (用用用留留留数数数定定定理理理求求求积积积分分分的的的例例例子子子)I|z−1|=3ezz(z − 2)2dz =?田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分Example (用用用留留留数数数定定定理理理求求求积积积分分分的的的例例例子子子)I|z−3|=4dz(z − 2)2z3=?田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分Example (用用用留留留数数数定定定理理理求求求积积积分分分的的的例例例子子子)I|z|=1cotzdz =?田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分Example (用用用留留留数数数定定定理理理求求求积积积分分分的的的例例例子子子)设 C是单位圆周内部围绕原点的正向闭曲线，求ZC(∞Xn = −2zn)dz田源初等函数的围线积分初初初等等等函函函数数数的的的围围围线线线积积积分分分用留数定理计算围线积分的基本步骤首先确定围线内部的所有奇点求出这些奇点的留数将上面所求出的留数全部加起来用 2πi乘之（正向围线）或用 −2πi 乘之（负向围线），结果就是所求的积分Example (用用用留留留数数数定定定理理理求求求积积积分分分的的的例例例子子子)I|z|=321 − coszz3dz田源初等函数的围线积分。