导数知识点各种题型归纳方法总结.doc

《导数》知识点和各种题型归纳方法总结一．导数的定义：2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：；②求平均变化率：；③取极限得导数：（下面容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：①；②；；③； ④ ⑤ ⑥；⑦； ⑧法则1：；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则2：(口诀：前导后不导相乘+后导前不导相乘)法则3：(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)（2）复合函数的导数求法：①换元，令，则②分别求导再相乘③回代题型一、导数定义的理解1..已知的值是（ ） A. B. 2 C. D. －2变式1：（ ） A．－１ Ｂ．－2 C．－3 D．1变式2： （ ） A． B． C． D．题型二：导数运算1、已知，则 2、若，则 3.=ax3+3x2+2 ，，则a=（　　　）三．导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在 时的导数，即有2.V＝s/(t)　表示即时速度a=v/(t) 表示加速度。

了解）四．导数的几何意义：函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是于是相应的切线方程是：题型三．用导数求曲线的切线注意两种情况：（1）曲线在点处切线：性质：相应的切线方程是：（2）曲线过点处切线：先设切点，切点为 ,则斜率k=，切点 在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程例：在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；解析：（1）当x0=-1时，k有最小值3，此时P的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为3x-y-11=0五．函数的单调性：设函数在某个区间可导，（1）该区间为增函数； （2）该区间为减函数；注意：当在某个区间个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的3）在该区间单调递增在该区间恒成立；（4）在该区间单调递减在该区间恒成立；题型一、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：解题模板： （1）求导数 (2)判断导函数在区间上的符号(3)下结论①该区间为增函数； ②该区间为减函数；题型二、利用导数求单调区间求函数单调区间的步骤为：（1）分析 的定义域； （2）求导数 （3）解不等式，解集在定义域的部分为增区间（4）解不等式，解集在定义域的部分为减区间题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）思路一： （1）在该区间单调递增在该区间恒成立；（2）在该区间单调递减在该区间恒成立；思路二：先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。

注意：若函数f（x）在（a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则x=c两侧使函数（x）变号，即x=c为函数的一个极值点，所以例题．若函数，若则( ) A. a< b < c B. c < b < a C. c < a < b D. b < a < c六、函数的极值与其导数的关系：1.①极值的定义：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或，则称为函数的一个极大（或小）值，为极大（或极小）值点②可导数在极值点处的导数为0（即），但函数在某点处的导数为0，并不一定函数在该处取得极值（如在处的导数为0，但没有极值）③求极值的步骤：第一步：求导数；第二步：求方程的所有实根；第三步：列表考察在每个根附近，从左到右，导数的符号如何变化，若的符号由正变负，则是极大值；若的符号由负变正，则是极小值；若的符号不变，则不是极值，不是极值点2、函数的最值：①最值的定义：若函数在定义域D存，使得对任意的，都有，（或）则称为函数的最大（小）值，记作（或）②如果函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间上必有最大值和最小值③求可导函数在闭区间上的最值方法：第一步；求在区间的极值；第二步：比较的极值与、的大小：第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。

注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得极值≠最值函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）3、注意：极大值不一定比极小值大如的极大值为，极小值为2注意：当x=x0时，函数有极值 f/(x0)＝0但是，f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值；判断极值，还需结合函数的单调性说明题型一、求极值与最值题型二、导数的极值与最值的应用（不等式恒成立问题，讨论方程的根的个数问题）题型四、导数图象与原函数图象关系 导函数（看正负） 原函数（看升降增减） 的符号 单调性 与x轴的交点且交点两侧异号 极值 的增减性 的每一点的切线斜率的变化趋势 （的图象的增减幅度） 增 的每一点的切线斜率增大（的图象的变化幅度快） 减 的每一点的切线斜率减小 （的图象的变化幅度慢）【题型针对训练】1. 已知f(x)=ex-ax-1.（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R单调递增，求a的取值围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.2. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=时，y=f(x）有极值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.（请你欣赏）3.当 ，证明不等式.证明：，，则，当时。

在是增函数，，即，又，当时，，在是减函数，，即，因此，当时，不等式成立.点评：由题意构造出两个函数，.利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键.（请你欣赏）4、 已知函数的图象如图所示Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线方程为，求函数f ( x )的解析式；（Ⅲ）若方程有三个不同的根，数a的取值围解：由题知：（Ⅰ）由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且= 0 得 （Ⅱ）依题意= – 3 且f ( 2 ) = 5 解得a = 1 , b = – 6 所以f ( x ) = x3 – 6x2 + 9x + 3 （Ⅲ）依题意 f ( x ) = ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a＞0 ) = 3ax2 + 2bx – 3a – 2b 由= 0b = – 9a ① 若方程f ( x ) = 8a有三个不同的根，当且仅当 满足f ( 5 )＜8a＜f ( 1 ) ②由① ②得 – 25a + 3＜8a＜7a + 3＜a＜3 所以 当＜a＜3时，方程f ( x ) = 8a有三个不同的根导数各种题型方法总结】请同学们高度重视（温馨提示）：首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量； 2变更主元； 3根分布； 4判别式法5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值围。

最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础题型一、函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；（基础题型）1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）——（已知谁的围就把谁作为主元）；例题欣赏1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，（1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值围；（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.解:由函数 得 （1） 在区间上为“凸函数”，则 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于 解法二：分离变量法：∵ 当时, 恒成立, 当时, 恒成立等价于的最大值（）恒成立，而（）是增函数，则(2)∵当时在区间上都为“凸函数” 则等价于当时 恒成立 解法三：变更主元法 在区间[0,3]上恒成立 在恒成立-22（视为关于m的一次函数最值问题） 例题欣赏2：（二次函数区间最值的例子）设函数 （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值； （Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a的取值围. 解：（Ⅰ） 3aaa3a令得的单调递增区间为（a,3a）令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+） ∴当x=a时，极小值= 当x=3a时，极大值=b. （Ⅱ）由||≤a，得：对任意的恒成立①则等价于这个二次函数 的对称轴 （放缩法）即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

上是增函数. （9分）∴于是，对任意，不等式①恒成立，等价于 又∴点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征：恒成立恒成立；从而转化为第一、二种题型例题欣赏3 已知函数图象上一点处的切线斜率为，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求的值域；（Ⅲ）当时，不等式恒成立，数t的取值围解：（Ⅰ）∴， 解得 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减又 ∴的值域是（Ⅲ）令思路1：要使恒成立，只需，即（分离变量）思路2：二次函数区间最值题型二、已知函数在某个区间上的单调性求参数的围（逆向考。