高等数学课件4-3分部积分法.ppt

1$3分部积分一、基本内容一、基本内容 Basic contents 用换元积分法我们已解决：用换元积分法我们已解决： 问题问题 questions2$3分部积分解决思路解决思路 利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则. 分部积分公式分部积分公式 注注：当求：当求 有困难而有困难而 比较容易时，可比较容易时，可 利用分部积分公式利用分部积分公式 3$3分部积分例例Example 1Example 1 求积分求积分解解solution设设u=x 则则du=dx可验算：可验算：问：设问：设则则越算越复杂越算越复杂故故适当选适当选u、、v很重要，否则积不出来很重要，否则积不出来4$3分部积分例例 ExampleExample 2 2 求积分求积分解解 Solution 令令显然，显然， 选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.令令5$3分部积分例例Example 3Example 3 求积分求积分解解solution 设设 u=x dv=cos(3x+1)dx则则 du=dx6$3分部积分例例Example 4Example 4解解 Solution（再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）例例5（例（例3））7$3分部积分 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函弦函数或幂函数和指数函数的乘积数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设就考虑设幂函数为幂函数为 , 使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正假定幂指数是正整数整数)总结总结 （（1）形如）形如的积分的积分，可经，可经n次分部积分求得。

次分部积分求得2）形如）形如可经可经n次分部积分求得次分部积分求得为为n次多项式次多项式8$3分部积分例例Example 6Example 6解解 Solution u=lnx dv=dx (好象好象u、、v已选好）已选好）v=x=xlnx-x+c解解 Solution例例 Example 7Example 7 求积分求积分9$3分部积分例例 Example 8Example 8 求积分求积分解解Solution10$3分部积分解解Solution令令例例 Example 9Example 9 求积分求积分11$3分部积分例例 Example 10Example 10（补充）（补充）解解移项得：移项得：12$3分部积分总结总结 Summary 若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为角函数为 u . （（3）积分）积分，，可经可经1次分部积分求得次分部积分求得n为为正整数正整数（（4）分部积分的步骤：）分部积分的步骤：1.选选u、、v2.代公式代公式3.算微分算微分4.算积分算积分13$3分部积分例例 Example 11Example 11解解注意循环形式注意循环形式 u=sinx移项得：移项得：14$3分部积分类似可得类似可得一般地有公式一般地有公式：：注：注：在此例中也可设在此例中也可设15$3分部积分例例 Example 12Example 12（补充）（补充）解解 Solution16$3分部积分令令(23)17$3分部积分例例 Example 13 (P257) 解解 Solution移项得：移项得：18$3分部积分注注1. 选选dv的原则：的原则：(1)dv易积分求出易积分求出v2.dv造取的次序：造取的次序：19$3分部积分解解两边同时对两边同时对 求导求导, 得得20$3分部积分例例15 (P258)解解递推公式递推公式21$3分部积分例例 Example 16 (P273,习题四习题四,21)22$3分部积分分部积分非标准类型举例：分部积分非标准类型举例：例例17（补充）（补充）解解1（（第二换元法的标准类型）第二换元法的标准类型）令令x=atant,则则再分部再分部由例由例13xt23$3分部积分解解2（分部积分）（分部积分）（（23））移项得：移项得：24$3分部积分例例 Example 18（补充）（补充）解解1 （（第二换元法的标准类型）第二换元法的标准类型）令令x=tant, tx1t25$3分部积分解解2 （凑微法）（凑微法）解解3 （分部积分）（分部积分）注：解注：解2、解、解3两结果相差一个常数。

两结果相差一个常数26$3分部积分硕士研究生入学试题硕士研究生入学试题例例19 （（98理工数学二）理工数学二）例例 20 （（97理工数学二）理工数学二）27$3分部积分例例21 （（97理工数学二）理工数学二）例例22（（99理工数学二）理工数学二）28$3分部积分例例23（（2000理工数学二）理工数学二）设设，，计算计算解解 设设lnx=t则则29$3分部积分合理选择合理选择 ，正确使用分部积，正确使用分部积分公式分公式二、小结二、小结 Brief summary 30$3分部积分分部积分标准类型：分部积分标准类型： 类型类型 u 1 2 3 或或(二者相当）二者相当）出现循环，成为出现循环，成为含原积分的方程含原积分的方程31$3分部积分思考题思考题Consideration question 在接连几次应用分部积分公式时，在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？应注意什么？ | What should you pay attention to when use the formula of Integration by parts continuously ?32$3分部积分思考题解答思考题解答 Solution to consideration question注意前后几次所选的注意前后几次所选的 应为同类型函数应为同类型函数.例例第一次时若选第一次时若选第二次时仍应选第二次时仍应选33$3分部积分练练 习习 题题 Exercises 34$3分部积分35$3分部积分练习题答案练习题答案 Answers to exercise36$3分部积分37$3分部积分。