角点法计算公式.doc

在实际工程中荷载很少是以集中力的形式作用在地基上，而往往是通过基础分布在一定面积上若基础底面的形状或基底下的荷载分布不均匀时，可用等代荷载法求解地基中附加应力；若基础底面的形状及基底下的荷载分布都均匀时，可用积分的方法求解地基中附加应力下面介绍常见的基础底面形状及其在分布荷载（有规律）作用下，地基中附加应力σz的计算一、矩形面积均布荷载作用时土中竖向附加应力计算1、计算公式如图所示，当均布竖向荷载作用于矩形基础时，矩形基础角点下任一深度z处的附加应力可由布辛奈斯克公式进行积分求得 在离坐标原点O为x、y处取一微分面积dA=dxdy，该面上集中力为dp，角点下M(0，0，z)的附加应力为：　　代入及则：式中：A——基础底面面积，A=l·b；l为基础长边，b为基础短边；p0——矩形基础上均布荷载通过积分得：(3.23)式中：αc——均布矩形荷载角点下附加应力系数，可按下式计算或查教材中表3.4求得3.24)式中=l/b,n=z/b2、角点法当所求点不位于基础角点下时，可用角点法求解通常M点的位置分下列四种情况计算时，通过M点将荷载面积划分为若干个小矩形，然后按式(3.23)计算每个小矩形角点下同深度z处的附加应力，并求其代数和。

这种方法即为角点法注意：若干个小矩形面积之代数和应等于基础原有的受荷面积1)M点在荷载面边缘处(图(a))(2)M点在荷载面之内(图(b))(3)M点在荷载面边缘外侧(图(c))(4)M点在荷载面角点外侧(图(d))3、举例【例题3.4】已知均布受荷基底面积如例图所示，求基底下8m处M点的附加应力p0=100kPa基底面积为3×2m2解】l/b=6/1=6 z/b=8/1=8 查表，得l/b=3/1=3 z/b=8/1=8查表，得 二、矩形面积上作用三角形分布荷载时土中竖向附加应力计算1、计算公式如图所示，设沿矩形基础一边b分布的三角形荷载最大值为pt，在三角形荷载范围内取一微分面积dA=dxdy，该面上集中力为：通过积分，得荷载为零值边的角点1下任意深度z处竖向附加应力为：(3.25)式中：同理，还可求得三角形最大值边的角点2下任意深度z处的附加应力：(3.26)αt1和αt2均为附加应力系数，且是m=l/b和n=z/b的函数，可按下式计算或查教材中表3.6求得2、角点法对于基底范围之内(或之外)任意点下的附加应力，仍可利用角点法和叠加原理来进行注意：应使所求点位于三角形分布荷载为零(或最大值)一点垂线上，b始终指荷载变化方向矩形基础底面的长度。

3、举例【例题3.5】某矩形基础底面尺寸为l=3m,b=2m，基顶作用重直荷载F=1308kN，偏心矩e=0.25m，基础埋深1.5m，求例图(a)所示M点处地基附加应力解】(1)计算基底附加应力 将梯形分布的基底附加应力分成矩形均布荷载和三角形分布荷载，分别计算这两部分荷载在M点处引起的附加应力，然后叠加2)计算由均布荷载引起的附加应力已由例题3.4得出为：(3)计算由三角形feb分布荷载引起的附加应力过e点延长be交M点的垂线于d点，使M点位于大三角形abd，小三角形deM和矩形afMd的角点处根据角点法得下式：其中：pt1=496kPa，pt2=248kPal/b=1/6=0.2 z/b=8/6=1.3查表，得 αt1=0.0158l/b=6/1=6 z/b=8/1=8查表，得 αc=0.0311l/b=1/3=0.3 z/b=8/3=2.7查表，得 αt2=0.0094σzII=2×(0.0158×496-0.0311×248+0.0094×248)=4.91kPaσz=σzI+σzII=2.26+4.91=7.17kPa三、圆形面积上作用均布荷载时土中竖向附加应力计算如图所示，设圆形荷载面积半径为r0，以圆心O为坐标原点，取微分面积dA=rdθdr，该面上集中力为dp=p0rdθdr，对整个圆面积积分，求得土中任意点M的附加应力。

由于所以(3.27)式中：αr——圆形均布荷载下任意点的附加应力系数，可按上式计算或查表求得；l——为所求点M垂直向上在圆面积上投影点与圆心之间距离(图)当l=0时，则为：(3.28)式中：α0——均布圆形荷载中心点下附加应力系数，可按上式计算或查表求得。