矩阵最小二乘.ppt

线性参数的最小二乘处理 最小二乘原理最小二乘原理等精度测量线性参数的最小二乘原理不等精度测量线性参数的最小二乘原理 正规方程线性参数的最小二乘处理的正规方程非线性参数的最小二乘处理的正规方程最小二乘原理和算术平均值原理的关系 精度估计测量数据的精度估计最小二乘估计量的精度估计主要内容引入待测量（难以直接测量）：直接测量量：问题：如何根据和测量方程解得待测 量的估计值？直接求得有利于减小随机误差，方程组有冗余，采用最小二乘原理求 讨论：最小二乘原理：最可信赖值应使残余误差平方和最小最小二乘原理 设直接测量量 的估计值为 ，则有由此得测量数据 的残余误差残差方程式等精度测量的最小二乘原理：最小 不等精度测量的最小二乘原理：最小最小二乘原理 测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残余误差平方和）最小矩阵的导数运算1、矩阵Y=F(x)对标量x求导，相当于每个元素求导数2、标量y对列向量x求导注意：对m1向量求导后还是m1向量3、行向量yT对列向量x求导 注意：1n向量对m1向量求导后是mn矩阵；将y的每一列对x求偏导，将各列构成一个矩阵 结论：4、列向量y对行向量xT求导 转化为行向量yT对列向量x的导数，然后转置。

注意m1向量对1n向量求导结果为mn矩阵 结论：5、向量积对列向量x求导运算法则 结论：6、矩阵Y对列向量x求导 将Y对x的每一个分量求偏导，构成一个超向量注意该向量的每一个元素都是一个矩阵7、标量y对矩阵X的导数 类似标量y对列向量x的导数，把y对每个X的元素求偏导，不用转置 结论：重点关注：（1）（2）最小二乘估计设有一线性观测模型：则有加权最小二乘估计（1）权重的概念（2）单位权化（3）加权最小二乘估计精度估计 目的：给出估计量 的精度一、测量数据精度估计A）等精度测量数据的精度估计对 进行n次等精度测量，给出 的估计量可以证明 是自由度（nt）的 变量根据 变量的性质，有则可取作为 的无偏估计量因此测量数据的标准差的估计量为B）不等精度测量数据的精度估计测量数据的单位权标准差的无偏估计最小二乘估计量的精度估计A）等精度测量最小二乘估计量的精度估计设有正规方程设利用上述不定乘数，可求得其中：由于 为等精度 的相互独立的正态随机变量同理可得则相应的最小二乘估计值的标准差为B）不等精度测量最小二乘估计量的精度估计同理经推导可得：各不定乘数 由 求得：。