量子力学期中考试试题.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑量子力学期中考试试题 量子力学期中考试试题 物理常数：光速：c?2.998?10m?s；普朗克常数：h?6.626?108?1?34J?s；玻尔兹曼常数： 电子质量：碳原子质量：kB?1.381?10?23J/K；me?9.109?10?31kg；mC?12u?2.007?10?26kg；电子电荷：e?1.602?10?19C 一、填空题： 1、 量子力学的根本特征是 2、 波函数的性质是 3、1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有确定动量p的自由粒子，得志德布洛意关系： ； 假设电子由静止被150伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长： （留存1位有效数字）；对宏观物体而言，其对应的德布洛意波波长极短，所以宏观物体的波动性很难被我们查看到，但最近察觉介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显示出波动性。

计算1K时，C60团簇（由60个C原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长：_______________（留存2位有效数字） 4.一粒子用波函数?描写,那么在某个区域dV内找到粒子的几率为 (rt,)5、线性谐振子的零点能为 6、厄密算符的本征值必为 7、氢原子能级n?的简并度为 58、完全确定三维空间的自由粒子状态需要三个力学量，它们是 9、测不准关系反映了微观粒子的 10. 等人的测验验证了德布罗意波的存在 11. 通常把 称为束缚态 12. 波函数得志的三个根本条件是： 13.一维线性谐振子的本征能量与相应的本征函数分别为： 14．两力学量对易的说明： 。

15. 坐标与动量的不确定关系是： 16. 氢原子的本征函数一般可以写为： 17. 何谓定态： 1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点 2. 简并、简并度 3. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ??r,?,?? ，写出粒子在立体角d?中被测到的几率 4. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ??r,?,?? ，写出粒子在球壳?r,r?dr?中被测到的几率 5. 一粒子的波函数为??r????x,y,z?，写出粒子位于x~x?dx间的几率 6. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式 7. 写出三维无限深势阱 ???0,0?x?a,0?y?b,0?z?cV(x,y,z)????,其余区域 中粒子的能级和波函数 ?0,V(x)????,8. 一质量为?的粒子在一维无限深方势阱 中运动，写出其状态波函数和能级表达式 0?x?2ax?0,x?2a ??9. 何谓几率流密度？写出几率流密度j（r,t）的表达式 10. 写出在z表象中的泡利矩阵。

11. 电子自旋假设的两个要点 12. ?（L2,Lz） 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？ 13. 写出电子自旋 sz?y,p????L,L???14. 给出如下对易关系： y2x的二本征态和本征值 ?z,p????L,L????s,s?????,????xyzxyzy ??(r,?/2)?????(r,sz)?????(r?,??/2)??， 16. 完全描述电子运动的旋量波函数为 2?2?3dr?(r,??/2)?(r,?/2)?切实表达 及 分别表示什么样的物理意义 18. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？ 21. 使用定态微扰论时，对哈密顿量H有什么样的要求？ 22. 写出非简并态微扰论的波函数（一级近似）和能量（二级近似）计算公式 23. 量子力学中，体系的任意态?(x)可用一组力学量完全集的共同本征态?n(x)开展： ?(x)??cn?n(x)n， 写出开展式系数 cn的表达式 p?H??V(x)?m24. 一维运动中，哈密顿量 ，求?x,H???25. 什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。

26. 什么样的状态是定态，其性质是什么？ ?p,H??? ?x之间的测不准关系 27. 简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x和动量p28. 厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？ 29. 全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数 二、计算题： 1、利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量 （2）在平匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径 已知外磁场B?10T，玻尔磁子?B?0.923?10及T?100K的热运动能量相对比 2. .证明在定态中，几率流与时间无关 ?23求动能的量子化间隔?E，并与T?4KJ?T?1， ??，x?0?3. 一粒子在一维势场 U(x)??0， 0?x?a中运动， ??，x?a? （1）求粒子的能级和对应的波函数 （2）若已知t?0时，该粒子状态为：??x,0??1??1(x)??2(x)?，求t时刻该粒子的波函数； 2（3）求t时刻测量到粒子的能量分别为E1和E2的几率是多少？ （4）求t时刻粒子的平均能量E和平均位置x。

L24.一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是H?，L为角动量，求与此对应的量子体系 2I在以下处境下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动： 5. 设t=0时，粒子的状态为 2 ?(x)?A[sin kx?12coskx]求此时粒子的平均动量和平均动能 6. 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，假设粒子的状态由波函数 ?(x)?Ax(a?x) 描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值 7. 设氢原子处于状态 ?(r,?,?)?13R21(r)Y10(?,?)?R21(r)Y1?1(?,?) 22求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值展现的几率和这些力学量的平均值 ???B??0，求 ??B?A?2?B?2?1，且A（一）.已知厄密算符A,B，得志A?、B?的矩阵表示； 1、在A表象中算符A?的本征值和本征函数； 2、在B表象中算符A3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。

（二）. 设氢原子在t?0时处于状态 ?(r,0)? 111R21(r)Y10(?,?)?R31(r)Y10(?,?)?R21(r)Y1?1(?,?)222，求 ??2和Lz的取值几率和平均值； 1、t?0时氢原子的E、L??2和Lz的取值几率和平均值 2、t?0时体系的波函数，并给出此时体系的E、L（六）、当?为一小量时，利用微扰论求矩阵 一次项 ?1??2??0???2??3??3?3?2???的本征值至2?0?的二次项，本征矢至?的 ???nS（十）、在z表象中，求自旋算符S在?{cos?,cos?,cos?}方向投影算符 ??????S?cos??S?cos?S?n?Sxcos??Snyz的本征值和相应的本征态 （十四）、 有一带电荷e质量m的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值. （十五）、 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能 V(x)?1m?2x22] ?x的本征态 ?z表象中，求?（十八）、在? — 7 —。