数学物理方程02线性偏微分方程的分类OKppt课件.ppt

第第2 2章章 线性偏微分方程的分类线性偏微分方程的分类Linear Partial Differential Equations1;.2.1 偏微分方程的基本概念自变量未知函数偏微分方程的一般形式数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程2;.PDE的阶：PDE的解 古典解广义解一些概念:是指这样一个函数，它满足方程，并且在所考虑的区域内有m阶连续偏导数 线性PDE非线性PDE半线性PDE拟线性PDE完全非线性PDE数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程3;.线性线性PDE：PDE中对所含未知函数及其各阶导数未知函数及其各阶导数的全体都是线性的例如：常系数线性常系数线性PDE:不然称为变系数变系数的．齐次线性齐次线性PDE:不然称为非齐次非齐次的．线性线性PDE的主部的主部: 具有最高阶数偏导数组成的部分主部数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程4;.PDE中对最高阶导数是线性的例如：半线性半线性PDE：完全非线性完全非线性PDE：PDE中对最高阶导数不是线性的拟线性拟线性PDE：拟线性PDE中，最高阶导数的系数仅为自变量的函数例如：数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程5;.举例（未知函数为二元函数）举例（未知函数为二元函数）1.2.变换解为：解为：数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程6;.举例（未知函数为二元函数）举例（未知函数为二元函数）4.3.解为：变换解为：数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程7;.5.不易找出其通解，但还是可以找出一些特解任意解析函数 的实部和虚部均满足方程。

也是解6.特解都不易找到KDV方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程举例（未知函数为二元函数）举例（未知函数为二元函数）其中8;.7.拟线性拟线性PDE8.拟线性拟线性PDE9.半线性半线性PDE10.半线性半线性PDE11.完全非线性完全非线性PDE数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程举例（未知函数为二元函数）举例（未知函数为二元函数）9;.拉普拉斯(Laplace)方程热传导方程波动方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程举例（未知函数为多元函数）举例（未知函数为多元函数）10;.2.2 二阶线性偏微分方程的分类两个自变量，齐次两个自变量，齐次主部目的：通过自变量的非奇异变换来简化方程的主部，从而据此分类非奇异非奇异（（1））数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程11;.复合求导数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程12;.系数之间的关系（（2））（（1））（（3））数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程13;.其他系数之间的关系（（3*））数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程14;.考虑考虑如若能找到两个相互独立的解那么就作变换从而有（（4））数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程15;.假设是方程的特解，则关系式是常微分方程（（4））（（5））的一般积分。

反之亦然引理引理 由此可知，要求方程（4）的解，只须求出常微分方程（5）的一般积分数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程16;.定义定义称常微分方程（5）为PDE（1）的 特征方程特征方程称（5）的积分曲线为PDE（1）的 特征曲线特征曲线6））数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程17;.记记定义定义方程(1)在点 M 处是双曲型：椭圆型：抛物型：若在点M处，有若在点M处，有若在点M处，有数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程18;.双曲型双曲型PDEPDE右端为两相异的实函数右端为两相异的实函数它们的一般积分为由此令，方程（1）可改写为双曲型方程的第一标准型双曲型方程的第二标准型数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程19;.抛物型抛物型PDEPDE由此得到一般积分为由此令其中,为独立的任意函数数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程20;.由于由此推出数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程21;.因此，方程（1）可改写为抛物型方程的标准型而数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程22;.椭圆型椭圆型PDEPDE右端为两相异的复数右端为两相异的复数由此推出两族复数积分曲线为其中数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程23;.由此令从而方程（1）可改写为， 满足方程（4）椭圆型方程的标准型数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程24;.例例1 1抛物型方程令数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程25;.例例2 2双曲型方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程26;.例例3 3Tricomi方程椭圆型双曲型抛物型数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程27;.数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程28;.本章综合习题本章综合习题本章综合习题本章综合习题1、确定下列各方程为双曲线型、抛物型或椭圆型的范围，并在相应的区域中化方程为标准形式：数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程29;.2、求出下列各方程的通解，并代回原方程来检验是否有解：（c为常数）（c为常数）数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程30;.3、求下列方程的特征线，并化方程为标准形式：数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程31;.4、已知常系数抛物型方程证明如果作代换那么原方程当 时将化为热传导方程其中数学物理方程数学物理方程数学物理方程数学物理方程32;.。