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    贵州省高中数学联赛试题    2018年贵州省高中数学联赛试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：每小题6分，本大题共30分.1.小王在word 文档中设计好一张4A 规格的表格，根据要求，这种规格的表格需要设计1000张，小王欲使用“复制——粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本word 文档中“粘贴”）的办法满足要求.请问：小王需要使用“复制——粘贴”的次数至少为（ ） A ．9次 B ．10次 C ．11次 D ．12次2.已知一双曲线的两条渐近线方程为0x -=0y +=，则它的离心率是（ ） A．13.在空间直角坐标系中，已知(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)C ，则到面OAB 、面OBC 、面OAC 、面ABC 的距离相等的点的个数是（ ）A ．1B ．4C ．5D ．无穷多4.若圆柱被一平面所截，其截面椭圆的离心率为3，则此截面与圆柱底面所成的锐二面角是（ ）A ．1arcsin3 B ．1arccos 3 C ．2arcsin 3 D ．2arccos35.已知等差数列{}n a 及{}n b ，设12n n A a a a =++???+，12n n B b b b =++???+，若对*n N ?∈，有3553n n A n B n +=+，则106a b =（ ）A ．3533 B ．3129 C ．17599 D ．15587二、填空题（每小题6分，本大题共60分）6.已知O 为ABC ?所在平面上一定点，动点P 满足()AB AC OP OA ABACλ=++，其[0,)λ∈+∞，则P 点的轨迹为 ．7.牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手.这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄相同.则这四人中最佳选手是 ．8.方程组2226()6x y xy x y ?+=?+=-?的实数解为 ．9.如图，在ABD ?中，点C 在AD 上，2ABC π∠=，6DBC π∠=，1AB CD ==，则AC = ．10.函数z 的最小值是 ． 11.若边长为6的正ABC ?的三个顶点到平面α的距离分别为1，2，3，则ABC ?的重心G 到平面α的距离为 ． 12.若实数a 使得不等式222x a x a a -+-≥对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围 ．13.若方程(0,1)x a x a a =>≠有两个不等实根，则实数a 的取值范围是 ． 14.顺次连结圆229x y +=与双曲线3xy =的交点，得到一个凸四边形.则此凸四边形的面积为 ．15.函数2(5)sin 1(010)y x x x π=--≤≤的所有零点之和等于 ．三、解答题（每小题15分，本大题共60分）16.已知函数3y x =. 17.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =，直线21y x =-与C 交于A 、B两点，且AB =（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(2,0)M 的直线l （斜率不为零）与椭圆C 交于不同的两点E 、F （E 在点F 、M之间），记OMEOMF S S λ??=，求λ的取值范围.18.证明：（1）1111112212221k k k k ++++???+2的正方形内.19.已知梯形ABCD ，边CD 、AB 分别为上、下底，且90ADC ∠=，对角线AC BD ⊥，过D 作DE BC ⊥于点E .（1）证明：22AC CD AB CD =+?；（2）证明：22AE AC CDBE AC CD ?=-.参考答案一、选择题1-5: BACBB二、填空题6. BAC ∠的角平分线7. 牛得亨先生的女儿8. 13x y =-??=?或31x y =??=-?240,,,233??????12. 33,22??-???? 13. 11ea e <<14. 60三、解答题16.解：令1u x =-，则33y u =+，则1u ≥，u t =-≥，则min01t u ()2u t t =+.当0u >时，3111()3()22y t t t t t =++++-23t t =++，由于01t 当0u t t =-++++-1233t t =-++≤-（当且仅当2t =，即44x -=时取等号）所以函数的值域为(,3[6,)-∞-+∞.17.解：（1）由2e =得a ==，所以椭圆的方程为222220x y b +-=，由22222021x y b y x ?+-=?=-?得2298(22)0x x b -+-=， 所以26436(22)b ?=--，由AB =9=，即21b =， 所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设l ：2x my =+，且11(,)E x y 、22(,)F x y ，由222202x y x my ?+-=?=+?得22(2)420m y my +++=， 所以由0?>解得22m >，且12242m y y m +=-+，12222y y m ?=+①由121212OMEOMFOM y S S OM y λ????==??得，12y y λ=②由①②得2222211(1)884m m m λλ+==++，所以2118(1)4λλ<<+，解得03λ<2212221kk k k ++++???+++-2111212222k kk k k k .（2）由（1）知，1111112212221k k k k ++++???+的矩形内，而不重叠.取2,3,4k =，…，即得底分别为22311122121++???++-，33411122121++???++-，44511122121++???++-，高分别为212，312，412，…的一系列矩形，这些矩形的底小于1，高的和为223411(1)11122lim 122212n x →∞-+++???=-111lim (1)222n x →∞=-3的正方形外，其余的正方形全部可以放入底为1，高为12的矩形中（如图阴影部分）.而边长为1，12，13的三个正方形显然可以放入底为32，高为1的矩形内（如图）.19.证明：如图.（1）由于90ADC ∠=，故222AC CD AD =+.因为对角线AC BD ⊥，所以90DCA BDC ADB ∠=-∠=∠.而90ADC BAD ∠==∠，则ACD BDA ??，故2AD ABAD AB CDCD AD =?=?.因此，有22AC CD AB CD =+?.（2）由于90ADC ∠=，故222AC CD AD -=，所以222AC CD AC CD AC CDAD ??=-AC CD ACAB CD AB ?==?. 因为180BAD DEB ∠+∠=，所以A 、B 、E 、D 四点共圆，故AEB ADB ∠=∠.由于90BAC CAD ADB ∠=-∠=∠， 且AEB BAC ∠=∠，EBA ABC ∠=∠，则ABECBA ??，故AE CABE AB =.所以22AE AC CDBE AC CD ?=-.  -全文完-。