正交变换法和配方法化二次型标准形(hfuu).doc

正交变换法和配方法化二次型标准形1配方法化二次型标准形用配方法化二次型为标准形的关键是消去交叉项，分如下两种情形处理： 情形1：如果二次型7（知知…占）含某文字例如玉的平方项，而知则集中二次型中含玉的所有交又项，然后与蚌配方，并作非退化线性替换凹= C"| +一12尤2 +・・.+ %冉(铲P)力=尤2则 f = d}y" +g（），2,…，）〃），其中 &（%，•••）〃）是>2,…，的二次型对>2，为，•••"〃）重复上述方法直到化二次型f为标准形为止.情形2:如果二次型/（工］,尤2，・・・,尤〃）不含平方项,及an =0 （，= 1,2,•••,〃）,但含某一个与主o （S，则可先作非退化线性替换七=力+ yjxj = yi-yjXk =% * = (1,2,・・・，〃；*工，，顶)把/•化为一个含平方项开的二次型，再用情形1的方法化为标准形. 例1.1:用配方法化二次型, x2, x3） = X］2 + x2 + 2x}x3 + x； — 2x2x3 - xj为标准形，并写出所用的非退化线性替换.解：先对X］配方消去所有含有X］的项奸，, X）:/(X], X" *3 )二尤;+ 2(*2 + *3 )叫 +xl~ 2x2X3 -尤;=3 + X2 + 工3 )2 - (工2 + 乂3 )2 + - 2x2X3~ x}= (x)4- x2 4- X3)2-4x2X3-2Xj再对工3配方消去所有含心的项对；工2人3：f（x].X2.X3）= 3 + x2 + x3 ）2 - 2（xj +2工2尤3）=（X| + %2 + *3 ）~ 一 2（Xo + X3 ）~ + 2工项力=玉+工2 +巧作线性替换光=尤2 +扬把二次型化为标准形/（x1,x2,x3） = yI2 -2y；+2y^注：用配方法所化得的标准形不唯一，如若作非退化线性替换为凹=也+心+尤3无=V2x2y3=V2（x2+x3）尤1=、1一5>3%2 力41 V2 尤 3 =_；~2则二次型化得标准形是f （知心* ） f之+ H - X例1.2：用配方法化二次型/（尤］，尤2,尤3）= 2尤］12 + 2尤］13-6工2工3为标准形，并 写出所用的非退化线性替换.玉=J1 + >2解：作非退化线性替换 尤2=乂-无.工3 =力则 f （知尤2，叼）=2侦1 + y2 ）（yI -）‘2）+2（y］ + y2）为 一 6（口 - 光）为二 2y《一2蜻 -4”3 +8%力先对乂配方，./h"2，X3）= 2（y； -2号3）一2疵+8光>3=2（月 一 ％）2-2>；+8>2.-2父再对无配方’/（^^2,^） = 2（^ -y3）2~2（y； -4y2y3）-2v；=2（力-％）2 - 2（力 -2>3）2 + 6峙Z| =力一 >3作线性替换< z2 = y2 - 2为、Z3 =力把二次型化为标准形:/（知心,、3）= 2z； -2z； +6z；2正交变换法化二次型标准形正交变换法化二次型标准形的一般步骤：（1）写出A的特征方程- A| = 0,求出A的全部特征值.⑵对于各个不同的特征值人，求出齐次线性方程组（4E - A）x = 0的基础解系， 即解空间的一个基底（但不一定是标准正交基），然后把它们施密特正交化.（3）把上述求得的n个两两正交的单位特征向量作为矩阵T的列向量，X =7Y就 是使二次型X AX化为标准形人见2 +扁峙+…+ Afly；t的正交变换.例 2. 1：用正交变换化二次型/（xj,x2,x3） = 3xj2 + 3%3 + 4xxx2 + + 4x2x3为标准形，并求所作的正交变换.（3 2 4、解：二次型的矩阵A = 2 0 2,求出A的特征值：M 2 3）A — 3 — 2 — 4由 |亦_国=-2 4 -2 =（人+1）2（人_8）= 0—4 — 2 4 - 3得特征值 /l| =A2 =-1, %=8其次，求属于T的特征向量 把人=-1代入（A — 3）%| — 2%2 — 4易=0< 一2%] + Ax2 一2心=0 （1）—4X| — 2x、+ （人—3）x： = 0求得基础解系%=（-尸）% =（-1,0,1）把它正交化，得再单位化，得0i=a、=（一3」，）R. =a. —（%，"］）=（_ _2 1）% "患\） 5, 5」）〃i = 1^7 =（ |A| Vs Vs〃 -L （ 4 2 5时-而，石，由）再求属于8的特征向量，把4 = 8代入（1）,求得基础解系％ =（2,1,2）2 1 2把它单位化得们=（亍亍5）于是正交矩阵为T=（1一苫2苫0V45 2 a/45 5 7453323>r-iT AT作非退化线性替换X =7,二次型的标准形为/（.%,*2，心）二8.蚌-犬-3两种方法的比较例3. 1：用可逆线性变换化下列二次型为标准形./（X|,X2,X3）=X|X2 +X2X3 +尤3工1解：方法1）用配方法玉f + % 作非退化线性替换 工2="力.乂3 = >3f（为，心，丛）=（乂 +%）3l 一%） + （乂 一%）力 + 3| +>‘2）>3>T-^+2>V3=（凹+力）2— —戈z】=Vj + y3令 < Z2 = /、Z3=>3则二次型的标准形为/(xHx2,x3) = z《— z；—z；方法2）用正交变换法0 -2二次型的矩阵A= - 0A砰维一!_ 1~2=a-i)a+|)2得特征值人］=% = ~~ 4=1，把—代入. 1 1 八Ax} - — x2 - — x3 = 01 4 1 c——X| + /ix-, - — — 0ll^c——X| — — X-, + AXy = 0(1)求得基础解系正交化，得6\ =% =（-i,i,o）B -a _（吃印_」1）场一％ *）-（ 2, 2」）再单位化，得”间一（一石而，）〃-知 1 12仇一回（一循一存质）把4 = 1代入（1）,求得基础解系 ％ =（1,1,1）把它单位化得 〃3 =（丁^，箱，箱）/ 、1 0 0令『 = （〃】,〃2，〃3），则『为正交矩阵，且tat = o -- o0 0 --I 2）作非退化线性替换X = 7Y,二次型的标准形为/化,外心）f之-： y；。