极坐标下求加速度.doc

极坐标系下速度与加速度的推导过程：一、极坐标系 （ plane polar coordinates ） 1 ．极坐标系 在参考系上取点 O ，引有刻度的射线 OX 称为极轴（有方向的），建成极坐标系 矢径： 由参考点 O 引向质点位置 A 的线段长度 由 r 表示矢径 如图示： r= 幅角： 质点的位置矢量与极轴所夹的角 θ （也称：极角） 规定： 自极轴逆时针转至位置矢量的幅角为正，反之为负 （ r ， θ）确定平面上质点的位置，称为极坐标 质点的运 动学方程： 、 质点的轨迹： 2 ．极坐标系中矢量的正交分解 如图示：质点在 A 点，沿位置矢量方向称为径向 径向单位矢量： 沿质点所在处位置矢量的方向 横向单位矢量： 与径向方向垂直且指向 增加的方向 任何矢量均可在 和 方向上作正交分解 注意 ：径向和横向随地点而异 二、径向速度与横向速度 讨论质点平面运动速度在极坐标系中的正交分解式，如图示： （ 1 ） 用微元法推导速度 设： t t+ 时间内，图中质点自 A （ r， t）经历一微小的位移 ，到达 由速度的定义： （ 1 ） 位移 对应于质点矢量的改变—— 径向位移 ； 位移 对应于质点相对于极点幅角的改变—— 横向位移 。

时， 指向趋于 方向 ， 时， 指向趋于 方向 (2) 故 : 速度的径向分量： ，速度的径横向分量 ： 即： 径向速度等于矢径对时间的变化率 横向速度等于矢径与角速度的乘积 （ 2 ） 矢量运算法推导速度 （ 5 ） 对于径向速度是矢径的变化而引起的速度的大小 下面讨论 ： 如图所示 是单位径向方向，模的大小为 1 （ ）另外 的推导也可如下进行： 右端展开是 : 即： 所以 : 三 、加速度矢量 用“矢量法”推导“加速度” 已知： 加速度另外一种表示；。