2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 1.8 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质（一）学案 北师大版必修4.doc

§8　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(一)学习目标　1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ) 的实际意义(重点).2.能借助计算器或计算机画出y＝Asin(ωx＋φ)的图像，观察参数A，ω、φ对函数图像变化的影响(难点)．知识点1　振幅变换(1)在函数y＝Asin x(A＞0)中，A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅．(2)要得到函数y＝Asin x(A＞0，A≠1)的图像，只要将函数y＝sin x的图像上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)即可得到．【预习评价】　(1)函数y＝－2sin的最大值为________最小值为________．答案　2　－2(2)函数y＝－cos x取得最大值时的x的集合为________．答案　{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}知识点2　相位变换(1)在函数y＝sin(x＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相，x＋φ为相位．(2)对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度得到的．【预习评价】(1)如何由y＝sin x的图像变换为y＝sin的图像？提示　向左平移个单位长度．(2)如何由y＝sin的图像变换为y＝sin x的图像？提示　向右平移个单位长度知识点3　周期变换(1)在函数y＝sin ωx(ω＞0)中，ω决定了函数的周期T＝，通常称周期的倒数f＝＝为频率．(2)对于函数y＝sin ωx(ω＞0，ω≠1)的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．【预习评价】1．函数y＝2sin的周期、振幅依次是(　　)A．4π，－2 B．4π，2C．π，2 D．π，－2答案　B2．若函数y＝3sin ωx的最小正周期为π，则ω＝________.答案　±2题型一　五点作图法【例1】　用五点法作函数y＝3sin的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率和初相．解　(1)列表：xx－0π2πy030－30(2)描点：在直角坐标系中描出点，，，，.(3)连线：将所得五点用光滑的曲线连起来，如图所示．(4)这样就得到了函数y＝3sin在一个周期内的图像，再将这部分图像向左、向右平移4kπ(k∈Z)个单位长度，得函数y＝3 sin的图像．此函数振幅为3，周期为4π，频率为，初相为－.规律方法　五点法作图关键是列表，一般有下面两种列表方法：(1)分别令ωx＋φ＝0，，π，，2π，再求出对应的x，这体现了整体换元的思想．(2)取ωx0＋φ＝0，得x0＝－，再把x0作为五点中第一个点的横坐标，依次递加一个周期的，就可得到其余四个点的横坐标．【训练1】　用五点法作函数y＝2sin的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率和初相．解　(1)列表：列表时2x＋取值为0、、π、、2π，再求出相应的x值和y值.x－2x＋0π2πy020－20(2)描点．(3)用平滑的曲线顺次连接各点所得图像如右图所示．利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到y＝2sin，x∈R的简图(图略)．此函数的振幅为2，周期为π，频率为，初相为.题型二　由图像求函数的解析式【例2】　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的一部分如图所示，求此函数的解析式．解　方法一　(逐一定参法)由图像知A＝3，T＝－＝π，∴ω＝＝2，∴y＝3sin(2x＋φ)．∵点在函数图像上，∴0＝3sin.∴－×2＋φ＝2kπ，得φ＝＋2kπ(k∈Z)．∵|φ|<，∴φ＝.∴y＝3sin.方法二　(待定系数法)由图像知A＝3.∵图像过点和，∴解得∴y＝3sin.方法三　(图像变换法)由A＝3，T＝π，点在图像上，可知函数图像由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，所以y＝3sin 2，即y＝3sin.规律方法　三角函数中系数的确定方法：给出y＝Asin(ωx＋φ)的图像的一部分，确定A，ω，φ的方法(1)第一零点法：如果从图像可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图像变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图像平移规律确定相关的参数．【训练2】　如图，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图像，根据图中条件，写出该函数解析式．解　由图像知A＝5.由＝－π＝，得T＝3π，∴ω＝＝.∴y＝5sin(x＋φ)．下面用两种方法求φ：方法一　(单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上，∴＋φ∈[＋2kπ，π＋2kπ](k∈Z)．由sin(＋φ)＝0，得＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．∵|φ|<π，∴φ＝.方法二　(最值点法)将最高点坐标(，5)代入y＝5sin(x＋φ)，得5sin(＋φ)＝5，∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．∵|φ|<π，∴φ＝.∴函数式为y＝5sin(x＋)．【例3】　如何由y＝sin x的图像得到y＝2cos的图像？解　y＝2cos＝2cos ＝2cos＝2sin，【迁移1】　从例3中得到的函数图像再得出y＝2cos的图像应如何变换？解　因为y＝2cos＝2cos＝2cos，所以只需把y＝2cos的图像向左平移π个单位．【迁移2】　从例3中得到的函数图像再得出y＝2cos的图像应如何变换？解　因为y＝2cos＝2cos，所以只需把y＝2cos的图像向左平移π个单位．【迁移3】　从例3中得到的函数图像再得出y＝－2cos的图像应如何变换？解　把y＝2cos的图像作关于x轴的对称图像即可．规律方法　通常，由y＝sin x的图像经过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的图像的步骤如下：(1)(相位变换)先把y＝sin x的图像上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度，得函数y＝sin(x＋φ)的图像．(2)(周期变换)把函数y＝sin(x＋φ)的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)，得函数y＝sin(ωx＋φ)的图像．(3)(振幅变换)把函数y＝sin(ωx＋φ)的图像上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)，得函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像．(4)把得到的y＝Asin(ωx＋φ)的图像向上(当b＞0时)或向下(当b＜0时)平移|b|个单位长度，得函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像．也可以先周期变换再相位变换.课堂达标1．已知简谐运动f(x)＝2sin(|φ|<)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝解析　T＝＝＝6，代入(0,1)点得sin φ＝.∵－<φ<，∴φ＝.答案　A2．已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2解析　C1：y＝cos x，C2：y＝sin，首先曲线C1，C2统一三角函数名，可将C1：y＝cos x用诱导公式处理．y＝cos x＝sin，即y＝siny＝sin＝sin2y＝sin 2＝sin.答案　D3．把函数y＝sin的图像向________平移________个单位得到y＝sin 2x的图像．解析　y＝sin＝sin 2，所以将其向右移个单位得到y＝sin 2x的图像．答案　右　4．已知函数y＝sin(ωx＋φ)，且此函数的图像如图所示，则点(ω，φ)的坐标是________．解析　由＝－＝，∴T＝π，由T＝(ω＞0)得ω＝2.由2×＋φ＝π得φ＝.∴点的坐标为(2，)．答案　5．作出函数y＝sin在长度为一个周期的闭区间上的图像．解　列表：x－0π2πxπ4π7πy＝sin00－0描点画图(如图所示)：课堂小结1．图像变换是三角函数的重点内容之一．函数的各种变换都是自变量x或函数值y进行的变换．图像变换与函数变换紧密相连，相位变换是用x＋φ来代替y＝f(x)中的x，周期变换是用ωx(ω＞0)代替x，振幅变换是用来代替y(A＞0)．2．图像变换中，还常用以下三种变换：(1)y＝－sin x的图像可由y＝sin x的图像沿x轴翻折180°而得到．(2)y＝|sin x|的图像可由y＝sin x的图像得到．其变化过程为在x轴上方的部分不变，在x轴下方的部分沿x轴翻折180°而得到．(3)y＝sin |x|的图像可通过让y＝sin x的图像在y轴右边的部分不变，y轴左边的图像由y轴右侧的图像关于y轴翻转180°而得到.基础过关1．最大值是，周期是，初相是的函数表达式可能是(　　)A．y＝sin B．y＝2sinC．y＝2sin D．y＝sin解析　∵函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的最大值为，周期为，初相为，∴A＝，ω＝3，φ＝.答案　A2．函数y＝2sin的相位和初相分别是(　　)A．－2x＋， B．2x－，－C．2x＋， D．2x＋，解析　y＝2sin＝2sin＝2sin∴相位和初相分别为2x＋，.答案　C3．将函数y＝sin x的图像上所有的点向左平移个单位长度，再将图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图像的函数解析式为(　　)A．y＝sin B．y＝sinC．y＝sin D．y＝sin解析　将y＝sin x的图像上所有点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图像，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝sin的图像．答案　A4．函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小值是－3，周期为，且它的图像经过点，则这个函数的解析式是________．解析　由已知得A＝3，T＝＝，故ω＝6.∴y＝3sin(6x＋φ)．把代入，得3sin φ＝－，sin φ＝－.又π＜φ＜2π，∴φ＝.∴y＝3sin.答案　y＝3sin5.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像如图所示，则f(x)=________．解析　由图知A＝1，T＝4＝π，∴ω＝2.。