广西壮族自治区柳州市三江县民族高中2022-2023学年高三数学文测试题含解析.docx
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广西壮族自治区柳州市三江县民族高中2022-2023学年高三数学文测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知12sinα﹣5cosα=13，则tanα=（ ）A．﹣ B．﹣ C．± D．±参考答案：B【考点】三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】利用辅助角公式将函数进行化简，得到α=θ++2kπ，利用三角函数的诱导公式进行化简求值即可【解答】解：由12sinα﹣5cosα=13，得sinα﹣cosα=1，设cosθ=，则sinθ=，则tanθ==，则方程等价为sin（α﹣θ）=1，则α﹣θ=+2kπ，即α=θ++2kπ，则tanα=tan（θ++2kπ）=tan（θ+）==；故选B【点评】本题主要考查三角函数求值，利用辅助角公式结合三角函数的诱导公式是解决本题的关键2. 已知抛物线y2=4x的焦点F，若A，B是该抛物线上的点，∠AFB=90°，线段AB中点M在抛物线的准线上的射影为N，则的最大值为 （ ）A． B．1 C． D．参考答案：C【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得2|MN|=a+b．再由勾股定理得|AB|2=a2+b2，结合基本不等式求得|AB|的范围，从而可得的最大值．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P，连接AQ、BQ 由抛物线定义，得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由勾股定理得|AB|2=a2+b2，配方得|AB|2=（a+b）2﹣2ab，又∵ab≤（） 2，∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣2×（） 2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值为．故选C．3. 若不等式|x﹣t|＜1成立的必要条件是1＜x≤4，则实数t的取值范围是（ ）A．[2，3] B．（2，3] C．[2，3） D．（2，3）参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出不等式|x﹣t|＜1的解集，再根据充分条件的定义，建立关于t的不等式组，解之从而确定t的取值范围．【解答】解：不等式|x﹣t|＜1，则t﹣1＜x＜t+1，∵不等式|x﹣t|＜1成立的必要条件是1＜x≤4，∴，解得2≤t≤3故选：A4. 已知复数，则的虚部为（ ）A、 B、 C、 D、参考答案：D5. 已知几何体其三视图（如图），若图中圆半径为1，等腰三角形腰为3，则该几何体表面积为 （ ）A． B． C． D．参考答案：解析：几何体为一个圆锥和一个半球的组合体，且，故选C6. 设为大于1的正数，且，则，，中最小的是（ ）A． B． C． D．三个数相等 参考答案：C7. 曲线y＝sin x上任一点(x，y)处切线的斜率为g(x)，则函数y＝x2g(x)的部分图像可以为( )参考答案：C略8. 如图所示的是函数的大致图象，则等于（ ）A． B． C． D．参考答案：【知识点】导数的几何意义.B11 【答案解析】C 解析：由图象知的根为0,1,2，d=0，，的两根为1和2，，，，为的两根，，，，故选C.【思路点拨】由图象知的根为0,1,2，求出函数解析式，为的两根，结合根与系数的关系求解.9. 如图，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值等于 A． B． C． D． 参考答案：D略10. 已知抛物线的焦点为，定点，点为抛物线上的动点，则的最小值为( )A． B． C． D．参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，BC=，D、E分别是AC1和BB1的中点，则直线BF与平面BB1C1C所成的角为 ． 参考答案：30°【考点】直线与平面所成的角．【分析】取AC的中点为F，连接BF、DF．根据题意得ED∥BF，进而得到直线DE与平面BB1C1C所成的角等于直线BF与平面BB1C1C所成的角，从而可得结论．【解答】解：取AC的中点为F，连接BF、DF．∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，且D，E分别是AC1和BB1的中点，∴ED∥BF．过点F作FG垂直于BC交BC于点G，由题意得∠FBG即为所求的角．∵AB=1，AC=2，∠ABC=90°，∴∴∠BCA=30°，∴在△FBG中∠FBG=30°．故答案为30°． 12. 在平面直角坐标系中，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，平面内三点A，B，C满足， =+2， =3+m．若A，B，C三点构成以∠B为直角的直角三角形，则实数m的值为 ．参考答案：1【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】写出两个向量的坐标，利用向量的运算法则求出的坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出m的值．【解答】解：∵ =+2， =3+m，∴=（1，2），=（3，m），∴=﹣=（2，m﹣2），∵A，B，C三点构成以∠B为直角的直角三角形，∴⊥，∴?=0，∴2+2（m﹣2）=0，解得：m=1，故答案为：1．【点评】本题考查向量坐标的定义、考查向量的运算法则、考查向量垂直的充要条件．13. = _______.参考答案：214. 在直线，，，围成的区域内撒一粒豆子，则落入，，围成的区域内的概率为 ．参考答案： 15. 实数x，y满足x＋2y＝2，则的最小值是________________.参考答案：【知识点】基本不等式；指数的运算 B6 E6 【答案解析】6 解析：利用基本不等式可得：，，当且仅当，即时，取等号，故答案为：6【思路点拨】利用基本不等式和指数的运算性质即可得出结论。
16. 复数在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数= .参考答案：217. 展开式中常数项为 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知点A（﹣2，0），B（0，1）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）P是线段AB上的点，直线y=x+m（m≥0）交椭圆C于M、N两点，若△MNP是斜边长为的直角三角形，求直线MN的方程．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由直线可知：椭圆的焦点在x轴上，又过点A，B，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨MN丨，分类，当MN为斜边时， =，即可求得m=0，满足题意，当MN为直角边时，两平行线AB与MN的距离d=丨m﹣1丨，利用勾股定理即可求得m的值，求得直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆C： +=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由点A（﹣2，0），B（0，1），则a=2，b=1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，消去y，整理得x2+mx﹣1=0，则△=2﹣m2＞0，x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣2，则丨MN丨=丨x1﹣x2丨=，①当MN为斜边时， =，解得：m=0，满足△＞0，此时直线MN为直径的圆方程为x2+y2=，点A（﹣2，0）B（0，1）分别在圆外和圆内，即段AB上存在点P．此时直线MN的方程诶y=x，满足题意，②当MN为直角边时，两平行线AB与MN的距离d=丨m﹣1丨，∴d2+丨MN丨2=丨m﹣1丨2+（10﹣5m2）=10，即21m2+8m﹣4=0，解得：m=，m=﹣（舍），由△＞0，则m=，过点A作直线MN：y=x+的垂线，可得满足坐标为（﹣，﹣），垂足在椭圆外，即段AB上存在点P，∴直线MN的方程为y=x+，符合题意，综上可知：直线MN的方程为：y=x或y=x+．19. 函数，其中为已知的正常数，且在区间0，2上有表达式.(1）求的值；(2）求在-2，2上的表达式，并写出函数在-2，2上的单调区间（不需证明）；(3）求函数在-2，2上的最小值，并求出相应的自变量的值.参考答案：（1），(2），设，，结合二次函数的图象得.的减区间为增区间为(3）由函数在上的单调性知，在或处取得极小值. .故有：①当即时，在处取得最小值-1，②当即时，在处都取得最小值-1.③当即时，在处取得最小值.20. 在直角坐标系xOy中，设椭圆的左焦点为F1,短轴的两个端点分别为A，B，且，点在C上.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若直线与椭圆C和圆O分别相切于P,Q两点，当面积取得最大值时，求直线l的方程.参考答案：(Ⅰ) .(Ⅱ) .【分析】(Ⅰ) 由，可得；由椭圆经过点，得，求出后可得椭圆的方程．(Ⅱ)将直线方程与椭圆方程联立消元后根据判别式为零可得，解方程可得切点坐标为，再根据直线和圆相切得到，然后根据在直角三角形中求出，进而得到，将代入后消去再用基本不等式可得当三角形面积最大时，于是可得，于是直线方程可求．【详解】(Ⅰ)由，可得，①由椭圆经过点，得，②由①②得，所以椭圆的方程为．(Ⅱ)由消去整理得（*），由直线与椭圆相切得，，整理得，故方程（*）化为，即，解得，设，则，故，因此．又直线与圆相切，可得．所以， 所以，将式代入上式可得，由得，所以，当且仅当时等号成立，即时取得最大值． 由，得，所以直线的方程为．【点睛】解决解析几何问题的关键是将题中的信息坐标化，然后再利用一元二次方程根与系数的关系进行转化处理，逐步实现变量化一的目的．由于解题中要涉及到大量的计算，所以要注意计算的合理性，通过“设而不求”、“整体代换”等方法进行求解，考查转化和计算能力，属于难度较大的问题．21. （本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在区间上的最值.参考答案：解：（Ⅰ）因为.………………………………5分所以的最小正周期．…………………7分 （II）由 …………..9分 当，…………….11分 当.……………….13分22. 已知Sn为公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和．参考答案：【考点】数列的求和． 【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由已知，得，利用等差数列前n项和公式求出首。
