预备知识： 方向导数与梯度、海赛矩阵及泰勒公式[1].pdf

151§10.4 方向导数与梯度、海赛矩阵及泰勒公式 10.4.1 方向导数与梯度 1．方向导数的概念 1．方向导数的概念 偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率．对于二元函数( , )zf x y=，有 ()()()0000 000,,,limxhf xh yf xyfxyh→+−′=， ()()()0000 000,,,limyhf xyhf xyfxyh→+−′=． 在几何上，它们分别表示平面曲线0( , ),zf x yyy=⎧ ⎨=⎩及0( , ),zf x yxx=⎧ ⎨=⎩在点()00,xy处的切线的斜率． 现在我们来考虑二元函数( , )zf x y=在()00,xy处沿某指定方向的变化率． 设方向向量u对应的单位向量为{}0cos,cosαβ=u，其中,α β为向量u的方向角． 如图 10.4.1，当自变量从点()00,P xy沿方向向量u变化到( , )Q x y时，函数的改变量 ()()0000cos,cos,zf xhyhf xyαβΔ=++−u， 当0h >时，自变量沿方向u同向移动的长度为h；当0h 0h，使得对于一切(0, )λδ∈，恒有 00()()ffλ+>xdx 则称d为f在点0x处的上升方向；如果对于一切(0, )λδ∈，恒有 00()()ffλ+ux，则u是( )f x在点0x处的一个上升方向； 如果0()0D fuxuxx， 则由极限的保号性定理，存在0δ>，当(0, )hδ∈时，恒有 ()()0 000fhfh+−>xux ． 从而()()0 00fhf+>xux，故0u（或u）为( )f x在点0x处的上升方向．同理可证后一种情况． 定理 10.4.2 表明方向导数的符号决定函数值是升还是降．我们现在要问函数值沿什么方向上升最快？沿什么方向下降最快？ 157从例 4 中，我们知道函数沿梯度方向上升最快．下面我们来证明这点． 由（10.4.9）式及柯西－许瓦兹不等式，有 00 0000()()()()D ffff≤ ∇⋅≤ ∇≤ ∇uxxuxux （10.4.10） 且当000() ()f f∇=∇xux时，上述不等式中等号成立，也就是说，沿梯度方向，方向导数达到最大值 0()f∇x． 由此可知， 梯度方向是函数值上升最快的方向， 而函数值下降最快的方向是负梯度方向． 通常，把梯度方向与负梯度方向分别叫做函数的最速上升方向与最速下降方向． 根据上述结论，我们还能得出：函数在最大值点或最小值点处的梯度为零向量．事实上，如果函数( )f x在点0x处达到最大，那么，函数( )f x沿任何方向u都不可能上升，于是，从定理 10.4.2 知，0()0D f≤ux． 另一方面， 函数( )f x沿梯度方向的方向导数为0()0f∇≥x． 所以，函数在最大值点0x处的梯度为零向量．对于函数( )f x在点0x处取最小值的情况类似可证． 例例 5 求函数22( , )122f x yxyx= −−+在点(2,1)处函数值下降最快的方向． 解解 因 {}( , )22, 4f x yxy∇= −+−，故 {}(2,1)2, 4f∇= −−， (2,1){2,4}f−∇=．所以，函数在点(2,1)处的最速下降方向为{2,4}. 根据定理 10.4.2，我们还能得到如下定理． 定理定理 10.4.3 设函数( )f x是n维函数，0n∈x?，且( )f x在点0x可微，如果存在非零向量n∈d?， 使 得0()0f∇⋅>xd， 则d是( )f x在 点0x处 的 一 个 上 升 方 向 ； 如 果0()0f∇⋅