分类加法计数原理与分步乘法计数原理(用).ppt

§ 1.1分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理水若长流能成河，山以积石方为高水若长流能成河，山以积石方为高2012年年3月月19日日 数学组数学组实际问题实际问题 从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路，问：从甲地到丁地有多少种走法？要回答这个问题，就要用到计数的两个基本原理分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理．导入新课甲地乙地丙地丁地 问题一：问题一：问题一：问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有班，汽车有2班．那班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法多少种不同的走法？？ 因为一天中乘火车有因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有：种走法都可以从甲地到乙地，所以共有：3＋＋2＝＝5（种）（种）§ 1.1分类计数原理与分步计数原理能能3种种 2种种2类类从甲地到乙地从甲地到乙地3+2=5种种完成这件事情共有多少种不同的方法完成这件事情共有多少种不同的方法每类每类方案中分别有几种不同的方法方案中分别有几种不同的方法每类每类方案中的任一种方法能否独立完方案中的任一种方法能否独立完成这件事情成这件事情完成这个事情的方法有完成这个事情的方法有几类几类方案方案要做的一件事情是什么要做的一件事情是什么问题剖析问题剖析对问题对问题1的分析：的分析：1、分类计数原理、分类计数原理定义定义（加法原理）做一件事情，完成它可以有做一件事情，完成它可以有n类办法类办法,在第一类办法中有在第一类办法中有m1种种不同的方法不同的方法,在第二类办法中有在第二类办法中有m2种不同的方法，种不同的方法，……，，在第在第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法。

那么完成这件事共有种不同的方法那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn种不同的方法种不同的方法有有60种取法因此取法种数共有因此取法种数共有40+60=100（种）（种）例例1：：两个袋子里分别装有两个袋子里分别装有40个红球，个红球，60个白球，个白球，从中任取一个球，有多少种求法？从中任取一个球，有多少种求法？解：取一个球的方法可以分成两类：解：取一个球的方法可以分成两类：一类是从装白球的袋子里取一个白球一类是从装白球的袋子里取一个白球有有40种取法；种取法；另一类是从装红球的袋子里取一个红球另一类是从装红球的袋子里取一个红球40个个60个个 问题问题2：如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?A村B村C村北南中北南 解： 从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有3种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6 种不同的方法。

 问题剖析问题剖析 我们要做的一件事情是什么我们要做的一件事情是什么完成这个事情需要分完成这个事情需要分几步几步每步每步中的任一方法能否独立完成这件中的任一方法能否独立完成这件事情事情每步每步方法中分别有几种不同的方法方法中分别有几种不同的方法完成这件事情共有多少种不同的方法完成这件事情共有多少种不同的方法从从A村经村经B村去村去C村村2步步不能不能3种种 2种种3×2=6种种A村B村C村北南中北南对问题对问题2的分析：的分析：2、分步计数原理、分步计数原理定义：定义：做一件事情，完成它需要分成做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有个步骤，做第一步有m1种不种不同的方法，做第二步有同的方法，做第二步有m2种不同的方法，种不同的方法，……，做第，做第n步有步有mn种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1×m2×…×mn种不同的方法种不同的方法乘法原理）（乘法原理）例例2：： 两个袋子里分别装有两个袋子里分别装有40个红球与个红球与60个白球，个白球，从中取一个白球和一个红球，有多少种取法？从中取一个白球和一个红球，有多少种取法？60个个40个个解：取一个白球和一个红球可以分成两步解：取一个白球和一个红球可以分成两步来完成：来完成：第一步从装白球的袋子里取一个白球，第一步从装白球的袋子里取一个白球，有有60种取法；种取法；因此取一个白球和一个红球的方法共有因此取一个白球和一个红球的方法共有60 ×40=2400（种）（种）第二步从装红球的袋子里取一个红球，第二步从装红球的袋子里取一个红球，有有40种取法。

种取法分类计数原理与分步计数原理有什么不同？分类计数原理与分步计数原理有什么不同？ 分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题，它们的区别在于：同方法的种数的问题，它们的区别在于： 分类计数原理与分类计数原理与“分类分类”有关，各种方法有关，各种方法相互独立相互独立，，用用其中任何一种方法都可以完成这件事；其中任何一种方法都可以完成这件事； 分步计数原理与分步计数原理与“分步分步”有关，各个步骤有关，各个步骤相互依存相互依存，，只只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．有各个步骤都完成了，这件事才算完成．分步乘法分步乘法 分类加法分类加法共同点共同点区别一区别一完成一件事情共有完成一件事情共有n类类方案完成一件事情完成一件事情,共分共分n个个步骤区别二区别二每类中的任一种方法都每类中的任一种方法都能能独立完成独立完成这件事情这件事情每步要而且只要拿出一种方法每步要而且只要拿出一种方法就可以完成一件事情就可以完成一件事情都是要解决完成一件事情的方法种数的问题都是要解决完成一件事情的方法种数的问题。

分类加法与分步乘法计数原理的区别和联系：分类加法与分步乘法计数原理的区别和联系：例例3：： 某班级有男三好学生某班级有男三好学生5人人,女三好学生女三好学生4人 (1)从中任选一人去领奖从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？ (2) 从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有有多少种不同的选法？多少种不同的选法？解解: (1) 完成从三好学生中任选一人去领奖这件事完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有共有2类办类办法法, 第一类办法第一类办法, 从男三好学生中任选一人从男三好学生中任选一人, 共有共有 m1 = 5 种种 不同的方法不同的方法; 第二类办法第二类办法, 从女三好学生中任选一人从女三好学生中任选一人, 共有共有 m2 = 4 种种不不 同的方法同的方法; 所以所以, 根据加法原理根据加法原理, 得到不同选法种数共有得到不同选法种数共有 N = 5 + 4 = 9 种。

种例例3：： 某班级有男三好学生某班级有男三好学生5人人,女三好学生女三好学生4人 (1)从中任选一人去领奖从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？ (2) 从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有有多少种不同的选法？多少种不同的选法？解解: (2) 完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事会这件事, 需分需分2步完成步完成, 第一步第一步, 选一名男三好学生选一名男三好学生,有有 m1 = 5 种方法种方法; 第二步第二步, 选一名女三好学生选一名女三好学生,有有 m2 = 4 种方法种方法; 所以所以, 不同选法种数共有不同选法种数共有 N = 5 × 4 = 20 种点评点评: 解题的关键是从总体上看这件事情是解题的关键是从总体上看这件事情是“分类完成分类完成”,还是还是“分步完成分步完成”，，“分类完成分类完成”用用“加法原理加法原理”，，“分分步完成步完成”用用“乘法原理乘法原理”。

 1 1、书架的第、书架的第1 1层放有层放有4 4本不同的计算机书，第本不同的计算机书，第2 2层放有层放有3 3本不同本不同 的文艺书，第的文艺书，第3 3层放有层放有2 2本不同的体育书．本不同的体育书．（（1 1）从书架上任取）从书架上任取1 1本书，有多少种不同的取法？本书，有多少种不同的取法？（（2）从书架的第）从书架的第1、、2、、3层各取层各取1本书，有多少种不同的取法？本书，有多少种不同的取法？ 4+3+2=9（种）（种）4 ×3 ×2=24（种）（种）2、由数字、由数字1，，2，，3，，4，，5，，6可以组成多少个四位数？可以组成多少个四位数？ （各位上的数字不重复）（各位上的数字不重复）6 ×5 ×4 ×3=360（个）（个）3、一种号码锁有、一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从个拨号盘，每个拨号盘上有从0到到9共共10个个 数字，数字， 这这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？ 10 ×10 ×10 ×10=104练习1 有些较复杂的问题往往不是单纯的有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类分类”“分分步步”可以解决的，而要将可以解决的，而要将“分类分类”“分步分步”结合起来结合起来运用．一般是先运用．一般是先“分类分类”，然后再在每一类中，然后再在每一类中“分步分步”，， 综合应用分类计数原理和分步计数原理．请看下综合应用分类计数原理和分步计数原理．请看下面的例题：面的例题： 注意注意例例4：： 某城市号码由某城市号码由8位组成，其中从左边算起的第位组成，其中从左边算起的第1位只用位只用6或或8，其余，其余7位可以从前位可以从前10个自然数个自然数0，，1，，2，，…,9中任意中任意选取，允许数字重复。

试问：该城市最多可装多少门？选取，允许数字重复试问：该城市最多可装多少门？1 2 3 4 5 6 7 8第第1类类6解：装一门需要指定一个解：装一门需要指定一个号码，由题意号码可以号码，由题意号码可以分成两类：分成两类：第第1类号码第类号码第1位用位用6，， 确定其余确定其余7位号码可以分位号码可以分7步完成10 10 10 10 10 10 10因此第一类号码共有因此第一类号码共有10 ×10 ×10 ×10 ×10 ×10 ×10=1071 2 3 4 5 6 7 8第第2类类8同理，第同理，第2类号码也有类号码也有10 个，个，7因此，该城市所用的号码共有因此，该城市所用的号码共有10 +10 =2 ×10 个个从而最多可装从而最多可装2 ×10 门，即两千万门门，即两千万门7777实际问题实际问题 从甲地到乙地有从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有条路，从乙地到丁地有2条路；条路；从甲地到丙地有从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有条路，从丙地到丁地有4条路，条路，问：从甲地到丁地有多少种走法？问：从甲地到丁地有多少种走法？甲地乙地丙地丁地解：要完成从甲地到丁地这件事情有解：要完成从甲地到丁地这件事情有两种路线可以走，即可以分为两类：两种路线可以走，即可以分为两类：甲地甲地 乙地乙地 丁地丁地甲地甲地 丙地丙地 丁地丁地第一类又可以分为两步，第一步有第一类又可以分为两步，第一步有3种种方法，第二步有方法，第二步有2种方法，因此第一类种方法，因此第一类走法有走法有3 ×2=6（种）（种）同理第二类走法有同理第二类走法有3 ×4=12（种）（种）所以，从甲地到丁地有所以，从甲地到丁地有6+12=18种走法。

种走法1．有不同的中文书．有不同的中文书9本，不同的英文书本，不同的英文书7本，不同的日文书本，不同的日文书5本．从其中取出不是同一国文字的书本．从其中取出不是同一国文字的书2本，问有多少种不同本，问有多少种不同的取法？的取法？ 　　　　2．集合．集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4} ．从．从A,B 中各取中各取1个元素作个元素作为点为点P(x,y) 的坐标．的坐标．（（1）可以得到多少个不同的点？）可以得到多少个不同的点？（（2）这些点中，位于第一象限的有几个？）这些点中，位于第一象限的有几个？　　　　3．某中学的一幢．某中学的一幢5层教学楼共有层教学楼共有3处楼梯，问从处楼梯，问从1楼到楼到5楼共楼共有多少种不同的走法？有多少种不同的走法？4.集合集合A={1,2,3,4},B={5,6,7}, 从从A到到B的映射有多少个？的映射有多少个？讲讲练练讲讲练练9×7＋＋9×5＋＋7×5＝＝1433×4＋＋4×3＝＝242×2＋＋2×2＝＝83×3×3×3＝＝813×3×3×3＝＝81小结请同学们回答下面的问题请同学们回答下面的问题 :1. 本节课学习了那些主要内容？本节课学习了那些主要内容？ 答答: 分类计数原理和分步计数原理。

分类计数原理和分步计数原理 2. 分类计数原理和分步计数原理的共同点是什么？不同点什么分类计数原理和分步计数原理的共同点是什么？不同点什么？？ 答答: 共同点是共同点是, 它们都是研究完成一件事情它们都是研究完成一件事情, 共有多少共有多少种不同的方法种不同的方法 不同点是不同点是, 它们研究完成一件事情的方式不同它们研究完成一件事情的方式不同, 分分类计数原理是类计数原理是“分类完成分类完成”, 即任何一类办法中的任何即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事分步计数原理是一个方法都能完成这件事分步计数原理是“分步完分步完成成”, 即这些方法需要分步即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依各个步骤顺次相依,且每一且每一步都完成了步都完成了,才能完成这件事情这也是本节课的重点才能完成这件事情这也是本节课的重点。