高考数学一轮复习精品学案：第14讲 直线、圆的位置关系.doc

2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第14讲 直线、圆的位置关系一．课标要求：1．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；2．探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；3．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；4．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；5．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想二．命题走向本讲考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系（特别是弦长问题），此类问题难度属于中等，一般以选择题的形式出现，有时在解析几何中也会出现大题，多考察其几何图形的性质或方程知识预测2013年对本讲的考察是：（1）一个选择题或一个填空题，解答题多与其它知识联合考察；（2）热点问题是直线的位置关系、借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，注重此种思想方法的考察也会是一个命题的方向；（3）本讲的内容考察了学生的理解能力、逻辑思维能力、运算能力三．要点精讲1．直线l1与直线l2的的平行与垂直（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：①l1//l2 k1=k2；②l1l2 k1k2=－12）若 若A1、A2、B1、B2都不为零。

①l1//l2；②l1l2 A1A2+B1B2=0；③l1与l2相交；④l1与l2重合；注意：若A2或B2中含有字母，应注意讨论字母=0与0的情况两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数2． 距离（1）两点间距离：若，则特别地：轴，则、轴，则2）平行线间距离：若， 则：注意点：x，y对应项系数应相等3）点到直线的距离：，则P到l的距离为：3．直线与圆的位置关系有三种（1）若，；（2）；（3）还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切d=rΔ＝0；相交d0；相离d>rΔ<04．两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2， 外离 外切 相交 内切 内含判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。

四．典例解析题型1：直线间的位置关系例1．（1）若三点 A（2，2），B（a，0），C（0，b）(ab0)共线，则, 的值等于 2）已知两条直线若，则___ _解析：（1）答案：；（2）2点评：（1）三点共线问题借助斜率来解决，只需保证；（2）对直线平行关系的判断在一般式方程中注意系数为零的情况例2．（1）已知两条直线和互相垂直，则等于（ ）A．2　　　　 B．1　　　　 C．0　　　　 D．（2）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）A． B． C． D．解析：（1）答案为D；（2）与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为零和不存在两种情况题型2：距离问题例3．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）A．x－y=0 B．x+y=0 C．|x|－y=0 D．|x|－|y|=0解析：设到坐标轴距离相等的点为（x，y）∴|x|＝|y| ∴|x|－|y|＝0。

答案：D点评：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径例4．已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程解析：设点P的坐标为（x，y），由题设有，即整理得 x2+y2－6x+1=0 ①因为点N到PM的距离为1，|MＮ|＝2，所以∠PMN＝30，直线PM的斜率为，直线PM的方程为y=（x＋1） ②将②式代入①式整理得x2－4x＋1＝0解得x＝2＋，x＝2－代入②式得点P的坐标为（2＋，1＋）或（2－，－1＋）；（2＋，－1－）或（2－，1－）直线PN的方程为y=x－1或y=－x+1点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度题型3：直线与圆的位置关系例5．（1）直线与圆没有公共点，则的取值范围是（ ）A．　 B．　 C． D． （2）圆的切线方程中有一个是（ ）A．x－y＝0　　　 B．x＋y＝0　　　 C．x＝0　　　 D．y＝0解析：（1）解析：由圆的圆心到直线大于，且，选A。

点评：该题考察了直线与圆位置关系的判定2）直线ax+by=0，则，由排除法，选C，本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事点评：本题主要考查圆的切线的求法，直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件：圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件：直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解例6．已知圆M：（x＋cosq）2＋（y－sinq）2＝1，直线l：y＝kx，下面四个命题：（A） 对任意实数k与q，直线l和圆M相切；（B） 对任意实数k与q，直线l和圆M有公共点；（C） 对任意实数q，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切；（D）对任意实数k，必存在实数q，使得直线l与和圆M相切其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）解析：圆心坐标为（－cosq，sinq）d＝故选（B）（D）点评：该题复合了三角参数的形式，考察了分类讨论的思想题型4：直线与圆综合问题例7．直线x+y－2=0截圆x2＋y2＝4得的劣弧所对的圆心角为（ ）A． B． C． D．解析：如图所示：图由消y得：x2－3x+2=0，∴x1=2，x2=1。

∴A（2，0），B（1，）∴|AB|==2又|OB|＝|OA|=2，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=，故选C点评：本题考查直线与圆相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想，同时也体现了数形结合思想的简捷性如果注意到直线AB的倾斜角为120，则等腰△OAB的底角为60.因此∠AOB=60.更加体现出平面几何的意义例8．过点（1，）的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝ 解析：过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率解析(数形结合)由图形可知点A在圆的内部, 圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线，所以点评：本题主要考察数形结合思想和两条相互垂直的直线的斜率的关系，难度中等题型5：对称问题例9．一束光线l自A（－3，3）发出，射到x轴上，被x轴反射到⊙C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0上Ⅰ) 求反射线通过圆心C时，光线l的方程；(Ⅱ) 求在x轴上，反射点M的范围．解法一：已知圆的标准方程是(x－2)2+(y－2)2=1，它关于x轴的对称圆的方程是(x－2)2+(y+2)2=1。

设光线L所在的直线的方程是y－3=k(x+3)（其中斜率k待定），由题设知对称圆的圆心C′（2，-2）到这条直线的距离等于1，即d==1整理得 12k2+25k+12=0，解得k= －或k= －故所求直线方程是y－3=－(x+3)，或y－3= －(x+3)，即3x+4y+3=0或4x+3y+3=0解法二：已知圆的标准方程是(x－2)2+(y－2)2=1，设交线L所在的直线的方程是y-3=k(x+3)（其中斜率k待定），由题意知k≠0，于是L的反射点的坐标是（－，0），因为光线的入射角等于反射角，所以反射光线L′所在直线的方程为y= －k(x+)，即y+kx+3(1+k)=0这条直线应与已知圆相切，故圆心到直线的距离为1，即d==1以下同解法一点评：圆复合直线的对称问题，解题思路兼顾到直线对称性问题，重点关注对称圆的几何要素，特别是圆心坐标和圆的半径例10．已知函数f(x)=x2－1(x≥1)的图像为C1，曲线C2与C1关于直线y=x对称1）求曲线C2的方程y=g(x)；（2）设函数y=g(x)的定义域为M，x1，x2∈M，且x1≠x2，求证|g(x1)－g(x2)|<|x1－x2|;（3）设A、B为曲线C2上任意不同两点，证明直线AB与直线y=x必相交。

解析：（1）曲线C1和C2关于直线y=x对称，则g(x)为f(x)的反函数∵y=x2－1，x2=y+1，又x≥1，∴x=，则曲线C2的方程为g(x)= (x≥0)2）设x1，x2∈M，且x1≠x2，则x1－x2≠0又x1≥0， x2≥0，∴|g(x1)－g(x2)|=| －|=≤<|x1－x2|3）设A(x1，y1)、B（x2，y2）为曲线C2上任意不同两点，x1，x2∈M，且x1≠x2，由（2）知，|kAB|=||=<1∴直线AB的斜率|kAB|≠1，又直线y=x的斜率为1，∴直线AB与直线y=x必相交点评：曲线对称问题应从方程与曲线的对应关系入手来处理，最终转化为点的坐标之间的对应关系题型6：轨迹问题例11．已知动圆过定点，且与直线相切，其中I）求动圆圆心的轨迹的方程；（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标解析：（I）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；（II）如图，设，由题意得（否则）且所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知①（1）当时，即时，所以，所以由①知：所以。

因此直线的方程可表示为，即，所以直线恒过定点2）当时，由，得==，将①式代入上式整理化简可得：，所以，此时，直线的方程可表示为即，所以直线恒过定点所以由（1）（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点点评：该题是圆与圆锥曲线交汇题目，考察了轨迹问题，属于难度较大的综合题目例12．如图，。