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四川省省级精品课程四川省省级精品课程实变函数论实变函数论 主讲人：魏勇绪 论1.实变函数论的内容（一）顾名思义：实变函数论即讨论以实数为变量的函数中学学的函数概念都是以实数为变量的函数大学的数学分析，常微分方程也是研究的以实数为变量的函数实变函数论还有哪些内容可学呢？简单地说：实变函数论只做一件事，那就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积，使得操作更加灵活Rieman积分的缺陷：Rieman积分缺陷产生的根源：分化呆板、苛刻：必须将定义域分成区间，无论区间多么小(x)的最大值都是，最小值都是 导致(x)的大小和之差恒为，无法任意小克服Rieman积分的缺陷的新思路：yiyi-1用 mEi 表示 Ei 的“长度”实现新思路的攻关路线：首要问题：如何规定不规则集合 的长度？ （第三章：测度论）遗憾：不能对所有集合规定测度退而求其次：探索哪些函数满足（第四章：可测函数）准备充分后就改造积分定义：方法：随机应变直接规定方法：根据初衷规定 （第五章：积分理论）接着讨论积分的性质：（第六章：微分与积分）（第一章，第二章是必备公共基础）2.实变函数论的特点（一）高度抽象，防不胜防： 抽象到什么程度呢？有人用八个字概括为：“似是而非，似非而是”。

在此举以下两例说明之： 例：若许多同学站成一列，且男女生交叉排列，任意两个男生中间有女生，任意两个女生中间有男生，在其中任取一个片段，男女生的个数无非有三种可能，但男女生个数至多相差一个任意两个有理数中有无理术，任意两个无理数中间有有理数，而任取一个片段，无理数却比有理数多得多1，即“似是而非” 例：有理数在直线上密密麻麻，自然数在直线上稀稀拉拉，如果以前有人说自然数与有理数一样多的话，没人敢承认，而实变函数论通过严密论证该结论无可非议这就是所谓“似非而是”2.实变函数论的特点（二）例题少、定理、定义、引理、推论多，理论性强：理论性强是由于实变函数论的内容结构所决定的，因它只做一件事：恰当的改造积分定义使得更多的函数可积这就使得实变函数论的绝大部分篇幅都是在作理论上的准备，很少有应用、例题的原因但从另一个角度讲，实变函数论的习题几乎全是证明题，而定理、引理、推论的证明本身就是一些典型的，带证明示范性的例子3.学习实变函数论的方法（一）由于实变函数论高度抽象、理论性强，对于每一个尚未证明的结论都应持谨慎态度，不能简单类比后就盲目承认和否定，必须严格论证或举出反例，否则就有可能出现例、例类似的错误。

3.学习实变函数论的方法（二）对于每一个已经证明的结论不仅仅是记住，更重要的是理解其证明，只有理解其证明才能借鉴其方法 有人将“可数集并上至多可数集仍为可数集”记得烂熟，但无法自己证明“无限集并上一个至多可数集后其势不变” 能看懂“无限集并上一个至多可数集后其势不变”的证明，但对直接建立（0，1）与0，1之间的11对应仍束手无策 原因:根本想不到用证明的思想方法而不是直接用结论未消化其证明，从而不能借鉴其方法以达解决类似问题之目的 同理:有人知 “可数个可数集之并仍为可数集”，不知如何将一个可数集分解成可数个互不相交的可数集之并3.学习实变函数论的方法（三）尽管凭直观想象可能会出现例1、例2那样“似是而非，似非而是”的结论，但不能因噎废食，在每一个定理、引理、推论的证明之前都应尽量想象其合理的直观意义直观解释虽然不能代替严格的论证，却会给我们的证明带来开阔思路的启迪，直观想象永远是数学各分支发现联系、揭示规律、猜测命题的重要依据和行之有效的手段之一 3.学习实变函数论的方法（四） 既然实变函数论是数学分析研究范围、内容的扩展，研究结果的改进和完善，新旧知识之间就难免存在诸多内在联系，及时复习相关旧知识以达温故而知新的目的，注重体会如何借鉴旧方法来解决新问题的思路，同时特别注意新方法与旧方法实质区别之处，把握创新点。

3.学习实变函数论的方法（五） 注意“下连上串，左顾右盼” 如在学习R 中点之间的距离时，请先复习初中学的直线上两点间的距离公式，高中平面解析几何学的平面上两点间的距离公式，大学空间解析几何学的立体空间中两点间的距离公式即“下连”，然后浏览本课程的后继课程泛函分析的度量空间中的距离即“上串”，从而把握距离概念的实质 又如，在学习抽象测度的定义时,不仅要联想到长度、面积、体积是一种测度 还要联想到：概率统计中的概率是一种测度 还要联想到：子集中元素的个数是一种测度 思考还有哪些问题实质上是测度，即“左顾右盼”3.学习实变函数论的方法（六）遇到困难及时与同学讨论，或请老师释疑，不要拖延到问题成堆才来梳理，造成时间紧迫来不及、或见问题太多而丧失攻克难关勇气。