[课件]概率与统计2.3连续型随机变量.ppt

电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量§2.3 连续型随机变量连续型随机变量一、概率密度函数一、概率密度函数例子例子 定义定义 设随机变量设随机变量X 的分布函数为的分布函数为F( x ), 若若存在非负函数存在非负函数 f ( x ), 对于任意实数对于任意实数 x , 均有均有称随机变量称随机变量X 是是连续型随机变量连续型随机变量, ,称函数称函数 f ( x ) 为为X 的的概率密度函数概率密度函数. .射击试验射击试验仪器寿命问题仪器寿命问题09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量注注 (1) 连续型随机变量连续型随机变量X 的的分布函数是连续函数分布函数是连续函数.即即F( (x ) )在在x 处左连续，故处左连续，故F( (x ) )在在x 处连续处连续. . 证证 由分布函数的性质可知由分布函数的性质可知，，F( (x ) )在在x 处右处右连续，连续，对于对于D Dx > 0,09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量（（2））X 是连续型随机变量，则对任意实数是连续型随机变量，则对任意实数x0 ∈∈R，，有有P{ X = x0 } = 0令令D Dx → 0，，由由F( (x ) )的连续性有的连续性有09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量 故故 P{ X = x0 } = 0. （（3））P( f f ) = 0, 但是其逆不真但是其逆不真.概率密度函数的性质概率密度函数的性质 若函数若函数f ( x )满足上述满足上述(1)和和(2), ,则它必是某个则它必是某个随机变量的概率密度随机变量的概率密度. . 0 ≤ P{ X = x0 } = F(x)- -F(x - - D Dx) → 0 → 0概率曲线下概率曲线下总面积为总面积为109-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量 (4) 若若f ( x )在点在点x 处连续处连续, ,则有则有证明证明性质的应性质的应用实例用实例概率密度判定概率密度判定函数参数确定函数参数确定概率的计算概率的计算09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量二、二、 均匀分布和指数分布均匀分布和指数分布 (1) 均匀分布均匀分布 设随机变量设随机变量X 的概率密度函数为的概率密度函数为称随机变量称随机变量X 在区间在区间 (a, b ) 上服从上服从均匀分布均匀分布,记记为为X ~ U( a, b ). 特点特点1 随机变量随机变量X 概率为概率为1在在 (a, b ) 上取值；上取值；09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量 特点特点2 随机变量随机变量X落在落在 (a, b ) 的子区间的概的子区间的概率与位置无关，仅与长度成正比率与位置无关，仅与长度成正比. .oab 即对于即对于( c, c + l ) (a, b ) ，，有有∪∪c d c+l d+l 09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量 应用应用 (1) 大量试验服从均匀分布大量试验服从均匀分布; ; (2) 是计算机摸拟的基础是计算机摸拟的基础. .例如例如参见例子参见例子(2) 指数分布指数分布 设随机变量设随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为称随机变量称随机变量X 服从参数为服从参数为 l l 的的指数分布指数分布.( l l > 0 > 0)09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量 特点特点 指数分布具有指数分布具有无后效性无后效性.即有即有(P52例例2.3.4）） P{ X > t + s | X > t } = P{ X > s }参见例子参见例子三、正态三、正态分布分布( (GAUSS 分布分布) ) 设随机变量设随机变量X 的概率密度函数为的概率密度函数为Rx∈∈j j( x; m m, , s s2 2 ) = 09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量 其中其中m m , , s s ( s s > 0) > 0)是常数，是常数，则称随机变量则称随机变量X服服从参数为从参数为 m m，，s s2 的的正态分布正态分布( (或高斯分布或高斯分布) )，，记为记为X ~ N(m m , , s s2 ) 特别当特别当 m m = 0, = 0, s s = 1 = 1时时, , 其概率密度为其概率密度为Rx∈∈ ,j j( x ) = j j( x; 0, 1 ) = 称随机变量称随机变量X 服从服从标准正态分布标准正态分布, ,即即X ~ N(0, 1).09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量1. 正态分布正态分布概率密度概率密度曲线的特征曲线的特征即概率曲线下总面积为即概率曲线下总面积为1. (2)曲线关于直线曲线关于直线 x = m m 对称对称, , 即对任意实即对任意实数数x 有有 j j(m m －－ x; m m, , s s2 2 ) = j j(m m + x; m m, , s s2 2 ) 曲线下直线两侧的面积各为曲线下直线两侧的面积各为1/2, 而且而且P{ m m – x < X ≤ m m } = P{ m m < X ≤ m m + x}09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量1/21/209-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量P{ m m – x < X ≤ m m } = P{ m m < X ≤ m m + x}09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量σ较小较小σ较大较大 (3)曲线曲线x = m m 处取得最大值处取得最大值 , ,固定固定m m , , s s2 2 越大，曲线越趋于平坦越大，曲线越趋于平坦. .09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量1.若若X～～N(2, σ2), 且且P{2＜＜X＜＜4}= 0.3，， 则则P{0＜＜X}= .2 正态分布概率的计算正态分布概率的计算 若随机变量若随机变量X ~ N( m m, , s s2 )，，其分布函数为其分布函数为2. 若若X～～N(μ,σ2)，，且且P{X>3}=P{X ＜＜1} 则则μ= .09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量 若随机变量若随机变量X 服从服从标准正态分布标准正态分布, ,其分布函其分布函数记为数记为F F(－－x ) = 1－－F F( x )查表查表 P289的附表的附表2 《《标准正态分布表标准正态分布表》》给出了给出了x≥0的标准正态分布函数值的标准正态分布函数值. . （（1））若随机变量若随机变量X ~ N( 0, 1 )，，则则P{ a < X ≤ b } = F F( b ) －－F F( a )09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量 （（2））若随机变量若随机变量X ~ N( m m, s s 2 2 )，，则则证明证明F F( x; m m, , s s2 2 ) = dt = s s d y所以有所以有09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量参见例子参见例子正态分布概率计算正态分布概率计算09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量参见例子参见例子分位数分位数电池可靠性估计电池可靠性估计 分位数分位数 X ~ N( 0, 1), 若实数若实数ua a 使使P{ X > ua a } = a a 则称则称ua a为标准正态分布的对应于为标准正态分布的对应于a a 的的上侧分位上侧分位数数. .09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量 例例1 使用了使用了t 小时的元件在以后的小时的元件在以后的Δt 小时内损小时内损坏的概率等于坏的概率等于l lΔt + o(Δt ),其中其中l l > 0 为一常数为一常数,试写出该元件的寿命试写出该元件的寿命T 的分布函数的分布函数.解解 由题意由题意 当当t < 0 时时, F(t) = P{ T≤ t } = 0。

当当t ≥0 时时, 设设Δt > 0，由题设条件有，由题设条件有 P{ T≤ t + Δt |T > t } = l lΔt + o(Δt ),因因 F( t + D Dt ) = P{T ≤ t + D Dt } = P{T ≤ t } + P{t < T ≤ t + D Dt }09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量 从而有从而有 D DF = F( t + D Dt ) －－ F( t ) = P{t < T ≤ t + D Dt }又因为又因为{ t < T ≤ t + D Dt }={ T > t }{ T ≤ t + D Dt }tt+Δt]](tt+Δt](09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量 D DF = P{T > t }P{T ≤ t + D Dt | T > t } =[1 －－F(t )][l lD Dt + o(D Dt )]求解方程得分布函数求解方程得分布函数令令 D Dt →0时，得到关于函数时，得到关于函数F(t )的微分方程的微分方程09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量是函数是函数的变上限积分的变上限积分.#09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量 例例2 一个靶子是半径为一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，射击均能中靶，用射击均能中靶，用X 表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离.解：解：X 的分布函数为的分布函数为Xx考虑函数考虑函数 f ( x )= x/2 , 0 < x < 2;0, 其它其它09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量f (x)的变上限积分为的变上限积分为x1O2F(x)1x1O2f (x)10, x < 0；；#09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量例例3 设设证证 (1) j j( x ) > 0 , x ∈∈R 显然成立，显然成立，证明证明 j j( x ) 是概率密度函数是概率密度函数.09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量￿ ￿x = r cosq qy = r sinq q所以所以#09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量例例4 设随机变量设随机变量X 的概率密度函数为的概率密度函数为解解 因因试确定常数试确定常数k.#09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量例例5 已知随机变量已知随机变量X 的概率密度函数为的概率密度函数为解解用用Y 表示对进行表示对进行X 三次独立重复观测中三次独立重复观测中, 事件事件{ X ≤ ½ } 出现的次数出现的次数, 求求P{ Y = 2 } = ?所以所以 Y ~ B( 3, 1/4 ), 从而从而#09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量例例6 设随机变量设随机变量X ~ U( 0, 5 ) , 求方程求方程4 r2 + 4X r + X + 2 = 0 有实根的概率有实根的概率 p .解解：：p = P{ ( 4 X )2 – 4×4 ( X+ 2 ) ≥ 0 }= P{ X2 – (X + 2)≥0 } = P{ ( X – 2 )( X + 1 )≥0 }# = P({ X≤ －－1 } ∪∪ { X≥ 2 }) = P{ X≤ －－1 } + P{ X ≥ 2 } = P{ 2 ≤ X ≤ 5 }5 －－ 25=35=09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量例例7.某电子元件发生故障则不可修复，它的寿命某电子元件发生故障则不可修复，它的寿命X服从服从 参数为参数为λ=1/2000的指数分布的指数分布. 它工作了它工作了1000小时后能再工作小时后能再工作1000小时的概率为多少？小时的概率为多少？解解P{X≥2000︱︱X ≥1000 }= P{X ≥1000 }=1－－P{X＜＜1000}=1－－F(1000)=1－－[1－－e－－1000/2000]=e-1/2.其中其中#09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量例例8 已知随机变量已知随机变量X ~ N( m m , , s s 2 2 )，，证明证明09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量 特别地，有特别地，有# P{| X - - m m | < s s } = 2F F( ( 1 ) - 1 ) - 1 = 0.6826 P{| X - - m m | < 2s s } = 2F F( ( 2 ) - 1 ) - 1 = 0.9544 P{| X - - m m | < 3s s } = 2F F( ( 3 ) - 1 ) - 1 = 0.9974表明表明X 以很大的概率密集在以很大的概率密集在 x = m m 的附近的附近.3σ原则原则09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量例例9 设设X ~ N( 10, , 22 2 )，，求求a a 使使 P{ | X – 10 | < a a } 解解#09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量 例例10 某种电池的寿命是某种电池的寿命是X 小时小时, ,X ~ N( 300, , 352 )，，计算计算 (1) p1 = P{ X > 335 } = 1 －－P{ X ≤ 335 }解解= 1 －－ 0.8413 = 0.1587(1) 电池寿命在电池寿命在335小时以上的概率小时以上的概率p1 ? (2) 求允许时限求允许时限x ,使电池寿命在使电池寿命在(300 – x ,300 + x)内的概率不小于内的概率不小于0.9.09-9月-24电子科技大学电子科技大学 连续型连续型随机变量随机变量 (2) 0.9 ≤ P{ 300 – x < X < 300 + x } x≥ 57.75#09-9月-24。