二重积分典型例题解析.doc

1 高等数学（2）第11章重积分典型例题解析 例1 填空 （1）根据二重积分的几何意义， = 其中     D y x y x d d R 2 2 2 ）   2 2 2 ) , ( R y x y x D    （2）累次积分 交换积分次序后，得到的积分为   x x y y x f x d ) , ( d 1 0（3）已知积分区域 ，二重积分 在直角 D x y x y     {( , ) , } 1 1 1 f x y x y D ( , )d d   坐标系下化为累次积分的结果是 解（1）由二重积分的几何意义， 表示球心在圆点，半径为     D y x y x d d R 2 2 2 的上半球体的体积，故为 R 3 3 2 R  应该填写： 3 3 2 R  （2）由已知的累次积分，得积分区域为 ，若变换积分次序，即先积 后        x y x x 1 0 x 积 ，则积分变量 的上、下限必须是常量，而积分变量 的积分上、下限必须是常量或 y y x 是 的函数，因此积分区域应表为 ，于是交换后的积分为 。

y        1 0 2 y y x y   y y x y x f y 2 d ) , ( d 1 0 应该填写：   y y x y x f y 2 d ) , ( d 1 0 （3）由已知的积分区域为 可知区域 满足联立不等式 D x y x y     {( , ) , } 1 1 1 D 组 ，即而解得 ，因为两个积分变量的上、下限都是常量，所           1 1 1 1 1 y x          0 2 1 1 y x 以可随意选择积分的顺序，若先积 后积 ，则应填 ，反之应填 x y     0 2 1 1 d ) , ( d x y x f y d d x f x y y ( , )     2 0 1 1 应该填写： 或 d d x f x y y ( , )     2 0 1 1     0 2 1 1 d ) , ( d x y x f y 例 2 单项选择 （1）二重积分 可表达为累次积分（ ） x x y x y 2 d d 1 4 2 2     A. ； B. ； d d    r r 3 2 1 2 0 2 cos   r r 3 2 1 2 0 2 d d cos     C. ； D. d d 2 x x y x x       4 4 2 2 2 2 d d 2 y x x y y       1 1 1 1 2 2（2）由曲面 和 及柱面 所围的体积是（ ）。

z x y    4 2 2 z  0 x y 2 2 1  2A. ； B. ； d d   r r r 4 2 0 2 0 2    4 4 2 0 2 2 2 d d    r r r    C. ； D. d d   4 2 0 1 0 2    r r 4 4 2 0 1 0 2 d d   r r r    解（1）因为积分区域是环域 ，若选择极坐标系计算积分，令 4 1 2 2    y x ，        sin cos r y r x 则代入解得区域 ，所以A正确；若选择直角坐标系计算 } 2 0 , 2 1 ) , {(         r r D 积分，要利用积分区间的可加性，或利用区域的对称性， ，              0 , 0 4 1 2 4 1 2 2 2 2 2 d d 4 d d y x y x y x y x x y x x 于是再选择积分的顺序，若先积 后积 ，则积分区域 x y } 2 1 , 4 1 ) , {( 2 2        y y x y y x D 反之积分区域 ，所以 C，D都是错误的。

} 2 1 , 4 1 ) , {( 2 2        x x y x y x D 应该选择：A （2）由曲面 和 及柱面 所围的体积应是以球面 z x y    4 2 2 z  0 x y 2 2 1   被圆柱面 和 面所截的体积，由二重积分的几何意义知， z x y    4 2 2 x y 2 2 1   oxy 积分区域为 ，被积函数为 若选择极坐标系求积分，则积分 1 2 2   y x z x y    4 2 2 区域 ，被积函数为 ，故体积为 } 1 0 , 2 0 ) , ( {      r r D     d d 4 2 r r r        2 0 1 0 2 d 4 d r r r V 若利用积分区域和被积函数的对称性，可以计算第一象限的二重积分，再乘 4 倍，这 时积分区域 ，所以所求体积为 } 1 0 , 2 0 ) , ( {      r r D     V 4 4 2 0 1 0 2 d d   r r r    故 D正确 应该选择：D 例3 计算二重积分： （1） ，其中 为 所围成的平面区域。

y x y D xy d d e   D 1 , 2 , 2 , 1     xy y x x （2） ,其中 为抛物线 和直线 所围成的平面区域 y x xy D d d   D x y  2 2   x y 计算直角坐标系的二重积分步骤是：1）画出区域 的草图，根据图形的情况确定积分次序； D2）联立方程求交点，按积分的顺序确定积分上、下限；3）代入公式计算积分值解：（1）区域 如右图所示由区域的形状，选择先 D 积 后积 y x y 2 =x o y x y=x-23 y 联立方程 ，                         2 2 , 1 2 , 2 1 , 1 1 x y x y x x y x x y 解得交点为： ) 2 , 2 ( ), 2 , 1 ( ), 2 , 2 1 ( ), 1 , 1 ( 区域 } 2 1 , 2 1 ) , {(      y x x y x D 于是 ) d( e d d e d d d e 2 1 2 1 2 2 1 2 1 xy xy x x y y x y x y x xy x xy D xy        = x x x x y x x x x xy d e ) 1 2 ( d e ) 1 [( 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2     = 2 4 2 1 2 e 2 e e   x x （2）解法一：化为先对 后对 的累次积分。

这时，区域的边界的下部是由两段不同 y x 的曲线组成，因此用直线 将区域 分为 和 1  x D } 1 0 , ) , {( 1       x x y x y x D 两部分那么 } 4 1 , 2 ) , {( 2       x x y x y x D= + y x xy D d d   y x xy D d d 1   y x xy D d d 2  = +    x x y xy x d d 1 0    x x y xy x 2 4 1 d d=0+ 2 1 8 45 ]d 2) - ( - [ 4 1 2   x x x x 解法二：化为先对 后对 的累次积分这时 可统一表示为 x y D } 2 1 , 2 ) , {( 2        y y x y y x D 因此 8 45 ]d - 2) [( 2 1 d d d d 2 1 - 4 2 2 2 1 - 2           y y y y x xy y y x xy y y D 显然，第二种解法较为简便可见，无论怎样选择积分次序，其结果是相同的，但是 选择的不同会影响计算的过程的繁简，有时的积分次序选择的不同可能造成二重积分不能 计算。

例4 计算下列二重积分： （1） ，其中 为圆周 和 及直线 y x x y D d d arctan   D 4 2 2   y x 1 2 2   y x 所围成的在第一象限的区域 x y y   , 0 （2） ，其中 为圆周 所围成的在区域 y x y x D d d 2 2    D x y x 2 2 2   解 把二重积分中的变量从直角坐标系变换为极坐标系，只需把被积函数中的 分别 y x, 换成 ，面积元 换成 即可，积分次序一般为先 后   sin , cos r r y xd d  d dr r r (1) 采用极坐标系：积分区域 如右图所示 D={( D } 4 0 , 2 1 ) ,        r r 于是 r r r r d y x x y D d cos sin arctan d d arctan 2 1 4 0         4 x o y= r r d d 2 1 4 0     =  4 0 2 1 2 2 1    d r=   4 0 ) 1 4 ( 2 1    d = 64 3 16 4 3 2 2    （2）采用极坐标系：积分区域 如右图所示， D 圆周 的极坐标方程为 ， x y x 2 2 2    cos 2  r 则积分区域为 ={( D } 2 2 , cos 2 0 ) ,           r r 于是             2cos 0 2 2 2 2 d d d d r r r y x y x D= =   2 2 2cos 0 3 )d 3 1 (     r   2 2 3 d cos 8 3 1    = =   2 0 3 d cos 3 16    ) (sin ) sin 1 ( 3 16 2 0 2    d   9 32 x o。