数值分析课程设计.docx

《数值分析课程设计》报告专业：学号： 学生姓名：指导教师：7.掌握三次样条插值函数的构造方法，体会三次样条插值函数对被逼近函数的近似三次样条插值函数边界条件由实际问题对三次样条插值在端点的状态要求给出以第1边界条件为例， 用节点处二阶导数表示三次样条插值函数，用追赶法求解相关方程组通过Matlab编制三次样条函数的通 用程序，可直接显示各区间段三次样条函数体表达式，计算出巳给点插值并显示各区间分段曲线图引言分段低次样条插值虽然计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在电子计算机上实现，但只 能保证各小段曲线在连接处的连续性，不能保证整件曲线的光滑性利用样条插值，既可保 持分段低次插值多项式，又可提高插值函数光滑性故给出分段三次样条插值的构造过程算 法步骤，利用Matlab软件编写三次样条插值函数通用程序，并通过数值算例证明程序的正确 性三次样条函数的定义及特征定义：设［a,b］上有插值节点，a=x1Vx2<...xn=b，对应函数值为y“y2，…yn若函数S(x)满足S(*) = y. ( j = 1,2,…,n )， S(x)在［Xj,xj+1］ ( j =1,2，…,n-1)上都是不高于三的多项 式(为了与其对应j从1开始，在Matlab中元素脚标从1开始)。

当S(x)在［a,b］具有二阶 连续导数则称S(x)为三次样条插值函数要求S(x)只需在每个子区间［*名+1］上确定 1个三次多项式，设为：Sj(x) = ajx3+bjx2+cjx+dj, (j = 1,2,…,n-1) ⑴其中apbj'Cj'dj待定，并要使它满足：S(xj) = %, S(xj-0)=S(xj+0), (j=2,…,n-1) (2)S'(xj-0)=S'(xj + 0), S"(xj-0)=S"(xj + 0), (j=2,…,n-1) (3)式(2)、(3)共给出n+3(n-2)=4n-6个条件，需要待定4(n-1)个系数，因此要唯一确定三次插值函数，还要附加2个边界条件通常由实 际问题对三次样条插值在端点的状态要求给出常用边界的条件有以下3类第1类边界条件：给定端点处的一阶导数值，$'(*)=少'，S'(xn) = yn'第2类边界条件：给定端点处的二阶导数值，S"(x1) = y1"，S"(xn) = yn"特殊情况y1" = yn" =0,称为自然边界条件第3类边界条件是周期性条件，如果y=f(x)是以b-a为周期的函数，于是S(x)在端点处满 足条件S'(x1+0) = S'(xn-0)，S"(x+0) = S"(xn-0)。

下以第1边界条件为例，利用节点处二阶导数来表示三次样条插值函数，给出具体的推导 过程2三次样条插值函数的推导过程注意到S(x)在［x., xj+i］ (j=1,2，…,n-1)上是三次多项式，于是S"(x)在［*, xj+1］上是一次多项 式，如果S"(x)在［xj,xj+］］ (j=1,2，…,n-1)两端点上的值已知，设S"(xj)=Mj，S"(xj+1)=Mj+1，其 中居=*+1-勺对S”(x)进行两次积分，则得到1个具有2个任意常数A.，B. 的S(x)表达式 对S”(x)求两次积分□-Mj-AjXji+Bj =YjIsJll j― Mrl 十 Aj+M 许：十 Bj = yj+.iOil j6hj J 叫 贝 J J"F (j=l,，.nT ),根据插值条件 S(xj) = yj5 S(xj+i) = yJ_i W得ggi. -展由式(5).式(4)彳与""'hj -Ajhj = Tj+i -巧『 则将&代入⑶可得.因此可得'hj_： 3 J同样土盈.十0)=-坐心十旦牛互-因此;J n j □整理得:对SOO求一次导数：泗=一空占家一等"¥ 一也卢⑶Jllj ZJlj Ilj 0§(x)在区间[Xj-^Xj], [Xj.xjH] (j = 2,・"T)上 的表达式不同，但由于要保证在结点处的连续性， 即§缶-。

)=$'(七十)在玉左右导数相等，所况S；(Xj-0)=S；+1(Xi4 0). h =_]又算十0)=专址卜]十Tj -则 内M, } ZMj 4 (l-p^Mj-1 = dj ( j =(10)2,3,…,n-1九把边界条件 S'(xi>=y'u S'(xn) = yrn 代 入学(对得： 2M ] - =J3]YnM n-l + 2Mn =P口其中二如=1 4 =L 伍-iYi - yE-i '卜 为 hl■ 21M-PlYl2 ct]d2"a 1 ■ 1 _:1 11 11■1Ye-L 2 an-L4Yd 2 _M 口1 PaYaL-i_ s"□ -1 k将方程组写成炬阵形式,(11)方程组(11)的系数炬阵是三对角阵旦是'对角占 优阵，故存在唯一解，可用追赶法进行求解，将求 得的解代入Q),就可以构造[电引上的插值函数.3算法步骡① 输入n个插值结点,a = xiX(i)&x0

应用实例5：已知函数y=f(x)的函数值如表1表1 y- ffx)的函数值X-1.5012y0.1.25-I19在区间2］上求二次样条函数S(x),使它 满足边界条件S，(-L 5) = 0 75,醉⑵=1%解「输入有效数字位数m=5,待求插值点x0 =1M 在 Matlab 令窗口 中输入 ［1.5 0 1 2］； Y=［0.125 -1 1 9］： dY=［0.75 1+］：和=15： m=5： spli掀3(X, Y, dY,为一 m)回车，即可得结果3x0 为插值点x0=1.5； M 为三对角方程的解M=-5.0000 4.0000 4.0000 16.0000 在区间［-1.5,0.0］ 内，三次样条函数S(1) = t3 + 2t2 1;在区间［0.0,1.0］内，三次样条函数S(2) = 2t2 1;在区间 ［1.0,2.0］内，三次样条函数S(3) = 2t3 4t2 + 6t 3改为插值点M为三对角方程的髀M =-5一0000 4.0000 4.0000 16.0000 在区间［-1.500］ 内，三次样条函数S(l) = t3 + 2t2-l?在区间［0 03-0］ 内，三次样条函数S(2) = 2t2-1 :在K19［1-0,2 0］内，〔次样条函数S(3) = 2t*—十& 私xo所在区间为［1.0?2.0］,函数在插值点x0= 1.5 的值为yo = 3.75OO.各区间段的函数曲线如图L 10 -£ 2 4 2 0 _■> _］ ° L 1图1各区间段的函散曲线5结论Matlab环境下编写求解三次样条插值的通用程序，可直接。