全国高中物理竞赛相对论专题训练题答案.docx

  全国高中物理竞赛相对论专题训练题答案   练习1解析 （1）设电子处于静止状态时的质量为m 0，光子的频率为ν，假定电子能完全吸收光子的能量，吸收光子后，电子以速度υ运动，则这一过程应遵循动量守恒定律，有h cν= ①碰撞后系统的总能量为22E mc ==②由①、②式消去υ，得E =③碰撞前电子与光子的总能量为200E h m c ν=+ ④由③、④式有222422222000020E E m c h h m c h m c ννν-=+-+=-≠（）（） ⑤这表明，所假设的过程不符合能量守恒定律，因此这一过程实际上不可能发生 （2）束缚在金属中的电子和射入金属的光子二者构成的系统在发生光电效应的过程中动量不守恒，只需考虑能量转换问题设电子摆脱金属的束缚而逸出，需要对它做功至少为W （逸出功），逸出金属表面后电子的速度为υ，入射光子的能量为h ν，电子的静止质量为m 0，若能产生光电效应，则有220h m c W ν?????≥+???⑥逸出电子的速度υ一般都比光速小很多，故有22112c υ≈++??? ⑦忽略高阶小量，只取⑦式中的前两项，代入⑥式，可得到2012h m W νυ≥+ ⑧ 可见，只要h W ν≥⑧式就能成立，光电效应就能产生。

练习2解析 1）（a ）设光子被吸前的动量为1k h e cν，k e 为一单位矢量，光子被吸收后原子核的动量为1P ，则由动量守恒定律得11k h P e cν= ，即222211P c h ν=21hMc ν=+ 两边平方2222211()()()Pc Mc E hMc ν++?=+ 代入222211P c h ν=，可得2212(2)Mc hE Mc E ν=?+? 于是得到所求光子频率为12(1)E Eh Mcν??=+ （b ）设发射的光子动量为2k h e cν，发射后原子核的动量2P ，则由动量守恒定律得220k h P e cν+= ，即222222P c h ν=222()E h M c cν?=+由以上两式得2222()(2)Mc E h E Mc E ν+?=?+?于是求得所求光子频率为22(1)E E h Mc ν??=- （2）由上面的结果可见处在激发态的静止核所辐射出的光子能量22(1)Eh E Mc ν?=?-而处在基态的同类静止核所吸收的光子的能量为12(1)Eh E Mcν?=?+，因21h h νν<，故2h ν不能被吸收练习3解析 （1）设向右运动的电子为S '系，则按伽利略变换，在S '系中看另一电子的速度是v=0.6c+0.6c=1.2c ，这与光速不变的实验事实相矛盾，所以是不合理的。

2）设实验室为参照系S ，一个电子参照系为S '，则S '相对于S 系的速度是0.6c ，另一个电子相对于S 系的速度为-0.6c ，按洛仑兹变换，另一个电子相对于S '系的速度是x u '，则xx x v c v v v u 21--='=)(12v c vvv ---- =2212c v v +- c 88.0-≈这就是说，以一个电子为参照物看另一个电子的速度是0.88c ＜c ，即小于光速，与实验相符合，是合理的练习4解析 在微观领域相对论动量守恒、相对论能量守恒故有 v m v m ''=0γ ①22020c m c m c m '=+γ ②35)54(1/1)(1/122=-=-=c cc v γ ③将③代入②得： 02202038,35m m c m c m c m =''=+ ④ ③与④代入①得：x '.334,)(1/.2,385435002000m m c v m m c v v m c m =''-'='=''=?故可得而即复合粒子的速率为2c ，静止质量为m 334练习5证明：在S 系中， )(,)(v m d dt F dt v m d dt v d m a m F=∑===∑ 两边同时作定积分得： ???-=∑=∑2121,)(2112v v t tv m v m dt F v m d dt F t t即这就是S 系中质点的动能定理的数学公式。

在S '系中)(,)(,v m d t d F t d v m t d v d m F a m F'=''∑''='=∑'=∑两边同时作定积分可得： ???'-'='∑'='∑212121,12t t v v t tv m v m t d F v dm t d F这就是S '系中的质点动量定理的数学公式为回避高等数学，可设一质量为m的质点沿x 轴正方向，在平行于x 轴的恒定的合外力F 作用下作匀加速直线运动经过时间t ，速度从1v 增大到2v ，根据牛顿第二定律在S 系中有t vv m m a F 12-'?== 整理得： 12mvmv Ft -= 这就是S 系中的质点动量定理在S '系中，t t v v u v u v v v F F ='-=---='-'=',)()(,121212即 12v m v m t F '-'='' 此即S '系中的质点动量定理练习6解析 根据相对论能量守恒有2222112C m C m MC γγ+=化简得：[]22111m M m γγ-= ① 根据相对论动量守恒有222111v m v m O γγ-= ②但,1,)(1/122-=-=γγγcv c v将12111-=γγcv 和12222-=γγcv代入②式化简得:11222211-=-γγm m ③ 由①、③两式可解得：12212212/)(Mm m m M r -+= ,21222222/)(Mm m m M r -+=,[];2/)()1(222122111M m m M C C m E k --?=-=γ[].2/)()1(122222222M m m M C C m E k --=-=γ练习7解析 （1）对于能量为0hv 的光子，其质量2c hv m =，在重力场中，当该光子从地面到达接收器时，增加的重力势能为mgh 。

由能量守恒得得)1(20c gL v v += )1(20c gLv v -= （2）设t=0时刻，箱子从静止开始加速，同时，激光光波的某一振动状态从发射器发出，任何时刻t ，发射器和接收器的位置分别为221at x =221at L x += 所考察的振动状态的位置和比该振动状态晚一个周期0T 的振动状态的位置分别为：x=ct)(21020T t c aT x -+=设所考察的振动状态在1t 时刻到达接收器，则有21121at L ct +=解得)211(21c aL a c t --=比所考察的振动状态晚一个周期0T 发出的振动状态到达接收器的时刻为2t ，则有22022021)(21at L T t c aT +=-+解得)2211(222022c T a c aT c aL a c t +---=接收器接收到的激光的周期为 T=t 2-t 1=a c()221212202022c T a c aT c aL c aL +----gL c hv hv mgl hv hv ?+=+=2)21211(2122c aL c aT caL a c ---?-≈????????????-?--?-≈)2111(1)1(202c aL c aT c aL a c??????+-≈)21()1(202c aL c aT c aL a c )22(30233023020c T L a c LT a c LT a c aT a c --+?=)(3020c LT a c aT a c +?≈)1(20c aLT +=（3）)1(20c gL T T +=比较上述两式得a=g ，即“箱子”的加速度a=g 方向竖直向上。

练习8解析 （1）设空间站与太阳的距离为r ，则太阳辐射在空间站反射面上单位面积内的功率即光强24r Lπ=Φ，太阳光对反射面产生的压强是光子的动量传递给反射面的结果，这一光压为c r Lc P 222π=Φ=于是反射面受到的辐射压力A c r LPA F 22π==辐射 太阳对空间站的万有引力为2r m M G F s =引力式中G 为万有引力常数，在空间站处于平衡状态时,辐射引力F F =,即,222A c r Lr m M GS π=这就得到，反射面的面积.2L m cGM A S π=（2）由上面的讨论可知，由于辐射压力和太阳引力都与2r 成反比，因而平衡条件与太阳和空间站的距离r 无关3）若A=2d 并以题给数据代入前式得到L mcGM d S π2=练习9解析 如图所示，取S 系为实验室坐标系，系为与B 固连的坐标系，S 、'S相应的坐标轴平行，)x (x '轴与A 、B 运动方向平行1） ???-===c v c v v AB , c c )c (c c c cvv v v v A A'A -=----=--=2211 (2) ???=-==c v c v v AB ,c c c )c ()c (c cvv v v v A A'A =----=--=2211 (3) ???===c v cv v ABccc v dtd dv v c d c vv c c v v c cvv v v v c v c v c v A A A =--=--=--=--=--=→→→11lim )1()(lim 1lim 112'. 上述结果是光速不变原理的必然结果。

练习10解析 （1）此时，测得B 尺长度缩短了，所以结果如下：12B A ，22B A ，11B A ，21B A ；（2）此时，测得A 尺长度缩短了，所以结果如下12B A ，11B A ，22B A ，21B A ； （3）此时，测得A 尺、B 尺长度均缩短了，缩短的长度一样，所以结果如下12B A ， 1122B A BA （同时），21B A 练习11解析 （1）设x l 、y l 为S 上测得杆长在x 、y 方向分量，'x l 、'y l 为'S 上测得杆长在'x 、'y 方向分量2222111c v tg c v l l l l tg ''x 'y xy -=-==θθ? ????????????-='tg c v arctg θθ2211 (2)'222'222'22'y 222'x2y2xcos cv 1sin 1)c v 1(cos 1l )c v 1(l l l l θ-=θ?+-θ?=+-=+=长度缩短只发生在运动方向上练习12解析 S 系固连在实验室上，。