浅析数学分析一致连续.doc

一一 引入引入““一致性一致性””的意义的意义 数学分析教材中有不少概念，如函数的连续性与一直连续性、函数列的收敛性与一致收敛性，初学者很容易混淆，因而成为“数学分析”中学习的一个难点所在数学分析中的三个“一致性”(即一致有界, 一致连续, 一致收敛) 的概念对数学基础知识的学习很重要 弄清函数的一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键数学分析教材只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的 G·康托定理,内容篇幅少,为了使初学者对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握,作为教材内容的适当扩展和补充显然，一致连续要比连续条件强但在数学分析教科书中，仅给出一致连续的定义以及利用定义证明函数 f（x）在某区间上一致连续的数学方法，呈现了函数一致连续完美的逻辑结果，但学生对定义特别是其中 δ 的很难理解一致连续是一个很重要的概念,在微积分学以及其他学科中常常用到,而且函数列的一致连续性和一致收敛又有着密切关系在研究函数列的收敛问题中,常常要用到函数列与函数之间的收敛、一致连续性、一致收敛的关系。

数学分析中的函数一致连续性、函数列一致有界性、函数列一致收敛性、函数项级数一致收敛性、含参变量无穷积分一致收敛性等“一致性”概念是学习上的难点,因此,牢固掌握这些概念及与之有关的理论,对打好分析基础,培养良好的数学素养和创新能力都有着重要的意义对函数列的极限函数、函数项级数的和函数以及含参变量积分性质的讨论,常常需要讨论其一致收敛性,而函数项级数的一致收敛性可归结成部分和函数列的一致收敛性的研究,含参变量无穷积分的一致收敛性,又可归结成函数项级数的一致收敛性的研究,故本文着重讨论函数一致连续性和函数列一致收敛性重要概念函数一致连续的概念是学生学习高等数学的一个难点，证明某一个函数是否具有一致连续性让许多同学更是无从下手为了解决这一难点，化抽象为简单，给出一致连续性的几种等价形式，能帮助同学易于接受函数一致连续的几何意义数学分析是一门非常抽象的学科，有极强的逻辑性和严密性，体现在：能用简明的数学语言准确的表述用冗长的文学语言也不一定能定量的事物发展过程这也是初学者无法理解分析中定义的原因而几何意义将是数学分析课程入门的一引导者，它向学生展示了数学分析中最基本的思想方法，有利于学生对抽象概念的理解，能更好地发展学生的思维能力。

本文通过揭示一致连续与一致收敛概念之间的内在联系，导出了利用连续性判定一致收敛的方法此方法对于通常的初等函数及函数列一致收敛与非一致收放的判定非常有效，且很简便，可说是一目了然它不仅限于在指一致连续与一致收敛定区间上的讨论，还便于作全面的研究通过对函数及函数列的一致连续的定义的对照对函数列的一致收敛与一致连续问题进行了讨论,通过这种讨论使我们清晰的看到函数列的一致连续问题不仅和函数列本身有关而且和极限函数有着密切的关系探讨了一致连续和一致收敛的关系,并在有界区间上给出了一致连续和一致收敛的等价关系掌握这些关系为今后研究连续、收敛问题提供了更多的依据二二 对数学分析中一致连续的概念的理解对数学分析中一致连续的概念的理解一致连续是从函数连续的概念派生出来的，是指存在一个微小变化的界限，如果函数定义域内的任意两点间的距离不超过这个界限，则这两点对应的函数值之差就能达到任意小函数一致连续的概念一直是《数学分析》学习中的难点，在多年的教学实践中，深感学生对函数一致连续的概念掌握的不是很好，经常听到学生有这样的疑问：函数连续和一致连续究竟有什么区别？本文谈的就是在教学中如何让学生较快地理解函数一致连续的概念。

1 从连续的概念引出一致连续的概念函数的一致连续性是函数的重要特征，它标志着一个连续函数的变化速度有无“突变”对于函数一致连续来说，不仅要求函数在区间上的每一点保持连续，还进一步要求它在区间上所有点邻近有大体上均匀的变化趋势也就是说：对于任给的正数ε，要求存在一个与x 无关的正数δ，使对自变量的任意2 个值x'，x“，只要它们的距离 ︳x'-x “ ︳＜δ，对应的函数值︳f（x'）-f（x “）︳＜ε，显然，一致连续要比连续条件强但在数学分析教科书中，仅给出一致连续的定义以及利用定义证明函数f（x）在某区间上一致连续的数学方法，呈现了函数一致连续完美的逻辑结果，但学生对定义特别是其中δ 的很难理解，那么我们在上课时就不宜照本宣科，需要把概念中所隐含的知识逐步解释清楚，才可以帮助学生较快地理解一致连续的概念下面我们从函数f（x）在区间I 上连续的定义出发，通过2 个例子，快速建立函数f（x）在区间I 上一致连续的定义定义1 （函数f（x）在区间I 上连续） 设f（x）为定义在区间I 上的函数，若对ε＞0，对于每一点x∈I，都存在相应δ=δ（ε，x）＞0，只要x'∈I，且︳x-x' ︳＜δ，就有︳f（x）-f（x'）︳＜ε，则称函数f（x）在区间I 上连续。

给出以下2 个例子例1 考查函数f（x）=在区间（0，1］上的连续性x1解 对∈（0，1］，因为x=＞0，则存在邻域U（，δ'），使得0x0lim xx0x0xx∈U（，δ'），有x＞，所以有 ︳ -︳=＜=20x20x x101 x00 xxxx 0002xxxx 对ε＞0，取δ=min，就有︳ -︳＜ε这里δ 与2 00 xxx “2 0,2xx101 x有关，有时特记为δ（ε，）0x0x注意本例中不存在可在区间（0，1］上通用的δ，即不存在最小的（正数）δ强调：的位置不同，δ 的取值也随之产生变化0x例2 考查函数f （x）=在区间上［c，+∞）（c＞0）的连续性x1解 对∈［c，+∞）（c＞0），存在邻域U（，δ'），使得0x0xx∈U（，δ'）时，有 ︳ -︳= 0 ,存在只依赖于ε的正整数N (ε) ,当n > N (ε) 时,不等式︱Sn ( x) - S ( x) ︱ 0 , vδ> 0 , x1 , x2 ∈I  :| x1 - x2| 0 , δ> 0 , x1 , x2 ∈I :| x1 - x2| 0 , δ> 0 , x1 , x2 ∈( a , b) 且| x1 - x2 | 0 , δ1 > 0 ,由f ( x)= A , b > 0 ,当x > b 时,有| lim xf ( x ) - A | b 且| x1 - x2 | 0 当| x1 - x2| 0 ( n >) , x′= l n( n + 1) , x″= 01 1el n n ∈R :| x′- x″| =| l n ( n + 1) – l n n| = l n (1 + 1/ n) 1/ 2 =0所以f ( x) = 在R 非一致连续。

xe利用定义证明函数f ( x) 在I 非一致连续的关键在于确定 > 0 ,找出x′, 0x”∈I 使得| f ( x′) - f ( x”) | ≥ ,而做到这0一点,对于某些函数来说并非易事 根据函数的一致连续性的充要条件,容易得出证明函数在区间I 非一致连续的较 简便的两个充分判别法 (1) 连续函数f ( x) 在区间( a , b) 内非一致连续的充分条件是f ( a + 0) 和f ( b - 0) 至少有一个不存在 (2) 连续函数f ( x) 在区间I 非一致连续的充分条件是在区间I 上存在两个数列{ x n} 、{ y n} ,使得( x n – y n) = 0,但 [ f ( x n) - f ( y lim nlim nn) ] ≠0 现在利用判别法(2) 证明例2 : 证明:取x n = l n ( n + 1) , y n = l n n ∈R ,且( x n – y n) = (l n( n + 1) – l n n) = l n(1 +) = 0lim nlim nlim n1 n但 [ f ( x n) - f ( y n) ] = (-) = ( n + 1 - n) = lim nlim nln(1)nelnnelim n1 ≠0 所以由判别法(2) 知f ( x) = e x 在R 非一致连续。

利用这两个判别法证明函数f ( x ) 在区间上非一致连续性的优点是显而易见的:不用直接确定> 0 找x1 , x2 ∈I 满足0| f ( x1) - f ( x2) | ≥ ,而只须观察f ( a + 0) 和f ( b - 0) 的存在0性或找出两个数列{ x n} 和{ y n} 满足判别的条件即可 例3 证明下列函数在所示区间内非一致连续f ( x) = cos, x ∈(0 , 1)xe1 x证明: 因为cos不存在,所以f ( x) 在(0 , 1) 内不一致连续lim 0xxe1 x 五五 关于函数列的一致连续性的研究关于函数列的一致连续性的研究一、关于一致性的几个定义一、关于一致性的几个定义 一致连续是一个很重要的概念,在微积分学以及其他学科中常常用到,而且函数列的一致 连续性和一致收敛又有着密切关系在研究函数列的收敛问题中,常常要用到函数列与函数 之间的收敛、一致连续性、一致收敛的关系本文就从这里人手展开讨论,对于函数的一致 连续性我们知道有如下定义 定义1 :函数f ( x) 在数集E 上一致连续是指:对Pε > 0 ,存在δ > 0 ,使得当: x1 , x2 ∈E ,且| x1- x2 | 0 ,总存在δ > 0 ,使 得当: x1 , x2∈E ,且| x1 - x2| 0 ,总存在某 个自然数N ,使得当n > N 时,对一切x ∈E ,都有| {f n ( x) } - f ( x) | 0 ,存在N ∈ N ,使得当n > N ,有|{f n (x) } - f (x) | N ,我们考察f n ( x ) 在E 上也是一致连续的。

对上述ε > 0 , vδ > 0 , 使得当( x1 , x2 ∈E) , | x 1 - x2 | N 时,函数列{ f n ( x) } 皆连续?这是不成立的因为: f n ( x) =D ( x ) 处处不n1连续,但f n ( x) = 0 = f ( x ) 处处连续,且有| f n ( x) - 0 | ≤知收敛为一lim nn1致收敛 注3 :如下逆命题也不成立: 即:若函数列{ f n ( x) } 在区间I 上收敛于f ( x ) , f n ( x) 与f ( x) 均连续,则收敛为一致收敛这是不可能的例如: f n =在(0 ,1) 单调趋于0 ,但不一致收敛nx11上述命题3 将条件适当的改变也可以得到新的命题,例如:命题3 在区间上成立同时在数 集E 上也成立,因此有如下命题: 命题3′ 若函数列{ f n ( x) } 在数集E 上一致收敛于f ( x) ,且每一项f n ( x) 都在 数集E 上连续,则极限函数f ( x) 在数集E 上连续 当然,我们也可以把函数列{ f n ( x) } 在E 上一致收敛于f ( x) 的条件适当的减弱, 又得到下面的命题: 命题3″ 若函数列{ f n ( x) } 在数集E 上内闭一致收敛于f ( x ) ,且每一项f n ( x ) 都在数集E 上连续,则极限函数f ( x) 在数集E 上连续。

进一步可得到下面的命题 命题4 若函数列{ f n ( x) } 在区间I 上一致收敛于f ( x ) ,且f n ( x) 在区间I 上都是一致连续,且 f n ( x) 与f ( x) 均存在,则极限函数f ( x ) 在区间I 上一lim nlim n致连续其中I = ( a , b) ) 从命题4 可以看出,命题4 实际上等价命题1 三、连续与一致收敛三、连续与一致收敛 D 。