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高等数学教案系 部： 基础部 任课教师：教师职称：授课对象： 大一 课程学时： 120 学年学期： 60 第 1次课 学时 2 授课题目〔章,节第五章 不定积分§1不定积分的概念授课类型〔请打√理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□教学目的：1、正确理解原函数,不定积分的概念；2、熟悉基本积分公式教学方法、手段： 讲授法,板书,课件展示教学重点、难点：重点：原函数,不定积分的概念；难点：利用积分公式求函数的积分教学内容及过程设计补充内容和时间分配一、引入新课通过实例〔变速直线运动〔课件展示的分析和讲解,知其速度是路程函数对时间的导数,即速度反过来,如果已知变速直线运动物体的速度函数,如何求出物体的路程函数,使得它的导数等于已知的速度函数这是我们这节课所要讲解的重点说明：从数学的观点来看,它的实质是：已知函数,求一个函数,使得这就是与求导数相反的问题。

通过对此例题的讲解,引出此节课要讲的不定积分的概念二、讲授新课1、原函数的概念定义3.1 设函数在某区间上有定义,若存在函数,使得在该区间任一点处,均有或则称为在该区间上的一个原函数设计思路：通过几个例子加以说明,加强学生对于原函数概念的理解,为不定积分概念的学习做铺垫2、不定积分的概念 不定积分的概念〔课件展示,强调不定积分的重要性说明：根据不定积分的定义可知,求函数的不定积分,只需求出的一个原函数再加上一个常数即可值得注意的是,一个函数的不定积分既不是一个数,也不是一个函数,而是一个函数族例如：,有 ；,有；,有注意：求不定积分时,不要忘记在一个原函数后面再加任意常数,否则求的只是一个原函数,不是所有的原函数,即不定积分通常把求不定积分的方法称为积分法提问：积分运算与微分运算有什么样的关系？小结：①,此式表明,先求积分再求导数〔或求微分,两种运算的作用相互抵消②,此式表明,先求导数〔或求微分再求积分两种运算的作用相互抵消后还留有积分常数对这两个式子,要熟练运用2、基本积分公式课件展示：基本积分公式说明：求不定积分就是求导数的逆运算结合例题加以分析讲解基本的积分公式,加深学生对于积分公式的记忆,常用的积分公式着重讲解。

强调：以上13个公式是积分法的基础,必须熟记,不仅要记住等式右端的结果,还要熟悉左端被积分函数的形式三、课堂演练练习题：1、求下列各式的不定积分〔1；〔2；〔3；〔42、已知曲线上任意一点切线的斜率为,且该曲线过点,求曲线方程四、课堂小结 本次课程的内容有：原函数的定义,不定积分的概念,基本积分公式〔5分钟〔20分钟〔25分钟〔20分钟〔15分钟〔5分钟思考题、作业题、讨论题：作业题： P71: 5.1, 1 课后总结分析：第 2次课 学时 2 授课题目〔章,节第五章 不定积分§2不定积分性质授课类型〔请打√理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□教学目的：1、正确理解不定积分的性质,掌握性质求简单函数的不定积分教学方法、手段： 讲授法,板书教学重点、难点：重点：不定积分的性质；难点：会利用性质求函数的不定积分教学内容及过程设计补充内容和时间分配一、引入新课提问：上次课程我们学了不定积分的概念,引入实例,通过实例的求解,引入不定积分性质的话题,初步分析不定积分的性质二、讲授新课1、不定积分的性质1. 积分对于函数的可加性,即,可推广到有限个函数代数和的情况,即。

设计思路：给出几个例题,让学生们练习不积分的可加性,加强学生对性质的理解2. 积分对于函数的齐次性,即说明：利用不定积分的基本积分公式和性质,就可以求一些简单函数的不定积分2、典型例题例1求下列各式的不定积分：〔1； 〔2； 〔3讲解：略例2求 讲解：略例3求 讲解：略例4求例7 求说明：不定积分性质运用,理解比较困难,这种加强例、习题的讲解和练习,帮助学生掌握不定积分的性质〔15分钟〔25分钟5分钟学生消化以上所讲的知识〔10分钟〔5分钟〔5分钟〔5分钟〔5分钟〔5分钟〔10分钟思考题、作业题、讨论题：作业题：P71 5.1 2.〔2 〔4 〔6. 课后总结分析：第 3 次课 学时 2 授课题目〔章,节第五章 不定积分§3第一换元积分法授课类型〔请打√理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□教学目的：1、熟练掌握第一换元积分法；2、会利用第一换元积分法求简单函数的不定积分教学方法、手段： 讲授法,板书教学重点、难点：重点：第一换元积分法；难点：会用第一换元积分法求函数的不定积分教学内容及过程设计补充内容和时间分配一、引入新课引入一个例子,通过例题的讲解；提问：你能通过例子总结一下不定积分的积分方法吗？ 二、讲授新课1、第一换元法的概念 给出不定积分,计算了它的原函数,注意：为复合函数。

分析此不定积分：通过观察在积分表中没有此公式,只有,若将公式改写为员令,则上式变为这种先凑微分形式,再作代换的积分方法,叫做第一换元积分法说明：第一换元积分法,又称凑微分法设计思路：讲练结合,给出例题,让学生们利用第一换元积分法求函数的不定积分,加强对上方法的理解和运用2、利用第一换元法求函数不定积分的步骤提问：通过以上对第一换元法例题的讲解,同学们总结一下第一换元法求函数的不定积分的步骤是什么？小结：〔1先凑微分,即凑微分；〔2变量代换后积分,令,,令；〔3最后回代,回代其中,第一步凑微分是关键,因而第一换元法又常称为凑微分法设计思路：给出例题,根据所讲的求积分的步骤,求函数的不定积分,加强对此步骤的应用三、课堂练习例1 求下列函数的不定积分 〔1；〔2；〔3；〔4；〔5；〔6；〔7；〔8；〔9；〔10四、课堂小结 本次课程的内容有：第一换元积分法的概念；不第一换元积分法求不定积分的步骤〔15分钟〔20分钟〔20分钟5分钟学生消化以上所讲的知识〔25分钟〔5分钟思考题、作业题、讨论题：作业题：P76: 5.2 1.〔2 〔6 〔8课后总结分析：第 4次课 学时 2 授课题目〔章,节第五章 不定积分§4第二换元积分法授课类型〔请打√理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□教学目的：1、熟练掌握第二换元积分法；2、会利用第二换元积分法求函数的不定积分。

教学方法、手段： 讲授法,板书教学重点、难点：重点：第二换元积分法；难点：会用第二换元积分法求函数的不定积分教学内容及过程设计补充内容和时间分配一、引入新课回顾第一换元法说明：第一换元法是先凑微分,再用新变量替换但是有些积分是不容易凑微分的,需要新的积分方法给出例子,分析、解答此问题分析：在基本积分公式中,没有类似被积函数的公式,这就不能直接积分；也找不到合适的凑微分的部分,第一换元法就不能用如果先去掉根号,可令,则解 =设计思路：通过例题讲解,引出第二积分法这一求解不易凑微分的求解积分的方法二、讲授新课1、第二换元法的概念从以上例题的解法,可以看出,这种先换元,再积分,称为第二换元积分法 2、第二换元积分法的步骤第二换元积分法的步骤如下：〔1先换元,令,即；〔2再积分,即积分；〔3最后回代,,即 回代 强调：运用第二换元积分法的关键是选择合适的变换函数对于,要求单调可微,且,其中是的反函数说明：〔1第一换元法先凑微分再换元；第二换元法是先换元再积分〔2第二换元法常用的代换有幂代换和三角代换,当被积函数含有时,可作幂代换令；当被积函数含有,,等表达式时,可作三角代换,分别令,,。

三、典型例题例1 求下列函数的不定积分〔1；〔2；〔3讲解：略点评：上述类型的习题,由于第一换元积分等方法不易求解,可根据第二积分换元法的解题步骤,逐次解答四、课堂小结 本次课程的内容有：第二换元积分法的概念；第二换元积分法求不定积分〔20分钟〔10分钟〔25分钟5分钟学生消化以上所讲的知识〔20分钟〔10分钟思考题、作业题、讨论题：作业题： P78:5.2 1.2..3.4课后总结分析：第 5 次课 学时 2 授课题目〔章,节第五章 不定积分§5分部积分法授课类型〔请打√理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□教学目的：1、熟练掌握分部积分法；2、会利用分部积分法求函数的不定积分教学方法、手段： 讲授法,板书教学重点、难点：重点：分部积分法；难点：会用分部积分法求函数的不定积分教学内容及过程设计补充内容和时间分配一、课前复习学生阅读教材内容,复习第二换元积分法；巩固学生们对上节课所学知识的理解,并复习上节课所学的知识点二、讲授新课通过对第一换元积分法和第二换元积分法的理解,这节课学习一种新的积分方法1、分部积分法设函数,都是连续可微函数,根据乘积微分公式,得,移项得,两边积分得上式,称为分部积分公式。

说明：〔1分部积分法是与乘积微分法则相对应的,也是一种基本积分法；〔2如果计算比较困难,而容易计算时,可利用分部积分公式,把求的问题转化为求〔3利用分部积分法求不定积分,有时需要多次使用分部积分公式才能得出结果典型例题：求,？讲解：略说明：分部积分的方法是不定积分常用的方法,通过例题讲解加深学生对于分部积分方法的理解,要求学生熟练运用分部积分方法2、利用。