质心系中质点组的运动定律.doc

0质心系中质点组的运动定律宁国强1. 引言众所周知，牛顿运动定律是在惯性系中低速情况下才成立的规律所以，以牛顿运动定律为基础而推导出来的一些运动定律当然也都只能在惯性系中才成立 [1~4]在研究和解决力学问题时通常选用惯性参考系，但在许多情况下选用非惯性参考系可能会使问题简单化 [5~8]在非惯性系中引入惯性力以后，牛顿运动定律可以沿用，但其推导出的运动定律是否可以沿用呢？如果可以沿用，其表达式又如何呢？本文将导出质心坐标系（质心坐标系既可以是惯性系，也可以是非惯性系）中质点组的运动定律，并以此为基础讨论质心坐标系中的碰撞与散射现象2. 质心参考系以质点组的质心为原点，坐标轴与静止惯性参考系平行，这种参考系称为质心参考系或质心系根据质心和质心参考系的定义，可以知道质心参考系的特征由质心定义可知，在质心参考系中，质心的位置矢量为. （2-1）0icmr将 对时间取一阶导数，得cr. (2-2)0icv由上式知 . (2-3)im公式（2—3）说明了质点组对质心的总动量为零，这个结论是质心参考系定义的直接结果，与质点组整个系统的运动无关系，它反映出了质心参考系的特征。

因此，我们称质心参考系为零动量参考系正是由于有了这一特征，才能使得质心参考系成为讨论质点组运动的重要参考系 [9~11]质心参考系既可以是惯性系，也可以是非惯性系由质心运动定理 可知，我们所研究的系统，如果所dtvmrFcci1受的合外力为零，则质心 C 在静止惯性参考系中以恒定速度 作惯性运动，此cV时质心参考系也是惯性参考系如果所受合外力不为零，则质心相对于静止惯性系作加速运动，这样，质心参考系就不再是惯性参考系，而是非惯性参考系3. 质心系中质点组的运动定律3.1 质心系中质点组的动量定理和动量守恒定律若在非惯性系中引入惯性力，则可以导出适用于非惯性系的动量定理，推导如下：设有一质心系 (以下简称 系)相对另一惯性系 （以下简称Cxyzk Oxyz系）作加速运动， 系原点在 系中的加速度用 表示，现有 个质点组成kkcan的质点系相对 系作加速运动， 表示各质点相对 系原点的位矢，nr ,21 k表示各质点相对于 系运动的速度相对于 系，第 个质点的运动nv ,21 i微分方程为， （3-1）eiiiii Ffdtm式中 分别为作用于第 个质点上的外力、相互作用内力、惯性力。

将式eiiFf,（3-1）两端对 n 个质点求和，可得， （3-2）1111nnniiieii iiidvfFt式中 为质点系相对于质心系 的动量， 是由非惯性系引niriPm1keiicma起的第 i 个质点受到的惯性力注意到对质点系来说，有 ，式（3-2 ）01nif就成为， （3-3）cniiniir amFdtP)(11式中 ，M 为质点系的总质量由惯性系中的质心运动定理，有mnii1，因此， （3-3）式可进一步写为01nicaF2. （3-4）01cniiraMFdtP于是. （3-5）01inirvmP这样，我们就得到一个重要而又简单的结论：在质心参照系中，质点组的动量任何情况下都恒等于零！（2-3）式与（3-5）式是相同的，前者由质心的定义直接得出，后者由牛顿第二定律导出。

由（3-5）式的导出过程可以看出， （3-5）式既是质心参照系中质点系的动量定理，又是质心参照系中质点系的动量守恒定律这里，有两个可能的疑问需要讲清楚：一、在惯性参考系中，质点组动量守恒是有条件的：体系所受合外力为零难道在质心系中，动量守恒就不需要条件？是的，只要是质心系中，质点系的动量就一定守恒，而且总动量就是零如果要说条件的话， “质心系”本身就是体系动量守恒的条件也就是说， “质心”和“质心系”的定义本身就包含了“质点组的总动量任何情况下都恒等于零的参照系就是质心系”的意思二、合外力如不为零，它对动量的贡献到哪里去了？合外力的作用是其冲量使质心的动量获得了一增量，而对质点组中各质点相对于质心的相对动量的矢量和没有贡献3.2 质心系中质点组的动能定理和机械能守恒定律当合外力不为零时，质心系是非惯性系在质心系中对第 i 个质点应用动能定理:， （3-21()()iiiicidmrFdfrmadr6）对 i 求和，得. （3-21111()nnnniiiciirrfr7）注意到： ，故有11()0nniicmdM3. （3-2111()nnniiiidmrFdrf8）上式即是质心系中的动能定理，它表明：质点组相对于质心的总动能的微分，等于质点组中各个质点相对于质心发生位移时所有内力和外力所做功的代数和。

由（3-8）式可见：质心系中的动能定理与惯性系中的动能定理具有相同的数学形式须要注意的是：不仅外力做功对体系动能的变化有贡献，而且内力做功对体系动能的变化也有贡献但质心系中惯性力做的总功为零，它对动能的变化没有贡献静止惯性参考系与质心参考系中的动能是有联系的，这一联系由柯尼西定理描述，其推导过程如下：如图 1 所示，C 为质点组的质心， 为静止惯性参考系， 为OxyzCxyz质心参考系第 i 个质点在两参考系中的位矢和速度有下列关系：， .icricir质点组在静止惯性参考系的动能是：22112211()nnkiiciiciinniciEmrrMrr（3-.ci49）以上推导过程中应用了关系： ，式中 是将质点组的全部10nicmrM21cr质量看作集中在质心而运动时的动能，称之为质心的动能；而 则为质21nim点组中各质点相对质心运动时的动能之和 （3-9）式表明：静止惯性参考系中质点组的动能等于质心的动能与各质点相对质心运动的动能之和，这个关系称为柯尼西定理须要注意的是：不论质心系是惯性系还是非惯性系，柯尼西定理都成立。

除质心系以外的其它非惯性运动的参考系此定理一般不成立由（3-8）式知道，在质心系中机械能守恒的条件是：仅有保守力对体系做功在除质心系以外的其他非惯性系中，上述条件不能保证机械能守恒3.3 质点组对质心的动量矩定理和动量矩守恒定律在质心参照系中，质点 的动力学方程是iP（3-2()iiiCdrmFfrt10）用 从左边矢乘上式两边，并对 i 求和，得i（3-()111()nnneiiCidrrmrt11）在导出上式时，假定了两质点间的内力沿它们的联线方向，因此内力的合力矩可以证明为零因 ，上式化为10nir（3-()()eiidmFt12）亦即5（3-dJMt13）上式就是质点组对质心的动量矩定理，其中——质点组对质心 C 的总动量矩 （3-1()niJrm14）——对质心 C 的合外力矩 （3-()1neiMF15）当 ， 则 常矢量 0J以上就是质心系中质点组的动量矩守恒定律可见，质心系中质点组的动量矩定理和动量矩守恒律与对定点的动量矩定理和动量矩守恒律数学形式相同。

对其它动点，一般不具有类似形式的动量矩定理和动量矩守恒律综上所述，在质心系中，质点组的动量恒为零；质点组的动能定理和（对质心的）动量矩定理与惯性系中相应的定理具有完全相同的数学形式，这表明质心系是一个特殊的、重要的参照系4. 在质心坐标系中讨论碰撞、散射问题4.1 碰撞两体碰撞是物理学中的一个典型问题 [12~13]在分子运动中有碰撞问题，在工程技术中、日常生活中都有碰撞问题当两运动物体突然相互接触时，就发生了碰撞而碰撞更广义的定义是：当两个物体相互接近时，它们有相互作用，因而改变了它们的运动状态，即引起动量、能量的交换常常用小球作为碰撞物体的模型如果两个小球发生对心碰撞，即两个小球碰撞前的速度矢量在它们中心连线上，则碰撞过程中的冲击力和碰撞后两小球的速度矢量也必然在此联线上由于碰撞过程所经历的时间非常短，而作用力非常大，因此可略去其它非冲击力，则系统的动量守恒，但动能一般不守恒通常是分离速度小于趋近速度，这两个速度的比值定义为恢复系数 e，分离速度和趋近速度都是两球之间的相对速度6下面在质心系中来讨论对心碰撞的问题：假定两个小球发生对心碰撞建立一个静止惯性参照系及与质心相固结的质心坐标系。

由于不受外力的作用，静止惯性参照系中系系统动量守恒，则两球质心的速度不变，因此质心坐标系是一惯性参考系，质心相对于静止惯性参照系的速度为（4-12cmv常 量1）其中 为质心的速度， 、 分别为两小球碰撞前相对于静止惯性参照系的速cv1v2度， 为两球质量在质心坐标系中，两球碰撞前的速度分别记作 、12、 1V，碰撞后的速度记作 、 ，则2V1V2（4-12cv2）（4-12cVv3）其中 、 分别为两球碰撞后相对于静止惯性参照系的速度1v2由式（4-2） 、 （4-3）可得在质心坐标系中两球碰前的趋近速度和碰后的分离速度分别为（4-12121Vv4）其中 为静止参照系中两球碰前的的趋近速度， 为静止参照系中21v 21v两球碰后的的分离速度由此可得恢复系数（4-2121Vev5）由（4-5）可得：7（4-1212()VeV6）在质心系中，体系动量为零，故（4-12120mm7）由（4-6） 、 （4-7）可得：（4-12121212 2()/()VeVeVmm8）（4-8）式即为质心系中两球碰撞后的速度公式。

由此我们得出一个重要结论：在质心系中，两球正碰之后，各自反弹，速度大小均为各自的碰前速度乘于恢复系数 .e我们知道，在静止参照系中，两球碰撞后的速度为：（4-12212111212212mvev9）可见，在质心系中得到的两球的速度公式较静止参照系中的速度公式要简单得多容易看出，只要将（4-1） 、 （4-8）代入（4-3）并利用（4-4） ，就可得到（4-9） 在质心系中，体系碰撞前后的总动能分别为 221()TmV（4-2 21 2112()mV10） 222221 1()()eTmV8（4-2 221211()()mmeeVV11）动能损失为221()T（4-212()eeVVmm12）讨论：① 对于完全弹性碰撞（ ） ，有1. （4-12,,0VT13）可见，在质心系中，两球发生弹性碰撞，各球以原速率反弹，体系动能守恒② 对于完全非弹性碰撞（ ） ，有e（4-120,14）（4-2max1()()TVT15）可见，在质心系中，两球发生完全非弹性碰撞，两球相对质心静止，动能损失殆尽。

4.2 散射弹性散射是分析。