2021年数学错题本第3章《函数》易错题及解析2.pdf

高考数学错题本第 3 章 函数易错题易错点 1 求函数定义域时条件考虑不充分【例 1】 求函数2132yxx0(1)x的定义域【错解】由题意得2320 xx，解得31x，所以原函数的定义域为 3,1【错因】忽视分母不为零；误以为0(1)x=1对任意实数成立在求函数的定义域时应注意以下几点分式的分母不为零；偶次根式被开方式非负；对数的真数大于零；零的零次幂没有意义；函数的定义域是非空的数集【 正 解 】 由 题 意 得232010 xxx， 解 得311xx， 所 以 原 函 数 的 定 义 域 为3, 11,1【纠错训练】 （2015 湖北高考）函数256( )4 |lg3xxf xxx的定义域为（）A (2, 3) B (2, 4 C (2, 3)(3, 4 D ( 1, 3)(3, 6【解析】由函数( )yf x 的表达式可知，函数( )f x 的定义域应满足条件：4|0 x，25603xxx，解之得22,2,3xxx，即函数( )f x 的定义域为(2, 3)(3, 4 ，故应选C易错点 2 求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域”【例 2】 已知函数3log2,1,9fxxx，求函数22xfxfy的值域【 错 解 】 设3l o gtx，1,9 ,0,2xt，266ytt，0,2t，6,22函数的值域是【错因】求函数22xfxfy定义域时，应考虑21919xx. 【正解】因为fx的定义域为1,9，21919xx，解得22xfxfy的定义域为1,3，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - -设3logtx，1,3 ,0,1xt，266ytt，0,1t，函数22xfxfy的值域为6,13【纠错训练】奇函数( )fx)是定义在( 1,1)上的减函数，且(1)(21)0fafa，求实数的取值范围 . 【解析】由(1)(21)0fafa，得(1)(21)fafa( )fx是奇函数，()( )fxfx，(1)(12 )fafa又( )f x是定义在( 1,1)上的减函数，1111121112aaaa，解得01a即所求实数的取值范围是01a易错点 3 判断函数奇偶性时忽视定义域【例 3】 判断函数1( )(1)1xf xxx的奇偶性 . 【错解 】1( )(1)1xf xxx221(1)11xxxx22()1()1( )fxxxf x1( )(1)1xf xxx是偶函数【错因】对函数奇偶性定义实质理解不全面. 对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件. 【正解】1( )(1)1xf xxx有意义时必须满足10111xxx即函数的定义域是11x，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数【纠错训练】 （2015 高考北京，文3）下列函数中为偶函数的是（）A2sinyxxB2cosyxxClnyxD2xy【解析】根据偶函数的定义()( )fxfx，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - -为(0,)不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B.【知识点归类点拔】 （1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。

2）函数fx具有奇偶性，则fxfx 或 fxfx是对定义域内x 的恒等式常常利用这一点求解函数中字母参数的值易错点 4 求复合函数单调区间时忽视定义域【例 4】函数20.5log(43)yxx的单调递增区间是_【错解一】外层函数为减函数，内层函数243uxx减区间为3,)2，原函数增区间为3,)2【错解二】 2430 xx，函数定义域为1,4，又内层函数243uxx在3( 1,2为增函数，在3,)2为减函数，原函数增区间为3( 1,2【错因】解法一，基础不牢，忽视定义域问题；解法二，识记不好，对复合函数单调性法则不熟练求复合函数单调区间一般步骤是求函数的定义域；作出内层函数的图象；用“同增异减” 法则写单调区间 解此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视定义域； 二是 “同增异减”法则不会或法则用错【正解】2430 xx，函数定义域为1,4 ，外层函数为减函数，内层函数243uxx在3( 1,2为增函数，在3,4)2为减函数，原函数增区间为3,4)2【纠错训练 1】 函数254yxx 的单调增区间是 _【解析】254yxx的定义域是 5,1，又2( )54g xxx在区间 5, 2上增函数，在区间 2,1是减函数，所以y=245xx的增区间是 5, 2【纠错训练2】已知)2(logaxya在 0，1 上是的减函数，则的取值范围是【解析】：)2(logaxya是由uyalog，axu2复合而成，又0axu2在 0，1 上是的减函数，由复合函数关系知uyalog应为增函数，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 1，又由于在0，1 上时)2(logaxya有意义，axu2又是减函数，1时，axu2取最小值是au2min0 即可， 2 综上可知所求的取值范围是1 2易错点 5 解“二次型函数”问题时忽视对二次项系数的讨论【例 5】函数2( )(1)2(1)1f xmxmx的图象与轴只有一个交点，求实数m 的取值范围【错解】由0解得03mm或【错因】知识残缺，分类讨论意识没有，未考虑10m的情况【正解】（1）当10m时，即1m，( )41f xx与轴只有一个交点，满足题意；（2）10m时，24(1)4 ( 10)(1)0mm，解得03mm或；综上所述，实数m 的取值范围是3,0,1【纠错训练】已知集合2|440,Ax axxxR aR只有一个元素，求的值与集合A. 【解析】当a 0 时， x 1；当0a时， 1644 a0，a1，此时 x 2综上所述：a1 时，集合A = 2；a0 时，集合A=1易错点 6 用函数图象解题时作图不准【例 6】 求函数2( )f xx的图象与直线( )2xf x的交点个数【错解】两个【错因】忽视指数函数与幂函数增减速度快慢对作图的影响我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案【正解】作图可得在区间( 1,0)有一个交点，还有(2, 4)，(4,16)这两个交点，共三个【纠错训练1】 （2015 高考湖南，文14）若函数( )|22|xf xb有两个零点，则实数的取值范围是 _. 【解析】由函数( ) |22|xf xb有两个零点，可得|22|xb有两个不等的根，从而可得函数|22|xy函数yb的图象有两个交点，结合函数的图象可得，02b，故答案为：02b. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - -【纠错训练2】 (2015 贵阳市高三上期末) 函数133xxy的图象大致是（）【解析】由题意得，0 x，排除 A，当0 x时，30 x，310 x，3031xx，排除 B，又x时，3031xx，排除 D，故选 C.易错点 7 忽视分段函数各段的取值范围【例 7】已知函数22,1,22,1,xxfxxx，不等式2fx的解集为【 错 解 】 由222x， 得12x； 由222x， 得0 x， 所 以2fx的 解 集 为1(0,)2【错因】解第一个不等式时，忽略了“1x”这个大前提【正解】2 ( 2)4( 2)2216f,( 2)216234ff；由2122xx，得1x，由1222xx，得0 x，所以不等式2fx的解集为(10,)【纠错训练1】设函数220,0,xxxfxxx，若2ff t，则实数t 的取值范围是A.2 B.2. C.2 D.2.精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - -【解析】令)(tfm， 则2)(mf， 则202mmm或202mm， 即02m或0m，即2m；则2)(tf，即202ttt或202tt，即0t或20t，即2t，故选 A.【纠错训练2】 （2015 上海普陀区三模）已知函数)0(1)0(log)(22xxxxxf，则不等式0)(xf的解集为 _【解析】试题分析： 当0 x时，1log0log22x， 解得; 10 x当0 x时，210 x ，解得01x，所以不等式0)(xf的解集为( 1,1)易错点 8 分段函数单调性问题，忽略分界点函数值的比较【例 8】已知211( )1xa xxf xax是R上的增函数，求的取值范围【错解】要使得( )f x在R上是增函数，则两个函数21ya x与xya均为增函数，所以12a【错因】只考虑到各段函数在相应定义域内为增函数，忽视( )f x在分界点附近函数值大小关系【正解】要使得( )f x在R上是增函数，则两个函数( )21g xa x与( )xh xa均为增函数，并且还要满足在1x处，有(1)(1)gf，即20121aaaa，解得322a，所以的取值范围是3,2)2【纠错训练】已知函数1,log1,4) 13()(xxxaxaxfa在R是单调函数，则实数的取值范围是精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - -【 解 析 】 若 函 数1,l o g1,4) 13()(xxxaxaxfa在R是 单 调 递 增 函 数 ， 需 满 足1log41)13(1013aaaaa， 无解；若函数1,log1,4) 13()(xxxaxaxfa在R是单调递减函数，需满足1log41)13(10013aaaaa，解得3171a，所以实数的取值范围是1 17 3，易错点 9 误解“函数的零点”意义【例 9 】 函数23)(2xxxf的零点是（）A0, 1B0 ,2C0, 1，0, 2D1，2 【错解】 C 【错因】错误的原因是没有理解零点的概念，望文生义，认为零点就是一个点而函数的零点是一个实数，即使0 xf成立的实数， 也是函数xfy的图象与轴交点的横坐标【正解】由0232xxxf得， 1 和 2，所以选D易错点 10 函数零点定理使用不当【例 10】若函数( )f x在区间 -2,2上的图象是连续不断的曲线，且( )f x在（ -2,2）内有一个零点，则( 2)(2)ff的值（）A 大于 0 B 小于 0 C 等于 0 D 不能确定【错解】由函数零点存在定理知( 2)(2)0ff，故选 B【错因】没有正确理解函数零点的含义及存在性，若函数( )f x在（ -2,2）内有一个零点，且该零点为“变号零点” ，则( 2)(2)0ff，否则( 2)(2)0ff函数零点定理是指如果函数( )f x在区间 , a b上的图象是一条连续不断的曲线，并且有( )( )0f a f b，那么函数( )f x在区间( , )a b内有零点函数零点又分为“变号零点”和“不变号零点”，函数零点定理仅适用于“变号零点” ，对“不变号零点”无能为力精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - -【正解】( )f x可能在端点处取得零点，即( 2)(2)ff可以等于0；2( )f xx在0 x处取得零点，但( 2)(2)0ff；( )f xx在0 x处取得零点，但( 2)(2)0ff，故选 D【纠错训练】函数xxxf1的零点个数为（）A0B 1C2D3 【解析】。