优秀教案25两条直线的交点坐标.doc

3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标教材分析本节内容是数学必修2第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式的第一课时．本节课是在学习了二元一次方程组的解、直线的位置关系和直线的方程后进行的，是对前面学习内容的延续与深入，也是后继学习距离公式、圆锥曲线以及曲线与曲线的交点的基础．本节课通过利用代数的方法来解决两条直线相交的交点坐标问题，渗透数形结合、坐标法的思想，通过探究过定点的直线系的方程问题进一步培养学生转化化归的思想．课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解两条直线的位置关系、两条相交直线的交点坐标以及二元一次方程组的解与两条直线位置的对应关系．教学目标重点:能判断两条直线的位置关系，会求两直线的交点坐标．难点：二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系，过两条直线的交点的直线系方程．知识点：两条直线的交点的求法，二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系，过两条直线的交点的直线系方程．能力点：通过学习两条直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法，培养学生的数形结合能力，通过研究两条直线的位置与它们对应方程组的解的关系，进一步渗透坐标法及转化化归的思想．教育点：通过两直线交点与二元一次方程组的解的关系，认识事物之间的内在联系，能用辩证的观点看问题；在探究和解决问题的过程中，培养学生细心观察、勇于探索、互相合作的精神，自主探究点：二元一次方程组的解与两条直线的位置对应关系的探究与发现，过两条直线的交点的直线系方程问题．考试点：求两直线的交点坐标，判断两条直线的位置关系，．易错易混点：利用直线系方程求解直线方程、求未知参．拓展点：探究直线恒过定点问题，探究对称与最值问题．教具准备课件、几何画板、三角板课堂模式学案导学、引入新课知识回顾：（教师出示多媒体课件并提出问题）问题1.直线的一般式方程与二元一次方程之间有什么关系？问题2.如何求二元一次方程组的解?二元一次方程组的解有几种情况？问题3：直角坐标系中两条直线的位置关系有几种？【师生活动】师：展示课件、提出问题．生：思考、讨论并回答问题．师：每一个关于x,y的二元一次方程都表示条直线，而二元一次方程组的解有三种情况，直角坐标系中两条直线的位置关系也有三种，那么试想两条直线的位置关系与对应二元一次方程组解的情况有关系吗？如果有，那么又有怎样的对应关系呢？【设计意图】复习巩固，以旧带新；简单的知识回顾，为学生自主探究铺平道路，唤起学生的记忆，引发学生探究新知识的的学习兴趣和学习热情，并自然导入新课．二、探究新知探究1：两条直线的交点坐标问题1：教师引导学生从点与直线的位置关系入手完成下表，并讨论直线上的点与对应方程Ax+By+C=0的解有怎样的关系？几何元素及关系代数表示点AA(a,b)直线ll:Ax+By+C=0点A在直线l上点A坐标(x,y)满足方程Ax+By+C=00000直线l1与《的交点是A„Ax+By+C=0点A坐标(x,y)满足方程组彳J0101n00,Ax+By+C=0V20202生：独立思考，小组交流，完善表格．师：因为直线l与l的交点是A，故点A在直线l，也在直线l.1212,Ax€By€C=0,所以点A坐标（x,y）既满足l的方程，又满足直线l的方程，即：｛/010二八0012„Ax€By€C=0.20202问题2：由上述问题可知，两条直线的交点坐标满足由两条直线方程所组成的方程组．那么，如果两条直线l:Ax€By€C=0,l:Ax€By€C=0相交，如何求这两条直线的交点坐标？11112222生：交流，讨论．师生共同总结：要求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后联立求解．【设计意图】设置问题串，以旧带新，通过对熟悉知识点的温故讨论，引发学生探究新知的兴趣，培养学生发现、归纳、概括数学问题的能力．探究2：两条直线的位置关系师：求解下列方程组，判断对应两条直线是否相交（教材例2变式）．（）|x-y=o,1[3x€3y-10=0.J3x-y€4=0,⑵„6x-2y-1=0.,3x€4y-5=0,（3）[„6x€8y-10=0.生：自主完成练习，并请学生到前面板演解题过程.（1）方程组有唯一解（亍），所以直线l:x…y=0与l：3x€3y…10=0即为相交，交点（亍）.331233（2）方程组无解.（3）两个方程可化为同一个方程，所以方程组有无数解.师：（1）中方程组有唯一解对应直线l与l相交；（2）中方程组无解，两个方程就没有公共解，那么方程12对应的两条直线有交点吗？它们具有怎样的位置关系？生：没有.两条直线平行.师：（3）中方程组有无数解，两条直线具有怎样的位置关系？生：两条直线重合.【设计意图】通过动手操作，直观感知，深入理解方程组的解与直线的位置之间的关系.问题：两条直线方程所组成的二元一次方程组的解的个数与直线的位置关系有什么联系？已知l:Ax€By€C=0，l:Ax€By€C=0，11112222Ax„By„C—0将方程联立，得1’J’介，对于这个方程组解的情况分三种讨论：€Ax„By„C—0222(1) 若方程组有唯一解，则l、l相交，有唯一的公共点；12(2) 若方程组无解，则l、l没有公共点，即平行；12(3) 若方程组有无数多个解，则l、l有无数多个公共点，即重合.12【设计意图】通过学生独立思考、师生共同总结加强对知识的理解；由具体问题的解通过思考、感悟得到一般性结论，循序渐进，符合学生的认知规律，便于理解记忆；在问题探究的过程中，让学生体会数形结合的思想．三、理解新知师：如何求解两条直线的交点？如何判断两条直线的位置关系？生：写出两条直线方程，联立求解：方程组有唯一解…两直线相交方程组无解…两直线平行方程组有无穷多解…两直线重合师：如何根据两直线的方程的系数之间的关系来判定两直线的位置关系呢？请大家完成下列表格：l:Ax„By„C—0(A,B,C丰0)，l:Ax„By„C—0(A,B,C丰0)11111112222222两直线的位置关系方程组解的个数方程系数的关系相交有唯一解ABiHiAB22平行无解ABC—i——i丰—ABC222重合有无数个解ABC—i——1——iABC222如果A】,代,C1,A?,B2,C2中有等于零的情况，方程较简单，两条直线的位置关系容易确定.【设计意图】理解运用两条直线的交点个数判定两直线的位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性．四、运用新知例1求下列两条直线的交点坐标:1 :4x一2y€2，02生：分析解题思路，独立完成解题步骤.师：板书解题过程，引导学生校对自己的答案.「3x+4y—2，0,解：解方程组…4x+2y+2，0.得:x，—2,y，2.所以l与l的交点是M(—2,2).12几何画板作图验证.［设计意图］巩固所学知识，提高学生分析问题、解决问题的能力；通过问题分析，强化求解两条直线交点的方法；教师板书示范，规范解题步骤.例2判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标：(1) l:x—y，0，l:3x€3y—10，0；12(2) l:3x一y€4，0，l:6x一2y一1，0；12(3) l:3x€4y一5，0，l:6x€8y一10，0.12学生自主完成例2,并请学生到前面板演解题过程.教师引导学生共同批改学生答案，探讨解题中出现的问题和解题的关键点，并校对自己的答案.［设计意图］进一步巩固两直线位置关系与直线组成的方程组解的个数的对应关系；学生板书便于及时发现问题、解决问题，并规范学生的解题步骤；通过对答案的批改、校对，培养学生反思、总结的习惯.例3(补充)求经过两条直线x—2y€4，0和x€y—2，0的交点，且和直线2x—y€6，0平行的直线l的方程.分析：由直线l与直线2x—y€6，0平行，可以求得直线l的斜率；又因为直线l经过两条直线x—2y€4，0和x€y—2，0的交点，所以求出两直线的交点即可由点斜式求得直线l的方程.解法一：：直线2x-y+6，0的斜率为2,且直线l与直线2x一y+6，0平行,直线1的斜率为：k=2.lx，0,y，2.解方程组„x~2y+2=0[x+y一2，0.直线x一2y+4=0和x+y一2=0的交点坐标为M(0,2).直线1的方程为y一2=2(x一0)，即2x一y+2=0.解方程组…"—2卅；—J'得…xIx+y一2=0.Iy解法二：设与直线2x—y+6，0平行的直线1的方程为2x—y+C，0(C丰6)，0,，2.直线x一2y+4=0和x+y一2=0的交点坐标为M(0,2).-直线1经过两条直线x一2y+4，0和x+y一2，0的交点M(0,2),2x0-2+C，0，即C，2.直线1的方程为2x一y+2=0.点评：解法一中求直线方程的方法是通法,须掌握.解法二中利用了平行直线的设法：与直线Ax+By+C，0平行的直线方程可设为Ax+By+九，0(九H0)，其中九待定.［设计意图］通过对问题的分析、解决过程,培养学生综合分析问题和转化化归的能力；通过方法探究,一题多解,发散思维,有益于沟通知识和方法,开拓解题思路.【拓展提升】问题：当九变化时，x—2y+4+X(x+y—2)，0表示什么图形呢？图形有何特点？师：方程x一2y+4+^(x+y一2)=0中的未知数是什么？九可取什么值？生：未知数是x,y.九可取任意实数，是常数.师：是关于x,y的几元几次方程？生：二元一次方程.师：这个二元一次方程x—2y+4+(x+y—2)，0表示什么图形？生：表示直线.师：这个二元一次方程X-2y,4+€(x,y-2)=0能够表示多少条直线？生：无数条，一个€的值就对应一条直线．师：这些直线有什么共同特点吗？如何研究呢？既然一个€的值就对应一条直线，那么能否通过给定€的特殊值进行研究呢？例如取€=-1,0,1,2…….生：计算探究€——1时，方程为：—3y,6=0,€二0时，方程为：x—2y,4—0,€—1时，方程为：x—2y,4,(x,y—2)—0，即2x—y,2—0€—2时，方程为：x—2y,4,2(x,y—2)—0,即x—0作出图形可知，所有直线都过一个定点，该点为M(0,2)，即为例3中两条直线x—2y,4—0和x，y—2—0的交点.由此猜测：方程x—2y,4+(x,y—2)=0表示的直线都经过M(0,2)点.动画演示，验证猜想．师：方程x—2y,4+€(x,y—2)=0能表示x,y—2—0这条直线吗？生：思考回答.结论：方程x—2y+4+€(x+y—2)=0表示除直线x+y—2=0以外且经过两条直线x—2y+4=0和x，y—2—0交点的直线.师：像这种具有某种共同性质的所有直线的集合，称为直线系；它的方程叫直线系方程.总结提高：若l:Ax,By,C—0、l:Ax,By,C—0相交，则方程11112222(Ax+By+C)+€(Ax+By+C)=0表示过1与1交点的直线系(不包括直线1).111222122应用：(例3另解)解：设经过两条直线x一2y+4=0和x+y一2=0的交点的直线1方程为x一2y+4+€(x+y一2)=0,1,€€—2=2，即€=1.贝y(1,€)x,(€—2)y,4—2€=0.-直线1与直线2x—y,6—0平行,。