奥数裂项法练习.pdf
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这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项( 通 项 ) 分 解 ，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分 解 ( 裂 项 ) 如 ：( 1 ) l/ n( n+ l) =l/ n- l/ ( n+ l)( 2) 1 / ( 2n- l) ( 2n+ l) =1 / 2[ 1 / ( 2n- l) - 1 / ( 2n+ l) ]( 3) 1 / n( n+ 1 ) ( n+ 2) =1 / 2[ 1 / n( n+ l) - l/ ( n+ 1 ) ( n+ 2) ]( 4) l/ ( Va+ Vb ) = [ l/ ( a- b ) ] ( V a- V b )( 5) n , n! =( n+ l) ! - n!公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等 关键是找数列的通项结构)1、分组法求数列的和：如an=2n+ 3n2、错位相减法求和:$ 0 an=n • 2' n3、裂项法求和：如an=l/ n( n+ l)4、倒序相加法求和:如an=n5、求数列的最大、最小项的方法：①an+ l- an=. . .如 an=- 2n2+ 29n- 3② ( an>0 )如 an=③an=f ( n)研究函数f ( n)的增减性如an=ar T 2+ b n+ c ( aWO )6、在等差数列中， 有 关S n的最值问题一一常用邻项变号法求解：( 1 )当al>0 , d <0时，满足｛ an｝的项数m使 得S m取最大值.( 2)当al<0 , d >0时，满足｛ an｝的项数m使 得S m取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时， 注意转化思想的应用。
对于较长的复杂算式， 单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的 如果算式中每一项的排列都是有规律的， 那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项( 或前项) 恰好与上个裂变的前项 ( 或 后 项 ) 相 互 抵 消 ，从而达 到 “ 以短制长”的目的 下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀例 1、计算 1 X2+ 2X3+ 3X 4+ 4X 5+ . . .+ 98X 99+ 99X 1 0 0分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、991 0 0 ,先将所有的相邻两项分别相乘,数列公差为1 ,因数个数为21 X2= ( 1 X2X3- 0 X1 X2) 4-2X3= ( 2X3X4- 1 X2X3) +3X4= ( 3X4X5- 2X3X4) +4X5= ( 4X5X6- 3X4X5) 4-再求所有乘积的和算式的特点概括为:( 1 X3)( 1 X3)( 1 X3)( 1 X3)98X99= ( 98X99X1 0 0 - 97X98X99) 4- ( 1 X3)99X 1 0 0 = ( 99X 1 0 0 X 1 0 1 - 98X99X 1 0 0 ) 4- ( 1 X3)将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可 以 简 化 为( 99X1 0 0 X1 0 1 - 0 X1 X2) + 3。
解 :1 X2+ 2X 3+ 3 X 4+ 4 X 5+ . . .+ 98 X 99+ 99 X 1 0 0= ( 99X1 0 0 X1 0 1 - 0 X 1 X2) + 3=33330 0计算之裂项习题1 奥数裂项法同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算)阅读思考1 1 1例如5一二 = 笆 ，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，3 4 12把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：1 1 _ n + 1 nn n + 1 n{n + 1) n(n + 1)n + 1-n 1〃 ( 〃 + 1) n(n + 1)1 1 1即一———= - - - - - - -n n + 1 n(n + 1)n(n + 1) n n + 1下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题 典型例题】_ 1 1 1 1例 1.计算： - - - - - - - - - - -+- - - - - - - - - - - - +- - - - - - - - - - - - +. . . . . +- - - - - - - - - - - -1985x 1986 1986x 1987 1987 x 1988 1994 x 19951 1 1+ ---------- + -----------+ ----1995x 1996 1996x 1997 1997分析与解答:1111985x 1986198519861111986x 1987198619871111987x1988198719881111994x1995199419951111995x1996199519961111996x199719961997上 面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0 ,这一来问题解起来就十分方便了。
1 --------- + ----------+ ---------- + ♦ ♦ ♦ + ----------+ ----------1985x1986 1986x1987 1987 x 1988 1995x 1996 1996x 19971+- - - -1997111111 1 1 1= --- - ---- + ---- - ---- + ---- - ---- + ....+ ---- - ---- + ----1985 1986 1986 1987 1987 1988 1995 1996 19961 1 1-- - - -+- - - - - =- - - - -1997 1997 1985像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法例 2 计算：― +- - - -+- - - - - - - - + 4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1 1 + 2 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3+ - + 100公式的变式1 _ 21 + 2+ …+〃 n x (n- 1 )当”分别取1 , 2 , 3,……，1 0 0 时，就有1 _ 21 - 1x21 _ 21 + 2 - 2x31 _ 21 + 2 + 3 - 3x41 _ 21 + 2 + 3 + 4-4751 _ 21 + 2+ - + 100 - 100x 1011 1 1 1_ +- - - -+- - - - - - - - + … +- - - - - - - - - - - - - - -1 1 + 2 1 + 2 + 3 1 + 2+ — + 1002 2 2 2 2= -- - -- +- - - - -+- - - - - + … +- - - - - - - -- + - - - - - -- -1x2 2x3 3x4 99 x 100 100x 1011 1 1 1 1= 2 x (--- + ---- + ---- + …+ ------- + --------)1x2 2x3 3x4 99 x 100 100x10111111 1 1 1 12x(1 — — + — — — + — — — + * * ■ + — — + - )2 2 3 3 4 99 100 100 1012 c 1002 x ___1012001011011 1 1例 3.设 符 号 ( )、< > 代表不同的自然数，问算式z = ； _-+- - - - - - 中这两个6 ( ) < >符号所代表的数的数的积是多少？1 1 1 1 1 1分析与解：减法是加法的逆运算，T = — + ——就变成2 - 7~ ~ - = ------ 与前6 ( ) < > 6 ( ) < >1 1 1 1 1 1面提到的等式- 一-? --相联系，便可找到一组解，即 工=亏+=n n + \ n(n + l) 6 7 42另外一种方法1 1 1设“ 、X 、y 都是自然数，且 x o y , 当一 = 一 + 一时，利用上面的变加为减的想法,n x yx - n 1得算式——=一。
nx y这里_L是个单位分数，所以X - 〃一定大于零，假定x-〃 = r〉0 , 则x = 〃 + r , 代yt 1 〃 2入上式得-- - - - - - - = 一 ,即丁 = 一 + 〃n(n + 1) y t又因为y 是自然数，所以， 一定能整除“ 2 , 即， 是〃2的约数，有〃个， 就有〃个y,1 1 1这 一 来 我 们 便 得 到 一 个 比 一 一 一 -- 更 广 泛 的 等 式 ， 即 当 x = 〃 + f ,n 〃 + 1 n(n + 1)〃2 111y = 一 + 〃，， 是〃2的约数时，一定有一 = 一 + 一 ，即t n x y1 1 t_ — — _ =n 拉 + r 〃 (〃 + 1)〃2, 1 1 1 、 、上面指出当x = 〃 + z, y ~ — + 〃， ， 是〃2的约数时，一* 定有一=—+ — ,这里t n x y〃 =6,〃2 = 36, 36 共有 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 九个约数当『 =1 时，x = 7 , y = 42当， = 2 时，x = 8, y = 24当 £ = 3 时，x = 9, y = 18当， = 4 时，x = 10 , y = 15当， = 6 时，x = 12 , y = 10当1 = 9 时，x = 15 , y = 10当， =12 时，x = 18 , y = 9当， =18 时，x = 24, y = 8当 / = 36 时， x = 42 , y = 13 故 （ ）和 ＜ ＞所代表的两数和分别为49, 32, 27, 25。
模拟试题】 （ 答题时间：20分钟）二. 尝试体验:1 .计算：1 1 1 1 1------+ -------+ ------ + • , , + -----------+ ------------1x2 2x3 3x4 98x99 99 x 1001_ 1 1 1 1 1 12 . 计算：一+ — +—— +—— +—— +—— +3 6 10 15 21 28iiiiii 1---+ ----+ --- + ----+ ----+ ----+ ----- + -----36 45 55 66 78 91 105 12011 1= - + —时，求 x + y x y3 . 已知x 、y 是互不相等的自然数，当18【 试题答案】1 . 计算：1 1 1+ - + - + ••• +1x2 2x3 3x41-11111+98 x99 99 x 1001111—+ — — — + — — — + , , , + --- - ...... + -----2 2i_ _ L10099Too98 99 991002 . 计算:1+32+1+102+15 21 28 36 45 556 12 20 30 42 56 72 9011111+ — + — + — + — — + 一66 78 91 105 1202 2 2 2 2+ + + +110 132 156 182 210 2402 x (L+L+2x3 3x4 4x5 5x6 6x7 7x81 1 1------+ ---------+ ----------8x9 9x 10 10x113 341112 ++6211+ +1 + L + L+2 + 2 + 2 + 2 ++ —12 +1 1 1 1 1 、+ ---------- + ---------+ ----------+ --------- - + ----------)11x12 12x 13 13x 14 14x15 15x162x (1-2■ )2 161-18781 1 13 . 已知x、y 是互不相等的自然数，当 = = 一 + —时，求 x + y 。
18 x yx + y 的值为：75, 81, 96, 121, 147, 200, 3611 1+1 1 1因 为 18的约数有1, 2, 3, 6, 9, 1 8 ,共 6 个，所以有 一 = =18 18 x (1 + 1) 36 364 1 1+2 1 118 - 18x(l + 2) - 54 2754 + 27 = 811 1 + 3 1 1_ _ ______________ _ ___ __18 — 18x(l + 3) - 72 2472 + 24 = 961 1+6 1 118 . 18x(l + 6) -126 2121 + 126 = 1471 1 + 9 1 1- -18 - 18x(l + 9) - 180 2020+180 = 2001 1 + 18 1 1-- --- _|_18x(1 + 18) -19 34219 + 342 = 3611 2+3 1 118 - 18x(2+ 3) - 45 3030 + 45 = 751 _ 2+9 _ 1 118 - 18x(2 + 9) -99 + 2222 + 99 = 121还有别的解法。
裂项法(二)前一节我们已经讲过，利用等式！-一 二 =十二，采 用 “ 裂项法”能很快求出n n + 1 n(n + 1)( +… +康这类问题的结果来，把这一等式略加推广便得到另一等式：- - - = J、，现利用这一等式来解一些分数的计算问题n n + t n(n + 1)【 典 型 例 题 】1例1.+L+ 」11x3 3x5 5x7+ … + ---------------1993x19951分析与解：此题如按异分母加法法则来求和,1 1 t下面我们用- ———=-——- ,现在给〃、n n + t 〃 ( 〃 +， ), c 2 1 1当〃 = l,f = 2 时，有 ，=-1 x 3 1 3+ ----------------1995x 1997，计算量太大，下面用裂项法试一试/ 一些具体的值，看看有什么结果5 当〃= 3 / = 2时，有当〃 = 5,f = 2时，有23x523 55x7 5 7当〃 =1993 / = 2时，有1993x1995 1993 1995当〃 =1995 = 2 时，有2 _ 1 _ 11995x1997 -1995 1997上面这998个等式左边的分数，其分母分别与题目中各加数的分母一样，只是分子是2不是1 ,但 是 很 容 易 将 题 目 中 各 数 的 分 子 变 为2 ,例 如1 1 2 1 1 2广 =胃 ' , =x ,……，这样采用裂项法也能较快求出结果来。
1 x 3 2 1x3 3x5 2 3x5,112 112 1 1 2因为 = x ,---- = 1篱 ^_ . . ., - - - - - - - - - - -= - -X — ---- — —1x3 2 1x3 3x5 2 3x5 1993 x 1995 2 1993 x 1995______1 ____ — _1 x ______2_____1995 x 1997 ~ 2 1995 x 19971 1 1 1所 以- - - - +- - - - - +… +- - - - - - - - - - - - +- - - - - - - - - - - -1 x3 3x5 1993 x 1995 1995 x 19971111 1 1 1 1 、2 3 3 5 1993 1995 1995 1997)= —x (1 ——J - )2 19971 19962 1997998-19971 1 12-------- . + --------+ . + -------1x2x3 2 x 3 x 4 98x99x1001 1 3-1 2因为- - - --- - - - - =- - - - - - - -=- - - - - - - -1x2 2x3 1x2x3 1x2x31 1 , 1 1 、所以- - - - - - -= _ X ( ----------- --- ----------- )1x2x3 2 1x2 2x3______ — x ( —____)3 x 4 x 5-2___3^4 4^5一般地，因为1 _ 1+ 1) (" + 1)(" + 2)6 n + 2-n〃 ( 〃 + 1 ) ( / 7 + 2 )2n(n + 1 ) ( 〃 + 2 )1n(n + 1 ) ( 〃 + 2 )1 r 1 1= —x [------------------------------]2 〃 ( 〃 + 1 ) ( n + 1 ) ( n + 2 )这里〃是任意一个自然数。
利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例2的结果1 1 1- - - - - - - + + … +1 x 2 x 3 2 x 3 x 4 - - - - - - 98 x 99x 1 0 01 r z 1 11 1、 z 1 1、、= X [ ( - - -- - - - -) + ( - - - - - - - - -) + + ( - - - - - -——— - - - - -7) ]2 1 x 2 2 x 3 2 x 3 3 x 4 98 x 99 99x 1 0 0=_1 x (z_ __1 _—___1_ +____1 —____1 _+ • • • +_____1 __-_____1_ __)、- 2 7^2 2 7 3 2 7 3 3 ^4 98 x 99 99x 1 0 01 z 1 1 、-2 1 T 2 99x 1 0 01 4 95 0 - 1~ 2 990 01 4 94 9- X■ 2 990 04 94 9-1 98 0 0…1 1 1 1 1例 3. 计算： 一+- - - -+ — - - - - - -- + — - - - - - + … + ； — — —2 2 + 3 2 + 3 + 4 2 + 3 + 4 + 5 2 + 3 + 4 + - + 2 0 0分析与解：1 2 22 + 3 - ( 2 + 3 ) x 2 - 2 ^51 _ 2 _ 22 + 3 + 4 - ( 2 + 4 ) x 3 - 3 7 61 _ 2 _ 22 + 3 + 4 + 5 - ( 2 + 5 ) x 4 - 4 x 71 _ 1 _ 22 + 3 + 4+… + 〃 I,八( 〃-1) ( 〃 + 2)2 ( 〃 + 2) ( 〃 - 1) ' 八 72 - 1___________ = 2 x ____________( 〃 一1) ( 〃 + 2) ( n - 1) ( 〃 + 2)H 1 1 ( 〃 + 2) - ( … 3而---- - ----- =--------------- =-------------n-1 〃 + 2 (九一 1) ( 〃 + 2) ( 〃- 1) ( 〃 + 2)7 即1= 1x( .( 〃 一 1) ( 〃 + 2) 311n-1 n + 2)连续使用上面两个等式，便可求出结果来。
11— + ----------+2 2 + 311一 十212+2 + 3 + 4 + …+20 02 2----------+ -----------+ ♦ ♦ ♦ + ----------------------2x5 3x6 19 9 x20 22,33 3x( + + + )3 2x5 3x6 19 9 x20 22 111111111 1 1 1、=— + - X ( — — — + — — — + — — — + — — — + — — — + , • , + ------------------)2 3 2 53647 58 7 10 19 9 20 21 2 r 1 1 1 1 1 . ,1 1 1 1Vl2 3 2 3 4 5 19 9 5 6 7 20 21 2 r 1 1 1 1 1、 / 1 1 12 3 2 3 4 5 19 9 5 6 20 0 20 11 2 1 1 1 1 1 1、=— + - X ( — + — + — — - - )2 3 2 3 4 20 0 20 1 20 221+=—1 + 2 z 9 9 66 9 9、- X ( --------+ ---------+ ---------)2 3 20 0 20 1 40 41 33 44 33-- + ——+ - ~- + --------2 10 0 20 1 20 2,430 9 33=1-------20 30 10 0【 模 拟 试 题 】 （ 答 题 时 间 ：15分 钟 ）二 .尝试体验1.1 1 1 1求和：—+ ---- + -------- + ------------3 3+4 3+4+5 3+4+5+6+…+13 + 4 + 5+ …+202.求和：1 g+ c3l— + .5 —1 + r7 --1 -+ 9c-l-- + 1,1, —13.40 8 8 154 2381 13401求和：-----------+ ------------ + … + ----------------I x2x3x4 2x3x4x5 17 x18 x19 x208 【 试题答案】, Ill 1 11. 求和：—+ ---- + -------- + ------------+ … + ------------------3 3 + 4 3 + 4 + 5 3 + 4 + 5 + 6 3 + 4 + 5 + - + 2 06878368412252 . 求和:3 .求和:11391 — + 3— + 5— + 7 ——+ 9 — + 11 —10 40 88 154 238 340Ix 2 x 3 x 4 + 2 x 3 x 4 x 5 + + 17x18x19x20205209 。
