《APOS学习理论》PPT课件.ppt

第八章第八章 APOS学习理论学习理论第一节第一节 APOS理论概述理论概述 美国学者杜宾斯基(E.Dubinsky)提出的APOS理论, 是以建构主义为基础的数学学习理论，它的核心是引导学生在社会线索中学习数学知识，分析数学问题情景，从而建构他们自己的数学思想根据上述想法，杜宾斯基成功地帮助大学生们学习了一系列与微积分，离散数学，抽象代数等学科分支有关的概念， 如群，子群，陪集，商群，等等杜宾斯基认为：杜宾斯基认为：　　 1.1.数学教学的目的是什么？数学教学的目的是什么？ 一个人是不可能直接学习到数学概念的，更确一个人是不可能直接学习到数学概念的，更确切地说切地说, ,人们透过心智结构（人们透过心智结构（mental structuremental structure））使所学的数学概念产生意义使所学的数学概念产生意义. . 如果一个人对于给予的数学概念拥有适当的心如果一个人对于给予的数学概念拥有适当的心智结构，那么他几乎自然就学到了这个概念智结构，那么他几乎自然就学到了这个概念. . 反之，如果他无法建立起适当的心智结构，那反之，如果他无法建立起适当的心智结构，那么他学习数学概念几乎是不可能的。

么他学习数学概念几乎是不可能的 教学的目的：如何帮助学生建立适当的心智结构教学的目的：如何帮助学生建立适当的心智结构一、一、APOS理论的涵义理论的涵义2. 2. ＡＰＯＳ理论的出发点与基本假设ＡＰＯＳ理论的出发点与基本假设ＡＰＯＳ理论的出发点与基本假设ＡＰＯＳ理论的出发点与基本假设ＡＰＯＳ理论的出发点：ＡＰＯＳ理论的出发点： 任何一个数学教育理论应该致力于任何一个数学教育理论应该致力于“ “学生是如学生是如何学习的何学习的” ”以及以及“ “什么样的教学计划可以帮助这种什么样的教学计划可以帮助这种学学习的理解习的理解” ”，而不仅仅是陈述一些事实，而不仅仅是陈述一些事实. .ＡＰＯＳ理论的基本假设：ＡＰＯＳ理论的基本假设： 数学知识是个体在解决所感知到的数学问题的数学知识是个体在解决所感知到的数学问题的过程中获得的过程中获得的. .在此过程中，个体依序建构了心理在此过程中，个体依序建构了心理活动（活动（actionsactions）、过程（）、过程（processesprocesses）和对象）和对象（（objectobject），最终组织成用以理解问题情境的图式），最终组织成用以理解问题情境的图式结构（结构（schemasschemas））. .3.APOS3.APOS理论的来源理论的来源理论的来源理论的来源 ＡＡPOSPOS理论是一种建构主义学习理论，该理论理论是一种建构主义学习理论，该理论集中于对特定学习内容集中于对特定学习内容————数学概念学习过程的数学概念学习过程的研究，它指出学生数学概念学习过程是建构的，研究，它指出学生数学概念学习过程是建构的，并表明建构的顺序层次。

强调在学习数学概念中并表明建构的顺序层次强调在学习数学概念中首先处理的数学问题要具有社会现实背景，并要首先处理的数学问题要具有社会现实背景，并要求学生开展各种各样的数学活动，活动中学生在求学生开展各种各样的数学活动，活动中学生在已有的知识和经验基础上通过思维运算和反省抽已有的知识和经验基础上通过思维运算和反省抽象，对概念所具有的直观背景和形式定义进行必象，对概念所具有的直观背景和形式定义进行必要的综合，从而达到建构数学概念的目的要的综合，从而达到建构数学概念的目的  APOSAPOS理论起源于作者试图对皮亚杰的数学理论起源于作者试图对皮亚杰的数学学习的学习的“ “自反抽象自反抽象” ”理论进行拓展的一种尝试理论进行拓展的一种尝试. . 所谓所谓“ “自反自反” ”，就是返身、反思，自己作了，就是返身、反思，自己作了实实践性活动，然后践性活动，然后“ “脱身脱身” ”出来，作为一个出来，作为一个“ “旁观旁观者者” ”来看待自己刚才做了些什么，将自己所做的活动来看待自己刚才做了些什么，将自己所做的活动过程作为思考的对象，并归结出某个结论，这就过程作为思考的对象，并归结出某个结论，这就是是“ “自反抽象自反抽象” ”. . 皮亚杰认为，数学抽象活动的基本性质是一皮亚杰认为，数学抽象活动的基本性质是一种种“ “自反抽象自反抽象” ”。

它与通常所谓的它与通常所谓的“ “经验抽象经验抽象” ”有着重要的区别有着重要的区别 所谓的所谓的“ “经验抽象经验抽象” ”即是以真实的事物或现即是以真实的事物或现象作为直接的原型，也即是由一类物质对象中象作为直接的原型，也即是由一类物质对象中抽象出共同的特性抽象出共同的特性. . “ “自反抽象自反抽象” ”却并非是关于物质对象的，而却并非是关于物质对象的，而只是涉及到了人类施加于物质对象之上的活动只是涉及到了人类施加于物质对象之上的活动, ,或者说，这即是对人类自身活动进行反思的直或者说，这即是对人类自身活动进行反思的直接结果接结果. .  皮亚杰的这一观点表明了数学学习的一个重要皮亚杰的这一观点表明了数学学习的一个重要特点特点————数学抽象活动的间接性数学抽象活动的间接性 数学抽象未必是以真实事物或现象为原型的数学抽象未必是以真实事物或现象为原型的直接抽象，而也可以是以已经得到建构的数学对直接抽象，而也可以是以已经得到建构的数学对象为原型的间接抽象，也即是在更高的层次上去象为原型的间接抽象，也即是在更高的层次上去对已有的东西重新进行建构。

对已有的东西重新进行建构 APOSAPOS理论指明了这种建构的途径和方式理论指明了这种建构的途径和方式 无论是无论是“ “经验抽象经验抽象” ” ，还是，还是“ “自反抽象自反抽象” ” ，，必须在经过操作、过程、对象、图式等阶段后才必须在经过操作、过程、对象、图式等阶段后才能完成数学对象、数学思维的建构和提升能完成数学对象、数学思维的建构和提升. . 二、二、 APOS理论的理论模型理论的理论模型1. 1. 四阶段模型四阶段模型杜宾斯基认为，学生学习数学概念就是要认为，学生学习数学概念就是要建构心智结构，这一建构过程要经历以下建构心智结构，这一建构过程要经历以下4 4个阶段个阶段（以函数概念为例）：（以函数概念为例）：第一阶段第一阶段————操作操作( (或活动或活动) )（（actionaction）阶段）阶段 这里的活动是指个体通过一步一步的外显性这里的活动是指个体通过一步一步的外显性（或记忆性）指令去变换一个客观的数学对象（或记忆性）指令去变换一个客观的数学对象. . 数学教学是数学活动的教学，操作运算行为数学教学是数学活动的教学，操作运算行为是数学认知的基础性行为。

学生与数学家一样，是数学认知的基础性行为学生与数学家一样，要亲自投入，通过实际经验来获得知识，虽然这要亲自投入，通过实际经验来获得知识，虽然这种实践性与物理、化学、生物等实验科学的观察种实践性与物理、化学、生物等实验科学的观察试验行为所不同，但数学活动仍需实际操作演算和试验行为所不同，但数学活动仍需实际操作演算和头脑中的心理操作头脑中的心理操作————思想实验，没有物理操作和思想实验，没有物理操作和心理的操作，数学概念将成为无源之水，无本之木心理的操作，数学概念将成为无源之水，无本之木. .大部分数学概念的形成都经历了一个反省抽大部分数学概念的形成都经历了一个反省抽象的活动而要形成反省，被反省的基础，就是象的活动而要形成反省，被反省的基础，就是操作活动操作活动 所谓操作是指个体对于感知到的对象进行转所谓操作是指个体对于感知到的对象进行转换，这个对象实质上是一种外部刺激换，这个对象实质上是一种外部刺激 例如，理解函数概念需要进行活动或操作例如，理解函数概念需要进行活动或操作 在有现实背景的问题中建立一种函数关系在有现实背景的问题中建立一种函数关系y=2x,y=2x,要求个体计算出在一个给定点的函数值，如：要求个体计算出在一个给定点的函数值，如： 通过这种操作，学生获得函数的操作意义通过这种操作，学生获得函数的操作意义. .第二阶段第二阶段————过程过程(process)(process)阶段阶段 当当“ “活动活动” ”经过多次重复而被个体熟悉后，经过多次重复而被个体熟悉后，物物理操作就可以内化为一种叫做理操作就可以内化为一种叫做“ “过程过程(process)”(process)”的心理操作，有了这一的心理操作，有了这一“ “程序程序” ”，个体就可以想，个体就可以想象象之前的活动，而不必通过外部刺激；他可以在脑之前的活动，而不必通过外部刺激；他可以在脑中实施这一程序而不需要具体操作；他甚至还可中实施这一程序而不需要具体操作；他甚至还可以对这一程序进行逆转以及与其它程序进行组合以对这一程序进行逆转以及与其它程序进行组合. .例如，一旦学生认识到所谓函数只不过是给定例如，一旦学生认识到所谓函数只不过是给定一个不同的数就会得出相应的不同值，而不必一个不同的数就会得出相应的不同值，而不必再进行具体的运算时，他就已经完成了这种过再进行具体的运算时，他就已经完成了这种过程模式的建构。

程模式的建构 把上述操作活动综合成函数过程，一般地有把上述操作活动综合成函数过程，一般地有x→2xx→2x；其它各种函数也可以概括为一般的对应；其它各种函数也可以概括为一般的对应过程：过程：x→f(xx→f(x). ).想象为输入想象为输入————输出的输出的“ “函数机函数机” ” 概念在过程阶段表现为一系列的步骤，有操概念在过程阶段表现为一系列的步骤，有操作性，相对直观，容易仿效学习；学生可以从作性，相对直观，容易仿效学习；学生可以从过程入手经操作来体会概念中所包含的具体关过程入手经操作来体会概念中所包含的具体关系系. .第三阶段第三阶段————对象对象(object)(object)阶段阶段 当个体能把这个当个体能把这个“ “过程过程” ”作为一个整体进行作为一个整体进行操作和转换的时候，这个过程就变成了他的一种操作和转换的时候，这个过程就变成了他的一种心理心理“ “对象对象(object)”. (object)”. 这时这时, ,个体可以操控对象个体可以操控对象去实施各种相关的数学运算需要的时候，也可去实施各种相关的数学运算。

需要的时候，也可以具体再现对象所包含的过程步骤以具体再现对象所包含的过程步骤. . 例如，将函数的对应过程压缩为一个例如，将函数的对应过程压缩为一个“ “整体整体” ”，形成函数的，形成函数的“ “对象对象” ”这一心理结构，从而可这一心理结构，从而可以实现函数的复合、微分、积分这些运算，进一以实现函数的复合、微分、积分这些运算，进一步可发展出函数空间、算子这些更抽象的数学概步可发展出函数空间、算子这些更抽象的数学概念念. . 所以，作为对象的概念，在某一个层次和更高所以，作为对象的概念，在某一个层次和更高一级层次之间起着一种枢纽作用：它既操作别的对一级层次之间起着一种枢纽作用：它既操作别的对象，又被高层次的运算来操作当概念进入对象状象，又被高层次的运算来操作当概念进入对象状态时，便呈现一种静态结构关系，成为一个态时，便呈现一种静态结构关系，成为一个“ “实体实体” ”，易于整体把握性质，这时一个完整的理解才真，易于整体把握性质，这时一个完整的理解才真正成型第四阶段第四阶段————图式图式(scheme)(scheme)阶段阶段 个体对活动、过程、对象以及他原有的相关个体对活动、过程、对象以及他原有的相关方面的图式进行相应的整合、精致就会产生出新方面的图式进行相应的整合、精致就会产生出新的图式结构的图式结构(scheme) ,(scheme) ,从而可运用于问题解决情从而可运用于问题解决情境境. . 一个数学概念的一个数学概念的“ “图式图式” ”是由相应的活动、过是由相应的活动、过程、对象以及相关的图式所组成的认知框架。

其程、对象以及相关的图式所组成的认知框架其作用和特点就是决定某些刺激是否属于这个图作用和特点就是决定某些刺激是否属于这个图式，从而就会作出不同的反应式，从而就会作出不同的反应良好的函数概念图式：良好的函数概念图式： “ “函数是两个非空数集之间的一种对应关系；函数是两个非空数集之间的一种对应关系；在一个集合中任意取定一个数，总可以在另一个集在一个集合中任意取定一个数，总可以在另一个集合里找到唯一确定的数与它对应；前面的集合叫定合里找到唯一确定的数与它对应；前面的集合叫定义域，那些被唯一确定的所有数组成了叫做值域的义域，那些被唯一确定的所有数组成了叫做值域的集合；函数概念的关键是由谁唯一确定了谁；函数集合；函数概念的关键是由谁唯一确定了谁；函数概念与函数所用的符号没有什么关系，就像人的名概念与函数所用的符号没有什么关系，就像人的名字一样；字一样；……”……” 这一心理图式含有具体的函数实例（解析式、这一心理图式含有具体的函数实例（解析式、图像、表格、映射图）、抽象的对应过程、定义的图像、表格、映射图）、抽象的对应过程、定义的言语编码，以及与其它概念的联系（方程、曲线、言语编码，以及与其它概念的联系（方程、曲线、不等式、代数式等）。

不等式、代数式等） APOSAPOS理论的四阶段模型理论的四阶段模型理论的四阶段模型理论的四阶段模型活动活动（（（（ActionAction））））过程过程（（（（ProcessProcess））））图式图式（（（（SchemaSchema））））对象对象（（（（ObjectObject））））内化内化压缩压缩同化或顺应同化或顺应2.APOS2.APOS循环循环 杜宾斯基杜宾斯基认为，活动、过程、对象也可以看作认为，活动、过程、对象也可以看作认为，活动、过程、对象也可以看作认为，活动、过程、对象也可以看作是数学知识的三种状态，而图式则是由这三种知识是数学知识的三种状态，而图式则是由这三种知识是数学知识的三种状态，而图式则是由这三种知识是数学知识的三种状态，而图式则是由这三种知识构成的一种认知结构构成的一种认知结构构成的一种认知结构构成的一种认知结构. .虽然这四者具有等级结构，虽然这四者具有等级结构，虽然这四者具有等级结构，虽然这四者具有等级结构，但个体对某一数学概念的理解并不只是线性的，而但个体对某一数学概念的理解并不只是线性的，而但个体对某一数学概念的理解并不只是线性的，而但个体对某一数学概念的理解并不只是线性的，而是循环的。

是循环的是循环的是循环的 例如，函数概念的学习例如，函数概念的学习 学习者一开始的活动是，视函数为一个公学习者一开始的活动是，视函数为一个公式，它含有一些可以运算和赋值的字母变量式，它含有一些可以运算和赋值的字母变量. . 随后，视函数为随后，视函数为“ “函数机函数机” ”————可以输入、可以输入、输出的机器，于是得到了初步的输出的机器，于是得到了初步的“ “程序程序” ”，即过，即过程程. . 但一遇到更为复杂的函数表达式时，往往但一遇到更为复杂的函数表达式时，往往又回到了又回到了“ “活动活动” ”阶段，进一步完善了函数阶段，进一步完善了函数“ “程程序序” ”. . 如此反复，经过多次循环后，才最终形成明如此反复，经过多次循环后，才最终形成明确而完整的函数确而完整的函数“ “对象对象” ”A P O S A P O S 循环图循环图循环图循环图 对象对象对象对象 活动活动活动活动 过程过程过程过程内化内化内化内化解压缩解压缩解压缩解压缩 压缩压缩压缩压缩 协调协调协调协调 反演反演反演反演活动的内化是数学课堂的一种活动的内化是数学课堂的一种“ “日常活动日常活动” ”. . 例如，为了考察二次函数在某个区间上的单例如，为了考察二次函数在某个区间上的单调性，学生先具体比较一些函数值的大小，这调性，学生先具体比较一些函数值的大小，这属于离散状态的属于离散状态的“ “活动活动” ”阶段阶段. .这些这些“ “活动活动” ”经经过多次重复后，慢慢就内化为一种心理结构过多次重复后，慢慢就内化为一种心理结构———“—“程序程序” ”，其功能就是实行相应的，其功能就是实行相应的“ “活动活动” ”. . 在活动阶段，学生只能单个地计算函数值，比在活动阶段，学生只能单个地计算函数值，比较大小；在程序（过程）阶段，学生可以同时较大小；在程序（过程）阶段，学生可以同时考虑多个函数值的大小关系及变化趋势考虑多个函数值的大小关系及变化趋势. .在学生多在学生多次运用次运用“ “程序程序” ”后，一旦他们对整个区间上的函数后，一旦他们对整个区间上的函数值随自变量变化的趋势有了整体的认识，上述值随自变量变化的趋势有了整体的认识，上述“ “程程序序” ”就已经被就已经被“ “压缩压缩(encapsulation)”(encapsulation)”为一个为一个“ “对对象象” ”. . 只有当个体主动地反复运用只有当个体主动地反复运用“ “程序程序” ”去实施相去实施相应的应的“ “活动活动” ”时，时，“ “压缩压缩” ”才可能出现才可能出现. . 在数学活动中，在数学活动中，“ “解压缩解压缩(de-encapsulation)”(de-encapsulation)”的过程也同样重要的过程也同样重要. . 运用压缩和解压缩的过程去实施某个运用压缩和解压缩的过程去实施某个“ “活动活动” ”是数学思维的一个特点是数学思维的一个特点. . 例如，在两个函数例如，在两个函数 f 和和g 相加得到一个新的函相加得到一个新的函数数 f + gf + g 的过程中，必须把原来的两个函数和结果的过程中，必须把原来的两个函数和结果函数都看作是函数都看作是“ “对象对象” ”. .但在实际变换或者讨论函但在实际变换或者讨论函数数的性质时，又必须先将它们的性质时，又必须先将它们“ “解压缩解压缩” ”为原先的为原先的“ “程程序序” ”而分别操作，然后形成新的而分别操作，然后形成新的“ “程序程序” ”. .在新的在新的“ “程程序序” ”中，将涉及其它更多的数学概念，如新函数的中，将涉及其它更多的数学概念，如新函数的定义域与原先两个函数的定义域之间的关系定义域与原先两个函数的定义域之间的关系. . 这样，围绕这一这样，围绕这一“ “对象对象” ”形成了一个关联的认形成了一个关联的认知结构知结构——“——“图式图式” ” APOSAPOS理论指出，数学对象、图式的形成是理论指出，数学对象、图式的形成是一种渐进的建构过程。

一种渐进的建构过程 一个数学概念由一个数学概念由“ “过程过程” ”到到“ “对象对象” ”的建立的建立有时是既困难又漫长的（如函数概念），有时是既困难又漫长的（如函数概念），“ “过程过程” ”到到“ “对象对象” ”的抽象需要经过多次的反复，循序的抽象需要经过多次的反复，循序渐进，螺旋上升，直至学生真正理解渐进，螺旋上升，直至学生真正理解 “对象对象” ”的建立要注意它的简练文字形式、符号表示，使的建立要注意它的简练文字形式、符号表示，使学生在头脑中建立起数学知识的直观结构形象学生在头脑中建立起数学知识的直观结构形象. . APOSAPOS理论揭示出，数学学习中图式的形成理论揭示出，数学学习中图式的形成往往并非是一种自觉的行为，而是一个不知不觉往往并非是一种自觉的行为，而是一个不知不觉的渐进的建构过程在整个环节中，相应的操的渐进的建构过程在整个环节中，相应的操作为图式的形成提供了必要的基础经过提炼作为图式的形成提供了必要的基础经过提炼和拓展，图式的形成要经历三个阶段：和拓展，图式的形成要经历三个阶段： 单个图式、多个图式、图式的迁移。

单个图式、多个图式、图式的迁移 单个图式阶段的特点就是只是注意离散的操单个图式阶段的特点就是只是注意离散的操作、过程和对象，而把具有类似性质的其它知作、过程和对象，而把具有类似性质的其它知识点隔离开来识点隔离开来. . 多个图式阶段就是注意了各个图式中蕴涵的多个图式阶段就是注意了各个图式中蕴涵的知识点之间的关系和衔接，这时个体就能把这知识点之间的关系和衔接，这时个体就能把这些知识点组成一个整体些知识点组成一个整体. . 到了迁移阶段，个体才能彻底搞清楚在上一到了迁移阶段，个体才能彻底搞清楚在上一个阶段中提到的相关知识点之间的相互关系，个阶段中提到的相关知识点之间的相互关系，并建构出这些知识点之间的内部结构，形成一并建构出这些知识点之间的内部结构，形成一个大的图式个大的图式. . 三、三、 APOS理论的特征理论的特征 （（1 1）真实反映了数学概念的心智建构过程）真实反映了数学概念的心智建构过程 APOSAPOS理论集中于对特定学习内容理论集中于对特定学习内容————数学概数学概念学习过程的研究，对数学概念所特有的思维形念学习过程的研究，对数学概念所特有的思维形式式“ “过程和对象的双重性过程和对象的双重性” ”做出了切实分析。

对做出了切实分析对数学学习过程中学生的思维活动做出深入的研究，数学学习过程中学生的思维活动做出深入的研究，正确揭示数学学习活动的特殊性，提出学生学习正确揭示数学学习活动的特殊性，提出学生学习概念要经过概念要经过“ “活动活动” ”、、“ “过程过程” ”、、“ “对象对象” ”和和“ “图式图式” ”4 4个阶段反映了学生学习数学概念过程中个阶段反映了学生学习数学概念过程中真实的思维活动真实的思维活动. .“ “活动阶段活动阶段” ”是学生理解概念的一个必要条件，是学生理解概念的一个必要条件，通过通过“ “活动活动” ”让学生亲身体验、感受概念的直让学生亲身体验、感受概念的直观背景和概念间的关系观背景和概念间的关系 “过程阶段过程阶段” ”是学生对是学生对“ “活动活动” ”进行思考，经进行思考，经历思维的内化、压缩过程，学生在头脑中对活历思维的内化、压缩过程，学生在头脑中对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质 “对象阶段对象阶段” ”是通过前面的抽象，认识到了概是通过前面的抽象，认识到了概念本质，对其赋予形式化的定义及符号，使其念本质，对其赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个具体的对象，在以后的达到精致化，成为一个具体的对象，在以后的学习中以此为对象去进行新的活动。

学习中以此为对象去进行新的活动 “ “图式阶段图式阶段” ”的形成要经过长期的学习活动来完的形成要经过长期的学习活动来完善，起初的概型包含反映概念的特例、抽象过程、善，起初的概型包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号，经过学习建立起与其它概念、规则、定义及符号，经过学习建立起与其它概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成综合的心理图式图形等的联系，在头脑中形成综合的心理图式 （（2 2））APOSAPOS理论揭示了数学概念学习的本质，理论揭示了数学概念学习的本质，是具有数学学科特色的学习理论是具有数学学科特色的学习理论. . （（3 3））APOSAPOS理论是建构主义学习理论在数学理论是建构主义学习理论在数学学习中的一种具体模式学习中的一种具体模式. . （（4 4）为数学教学提供理论工具）为数学教学提供理论工具. . 第二节第二节 APOS理论典型案例理论典型案例一、函数概念一、函数概念1. 活动阶段 理解函数需要进行活动或操作例如，在有现实背景的问题中建立函数关系y＝X2，需要用具体的数字构造对应：2→4；3→9；4→16；5→25；……通过操作，理解函数的意义。

2. 过程阶段 把上述操作活动综合成为一个函数过程一般地有x→x2；其它的各种函数也可以概括为一般的对应过程：x→f(x) 3. 对象阶段 然后可以把函数过程上升为一个独立的对象来处理,比如，函数的加减乘除、复合运算等在表达式f(x)土g(x)中，函数f(x)和g(x)均作为整体对象出现 4.图式阶段 此时的函数概念，以一种综合的心理图式而存在于脑海中，在数学知识体系中占有特定的地位这一心理图式含有具体的函数实例、抽象的过程、完整的定义，乃至和其它概念的区别和联系(方程、曲线、图像等等)二、代数式概念二、代数式概念 代数式(字母表示数)概念一直是学生学习代数过程中的难点，很多学生学过后只能记住代数式的形式特征，不能理解字母表示数的意义代数式的本质是把方法性的算术的运算(过程上的运算)上升到了结构性的式的运算(对象上的运算)，这其中要经历从算术到代数观点的改变首先要设计具体的在算术上的方法性的运算活动，使代数概念的建立经历必要的“过程”阶段，从而能建立“对象”的代数式。

1.通过运算活动，理解具体的代数式 问题1：一列火车保持一定的速度行驶，每小时行驶90千米，请将这列火车行驶的路程与时间的关系填在表1中： 问题2：随着梯形个数的增加，由若干个梯形组成的图形的周长也在变化，观察图形并填写表2：表表2 梯形个数与周长变化梯形个数与周长变化2. 过程阶段，体验代数式形成过程教师提出以下问题：(1) 用字母符号代表“口”如90t，与具体的数有什么样的关系? (2) 把各具体字母表示的式子作为一个整体，具有什么样的特征和意义? (需经反复体验、反思、抽象代数式特征：一种运算关系；字母表示一类数，如t和90t) 这一阶段还包括列代数式和对代数式求值，如可计算下题，让学生进一步体会代数式形成过程3. 对象阶段，对代数式的形式化表述(以下简略说明) 这一阶段包括建立代数式形式定义、对代数式的化简、合并同类项、因式分解及解方程等运算学生在进行运算中应意识到运算的对象是形式化的代数式而不是数, 代数式本身体现了一种运算关系，而不只是运算过程 这一阶段，学生必须理解字母(不定元)的意义，识别代数式4. 图式阶段，建立综合的心理图式。

通过以上三个阶段的教学，学生在头脑中应该建立起如下的代数式的心理表征：具体的实例(直观的)、运算过程、字母表示一类数的数学思想、代数式的定义, 并能加以运用 例如, 化简代数式(2x2—6x十5)2—(2x2—6x十4)2 = [(2x2—6x十5) 十(2x2—6x十4)]•[(2x2—6x十5) 十(2x2—6x十4)]= (4x2—12x十9)= (2x—3)2 需将每一个括号内的式子看成一个具体的对象---代数式，运用平方差与平方和公式进行化简可以看出，学生在对象阶段代数式概念的建立要经历一段时间才能完成此外，在以后学习方程、整式、分式、函数等内容时不断对代数式的概念进行完善，找到它在数学整体中的地位，从而建立完整的心理图式 三、有理数加法法则三、有理数加法法则1. 运算操作（活动） 计算一个足球队在一场足球比赛时的胜负可能结果的各种不同情形： （＋3）＋（＋2）→ ＋5； （一2）＋（一1）→－3； （＋3）＋（一2）→（＋1）； （一3）＋（＋2）＋1； （＋3）＋ 0 → ＋3； ……（其中每个和式中的两个有理数是上、下半场中的得分数）。

2. 综合分析（过程） 把以上算式作为整体综合进行特征分析：同号相加、异号相加、一个数与零相加等的过程和结果对照总结规律，理解运算意义3. 形成对象 把各种规律综合在一起成为一完整的有理数加法法则，并产生有理数和的模式： 有理数十有理数有理数十有理数 = （（1）符号（）符号（2）数值）数值这一阶段还包括按照有理数和的模式及具体的运算律进行任意的有理数和的运算和代数式求值的运算等4. 形成图式 有理数加法法则以一种综合的心理图式建立在学生的头脑中，其中有具体的足球比赛的实例、有抽象的操作过程、有完整的运算律和形成的模式而且通过以后的学习获得和其他概念、规则的区别与联系（有理数和、差、积的组合关系，多项式的和、差、积关系等）四、解一元一次方程四、解一元一次方程1. 活动阶段 为了求未知数，通过已知数和条件列出方程，然后用代数式的四则运算求出未知数学生学习解具体的方程：2X = 5；3X－2 = 5X＋3，理解具体的方程的意义2. 过程阶段 从整体上体验一元一次方程的特征，把握解方程的一般性步骤，会解一般的 ax＋b = 0；ax＋b ＝ cx＋d之类的方程, 综合分析解方程的思想方法。

3. 对象阶段 把解一元一次方程作为单独的对象来掌握, 区别于一元二次方程 在解二元一次联立方程时，能够识别是由两个一元一次方程所组成此时解一元一次方程是一个单独的结构性的对象 4. 图式阶段 学生的头脑中建立起一元一次方程的综合图式：一元一次方程与一次函数的关系，由方程表示的函数的图像等。