巧用对偶原理求最值及证不等式.doc

巧用对偶原理求最值和证不等式对偶原理在解题中的运用并不陌生，在中学数学教学中有很多地方运用了对偶原理思 想在几何中，互补的两个角是对偶的，互余的两个角是关于 90 度角对偶的正与负对偶 共轭因式、共轭复数互为对偶在分母有理化和实数化运算中，就是对偶原理的应用运 用对偶原理的关键是寻找合适的互补量、合适的互补事物本文在求最值、证不等式中， 活用对偶原理，达到出奇制胜的效果 一．求最值例 1 设，求的最大值0x 111yxxxx解：令，则就是的对偶量（函数）111uxxxxuy此时 又 11yuyu 22 123u  故有 所以 （当时）12323y max23y1x 例 2 设函数，求的最小值122010yxxxy解：先考察函数 （）( )f xxaxbab由知2 , ( ), 2,abxxa f xabaxb xabxb   min( )fxba联想首尾配对的思想有(12010)(22009)(10051006)yxxxxxx由图像及知( )f x 1005,10061004,10071,2010min( 12010)( 22009)( 1005 1006)y     1 21005 1006 10072010  思考：已知函数，求的最小值。

122011yxxxy二．证不等式例 3 设为正数，，试证：, a b111ab21()22()nnnnnababnN解：令1122211(),nnnnnnn nnnMababC abC abCab（与是一组对偶量） 1122211nnnnn nnnNCabCa bC abMN有1212()2(22)nnnnnn nnnMNa bCCCa b又11122ababababab 故有 所以212 (22)()nnMNnN21()22()nnnnnababnN例 4 已知且，求证：0(1,2,, )iain11ni ia222 12122311 2nnaaa aaaaaa解：令，构造对偶式222 1212231nnaaaAaaaaaa，则有222 32112231naaaBaaaaaa10,()2ABAAB由及知1223111()()()()24nABaaaaaa11ni ia，即1 2A222 12122311 2nnaaa aaaaaa思考；已知，求证：22221abcd444444()()()()()()6abacadbcbdcd提示：令，444444()()()()()()Aabacadbcbdcd考虑其对偶式，444444()()()()()()Babacadbcbdcd由即可证之。

222226()6AABabcd由上述例题看到，构造对偶量需知识、经验与灵感如何寻找对偶量、对偶事物并无 定则，只要解决问题就行，这需要靠平时经验的积累和思维的灵敏度。