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误差理论与数据处理基础知识1误差理论与数据处理基础知识0-1 物理实验中的测量误差与不确定度误差和不确定度的概念物理实验离不开对各种物理量进行测量，由测量所得的一切数据，都毫无例外地包含有一定数量的测量误差，没有误差的测量结果是不存在的测量误差存在于一切测量之中，贯穿于测量的全过程随着科学技术水平的不断提高，测量误差可以被控制得越来越小，但却永远不会降低到零测量误差＝测量值—真值何谓真值？真值是在特定条件下被测量量的客观实际值，当被测量的测量过程完全确定，且所有测量的不完善性完全排除时，则测量值就等于真值这就是说，真值是通过完善的测量才能获得然而，严格、完善的测量难以做到，故真值就不能确定在实践中，有一些物理量的真值或从相对意义上来说的真值是可以知道的，这有如下几种：（1）理论真值如平面三角形三内角之和恒为 180°；某一物理量与本身之差恒为零，与本身之比值恒为 1；理论公式表达值或理论设计值等2）计量单位制中的约定真值国际单位制所定义的七个基本单位，根据国际计量大会的共同约定，凡是满足上述定义条件而复现出的有关量值都是真值3）标（基）器相对真值凡高一级标准器的误差是低一级或变通测量仪器误差的～ 时，则可认为前者是后者的相对真值。

如经国家级鉴定合格的标准器称为国家标120准器，它在同一计量单位中精确度最高，从而作为全国该计量单位的最高依据国际铂铱合金千克原器的质量将作为国际千克质量的真值在科学实验中，真值就是指在无系统误差的情况下，观测次数无限多时所求得的平均值但是，实际测量总是有限的，故用有限次测量所求得的平均值作为近似真值（或称最可信赖值） 1．误差（error）误差即观测值与真值之间的差异如前所述，测量误差就是测量值减去真值1）绝对误差（absolute error） 某物理量值与其真值之差称绝对误差，它是测量值偏离真值大小的反映，有时又称真误差即绝对误差＝量值-真值修正值＝-绝对误差＝真值-量值真值＝量值+修正值这说明量值加上修正值后，就可以消除误差的影响在精密计量中，常常用加一个修正值的方法来保证量值的准确性近代物理实验教程2（2）相对误差（relative error） 绝对误差与真值的比值所表示的误差大小称为相对误差或误差率有时，两组测量的绝对误差相同，但真值不同，而此时实际反映了两种不同的准确度所以采用相对误差就能够清楚地表示出测量的准确程度按定义， 1绝 对 误 差测 量 值绝 对 误 差测 量 值绝 对 误 差真 值绝 对 误 差相 对 误 差当绝对误差很小时，1绝 对 误 差测 量 值，此时 测 量 值绝 对 误 差相 对 误 差 相对误差还有一种表达形式，即分贝误差。

同种物理量之比取对数，再乘以 20，这称为分贝 A（单位用 dB 表示） 设两个同种物理量之比为 12pa（0-1-1）则按分贝的定义有 aAln69.830.2llg0（0-1-2）如果比值 a 产生了一个误差 a，那末将引起 A 产生一个误差 A（此为分贝误差） ，则 lg（0-1-3）式（0-1-3）减去式（0-1-2） ，得  aaA1ln69.81l20（0-1-4）该式即为相对误差 a与分贝误差 之间的关系式从数学上可知 aa1lnim则式（0-1-4）可写成 A69.8或 a15.0分贝误差主要用在声学及无线电计量之中，如计算声压级，按规定空气中的基准声误差理论与数据处理基础知识3压 Pap5012（大约相当于蚊子飞行发出声音的声压） ，如有一声的声压 Pap20，则其声压级按式（0-1-4）计算为 dBA120lg205相对误差还有一种简便实用的形式——引用误差它在多挡或连续刻度的仪表中得到广泛应用为了减少误差计算中的麻烦和划分仪表正确度等级的方便，一律取仪表的量程或测量范围上限值作为误差计算的分母（即基准值） ，而分子一律取用仪表量程范围内可能出现的最大绝对误差值。

于是，定义引用误差为 %10仪 表 量 程绝 对 误 差引 用 误 差在热工、电工仪表中，正确度等级一般都是用引用误差来表示的，通常分成0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5 和 5.0 七级上述数值表示该仪表最大引用误差的大小，但不能认为仪表在各个刻度上的测量都具有如此大的误差例如某仪表正确度等级为 R级（即引用误差为 R%） ，满量程的刻度值为 X，实际使用时的测量值为 x（一般 ≤X） ，则%10/xX测 量 值 的 相 对 误 差测 量 值 的 绝 对 误 差（0-1-5）通过上面的分析，可知为了减少仪表测量的误差，提高正确度，应该使仪表尽可能在靠近满量程刻度的区域内使用这正是人们利用或选用仪表时，尽可能在满刻度量程的 以上区域内使用的原因32（3）误差的分类根据误差产生的原因和性质将误差分为系统误差和随机误差两大类①系统误差在相同条件下，多次测量同一物理量时，测量值对真值的偏离（包括大小和方向）总是相同的，这类误差称为系统误差系统误差的特点是恒定性，不能用增加测量次数的方法使它减小，在实验中发现和消除系统误差是很重要的，因为它常常是影响实验结果准确程度的主要因素，能否用恰当的方法发现和消除系统误差，是测量者实验水平高低的反映，但是又没有一种普遍适用的方法去消除系统误差，主要是靠对具体问题作具体的分析与处理，要靠实验经验的积累。

如果我们能够确定系统误差的数值，就应该把它从实验结果中扣除，消除它的影响，或者说，把系统误差的影响减小到偶然误差的范围以内，这种数值已知的系统误差称为“已定系统误差” 还有一类系统误差，只知道它存在于某个大致范围，而不知道它的具体数值，我们称之为“未定系统误差” 例如仪器的允差就属于这一类关于系统误差的限制和消除将在后面介绍 ②随机误差（偶然误差）由于偶然的不确定因素造成每一次测量值的无规律的涨落，测量值对真值的偏离时大时小、时正时负，不能由上次测量值预计下一次测量值的大小，这类误差称为随机误近代物理实验教程4差，也称偶然误差造成偶然误差的因素是多方面的，如仪器性能和测量者感官分辩力的统计涨落，环境条件（如温度、湿度、气压、气流、微震……）的微小波动，测量对象本身的不确定性（如气压、放射性物质单位时间内衰变的粒子数，小球直径或金属丝直径……）等等偶然误差的特点是它的随机性，如果在相同的宏观条件下，对某一物理量进行多次测量，当测量次数足够大时，便可以发现这些测量值呈现出一定的规律性——统计规律性，即它们服从某种概率分布下面我们对一个实际测量的结果进行统计分析（表 0-1-1） ，就可以发现随机误差的特点和规律。

表 0-1-1 中观测总次数 n＝150 次，某测量值的算术平均值为 3.01，共分14 个分区间，每个区间的间隔为 0.01为直观起见，把表中的数据画成频率分布的直方图如（图 0-1-1） ，从图中便可分析归纳出随机误差的以下四个特点表 0-1-1 测值分布值区间 1 2 3 4 5 6 7测值 xi 2.95 2.96 2.97 2.98 2.99 3.00 3.01误差 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0出现次数nI 4 6 6 11 14 20 24频率fi0.027 0.04 0.04 0.073 0.093 0.133 0.16区间 8 9 10 11 12 13 14测值 xI 3.02 3.03 3.04 3.05 3.06 3.07 3.08误差 Δx i 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07出现次数ni 17 12 12 10 8 4 2频率fi0.113 0.08 0.08 0.066 0.058 0.027 0.018误差理论与数据处理基础知识5图 0-1-1 频率分布直方图a）随机误差的有界性。

在某确定的条件下，误差的绝对值不会超过一定的限度表0-1-1 中的 Δx i均不大于 0.07，可见绝对值很大的误差出现的概率近于零，即误差有一定限度b）随机误差的单峰性绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大，最小误差出现的概率最大表 0-1-1 中 03.x的次数为 110 次，其中 01.x的占61 次，而 03.x的仅 40 次可见随机误差的分布成单峰形c）随机误差的对称性绝对值相等的正负误差出现的概率相等表 0-1-1 正误差出现的次数为 65 次，而负误差为 61 次，两者出现的频率分别为 0.427 和 0.407，大致相等d）随机误差的抵偿性在多次、重复测量中，由于绝对值相等的正负误差出现的次数相等，所以全部误差的算术平均值随着测量次数的增加趋于零，即随机误差具有抵偿性抵偿性是随机误差最本质的统计特性，凡是具有相互抵偿特性的误差，原则上都可以按随机误差来处理虽然随机误差产生的原因尚不清楚，但由于它总体上遵守统计规律，因此理论上可以计算出它对测量结果的影响4）误差的表示方法①算术平均误差在一组测量中，用全部测值的随机误差绝对值的算术平均值来表示按定义 nxni1（0-1-6）式中： xi——一组测量中的各个测量， i＝ 1， 2， ……， n（测量的次数） ； x——一组测值的算术平均值， iix——第 i 个测值 xi与平均值 x之偏差（即误差）的绝对值这种表示方法已经考虑到了观测次数 n 对随机误差的影响，但是各次观测中相互间符合的程度不能予以反映。

因为一组测量中，偏差彼此接近的情况与另一组测量中偏差近代物理实验教程6有大、中、小的情况，两者的算术平均误差很可能相等②标准误差 （又称均方根误差）它是观测值与真值偏差的平方和观测次数 n 比值的平方根，按定义ndAxniii1212（0-1-7）式中， A——被测物理量的真值； dii——第 i 个测值 xi与真值 A 之偏差在实际测量中，观测次数 n 总是有限的，真值只能用最可信赖（最佳）值来代替，此时的标准误差按下式计算： 11221  nxnxniiniin（0-1-8）标准误差 对一组测量中的特大或特小误差反映非常敏感，所以，标准误差能够很好地反映出测量的精密度这正是标准误差在工程测量中广泛被采用的原因例 1 有两组观测数据：第一组 2.9、3.1、3.0、2.9、3.1第二组 3.0、2.8、3.0、3.0、3.2求平均值 x、算术平均误差 δ、标准误差 ，并分析其准确度及精密度解 列表计算如下：第 一 组 测 量算术平均值 3.0算术平均误差δ08.51.01.标准误差 n-1 ...22第 二 组 测 量算术平均值 x3.0算术平均误差δ08.520.标准误差 n-1 14...2从计算结果可知：①两组数据的平均值一样，即测量的准确度一样；②两组数据的测量精密度实际上不一样。

因为第一组数据的重现性较好，但此时的算术平均误差 δ 是一样的，显然 δ 未能反映出精密度来标准误差 n-1的计算结果说明第一组测量数据比误差理论与数据处理基础知识7第二组精密度高标准误差不仅仅是一组观测值的函数，而且更重要的是它对一组测量中的大误差及小误差反映比较敏感因此，在试验中广泛用标准误差来表示测量的精密度③极限误差通常定义极限误差的范围为标准误差的 3 倍，即±3 n-1从统计的角度计算得，所测物理量的真值落在±3 n-1范围内的概率为 99.7%，而超出此范围的可能性实际上已经非常小，故把它定义为极限误差5）几个重要概念①精密度（简称精度 precision）它表示测量结果中随机误差大小的程度，即在一定条件下，进行多次、重复测量时，所得测量结果彼。