整理不定积分解题中的若干技巧何志卿1.doc

不定积分解题中的若干技巧何志卿（井冈山大学数学系 江西吉安343009 ）指导老师王丹华【摘 要】：给出了不定积分的三种常用求解方法， 结合实例，讨论了这三种求解方 法在求解不定积分时的若干技巧，对掌握求解不定积分的方法有一定的借鉴意义关键词】：不定积分；求解；技巧1问题的提出数学分析是数学系大学生必修的基础理论课，其任务是使学生掌握逻辑思维方 法和提高学生使用数学手段分析解决问题的能力，为后续的专业课提供数学工具和 解决问题的手段不定积分是积分学的基础，更关键的是，对不定积分理解的深浅、 掌握的好坏，不仅直接关系到数学分析课程本身，而且还会影响相关课程的学习和 掌握，对学习定积分、线积分、面积分、重积分和有限元等知识都有重要意义我们知道，在求一些函数的导数时，无论给定函数的表达式有多么复杂，我们 总可以按照求导法则，按部就班地求出其导数也许正是因为求导过程比较简捷明 了，从而决定了它的逆过程即求不定积分的过程似乎变得复杂而烦琐，没有一个统 一的法则可以遵循但恰恰由于这种复杂性，也预示着不定积分解题中的技巧是灵 活多变的，技巧性也是较强的⑴对不定积分求解方法进行归类处理，不仅使求解 不定积分的方法条理清楚，而且有助于提高对不定积分概念的理解， 激发学习兴趣, 对学好微积分具有一定的参考价值。

为此，本文正是对常规的不定积分求解方法进 行了一些归纳探讨2不定积分求解的归类处理解不定积分的常规方法有三种，即直接积分法（凑微分法）、换元法（第一、 第二换元法）和分部积分法这三种方法规定了不定积分方法的大方向，是进行不 定积分运算的总原则不定积分解题的灵活性和技巧性较强，积分方法种类繁多， 但各种方法都是在这三种常规方法的基础之上进行改进和拓展而得因此，熟练掌 握常规的三种方法是求解不定积分的基础三种方法的详细介绍及其论证可以参考 文献［2已，下文笔者仅对解不定积分的三种常规方法在具体运用中的若干技巧进行 探讨2.1不定积分的直接积分法直接积分法通常也可以称之为凑微分法直接积分法是建立在不定积分基本积X X分公式和不定积分线性运算法则( 7 k f/X) (ki f(x)dX )之上的，求解不定积i _1 i i _1 i分的一般思路是：先将被积函数转化为若干简单函数的和，然后应用不定积分的线 性运算法则和不定积分基本积分公式来求解，这样做就是为了把复杂的不定积分化 为简单的不定积分，把未知的不定积分化为已知的不定积分例题1求下列不定积分：1 xCOS2X 门 1 + x 亠 ‘1 —* dx ； (2) f(- 十 *COS XSi XX 1-X解分析：对于例题1中的(1)(2)，只要对要求的不定积分进行变形，直到可以 简单地利用基本积分公式。

2 . 2dx 二 COS^X 二( 1 A)dxCOS XSi XX SiX X COS X2 2CSC xdx - sec xdx - -cotx-taxx c.(1)'X)dx.1 X(1).管 2X2 cos XSi X X, 2存？ +戸dx2 dx = 2arcsixx c.\ 1 - x2 1 -x2从上面两道例题看，用直接积分法求解不定积分，除了必须牢记基本积分公式，还 要熟练掌握中学数学中的一些常用公式在实际解题中要注意灵活运用基本积分公 式，充分运用化归的思想方法2.2不定积分的换元积分法换元积分法分为第一换元积分法、第二换元积分法，第一换元积分法和第二换 元积分法在数学形式上互成逆反，在实际使用时则以新得的积分比原来的积分更易 “积分”作为选择方式的原则例题2求不定积分：.(1「.x)100dx.1 一 xd )dx「(1 x(1_x)_(1 二x)dx =解分析：对于例题2，理论上可以用直接积分法来求解，但其计算过程显然是 非常繁琐的这里采用换元积分法，计算过程就变得相对简单得多因为(1 +Ux)" ，所以令u =1 + VX得2 J x(1 .x)100dx 二 2 x(1 x)100(1 x) dx=2 [C x 1) 一1](1 、x)100d(「. x)=2 (u _1)u100du1 102 1 101 、=2( u u ) c102 101 二丄(1 .、、x)102 -2(1 . .. x)101 c51 101另外，要记住在结果中把原变量换回去。

1例题3求不定积分: =dxxj1 + x解 分析：对于例题3，若采用第二换元积分法，新得出的积分fcsctdt = -1ncsct+cott+c，比原来的积分显然更易“积出”，而若采用第一换元积分法则过程相对复杂2 石 + x2令 x 二 tant, dx 二 sec tdt, csctxif1 dx = Jx 詔 x2 tant sect1 2 .sec tdt=Jcsct d t= — In c sc十c ot + c=In+ c.1'1 x2解题时应该选择更适合、更简单、更明确的方法，不要拘泥于某种方法2.3不定积分的分部积分法分部积分法适用的情形是被积函数是两类完全不同类型函数的乘积在以往的学习中，笔者总结出了两种类型的分部积分法： “降幕”分部积分法和“升幕”分部积分法解不定积分时，通常以新得的积分比原来的积分更易“积分”作为选择方式的原 则2.3.1 “降幕”分部积分法一般地，对于形如.Pn(x) sinbxdx、 Pn(x) cosbxdx、 Pn (x) eaxdx 的不定积 分(其中Pn(x)是一个关于x的n次多项式)，作如下处理：“令u(x)二Pn(X)，再把 被积函数中出现的指数函数、三角函数选为分部积分公式中的v(x)，进行分部积分， 这样就能使多项式因式的次数逐渐降低。

这里不妨称之为“降幕”分部积分法例题4求下列不定积分：(1) (2xT)cos3xdx ； (2) x2e"dx.解(1)令u=2x-1,v 二cos3x1(2x-1)c o 3xd x= (2x-1)d(—s i i3x)31 2 1 2(2x—1)sir3x sirSxdx： (2x — 1)sir3x c o 3x c.3 3 3 9(2) x2e」dx 二 x2d(-e^)二-x2e」2 xe」dx=x2e」-2xe» 2 e」dx = _(x2 2x 2)e」c.232 “升幕”分部积分法一般地，对于形如 Pn(x) arcsinxdx、 Pn(x) arccosxdx、 Pn(x) (Inx)mdx、Pn(x) (arctanx)mdx的不定积分(其中Pn(x)是一个关于x的n次多项式，m为正整 数)，作如下处理：“令V(x)二Pn(x)，u(x)为被积函数中的另一超越函数因子，进 行分部积分，这样做后，在新的积分.u(x) ・v(x)dx中，v(x)升幕为n，1次的多项式，u(x)就变为无理根式或有理分式这里不妨称之为“升幕”分部积分法 例题5求下列不定积分：(1) (2x—1)l nxdx;2(2) x arcs in xdx解(1) (2x -1)ln xdx 二 In xd(x22 2 1_x)=(x - x) l nx_ (x _x)—dxx2 1 2=(x -x)l n x x x c23x .——dx2x2 x3 x3 1(2) x arcs in xdx 二 arcs in xd( ) arcs inx-3 33 2=^arcsxn+lp1_x2 +_+：(1_x2)3+c3 3 93结论由于积分的灵活性，求解不定积分切不可拘泥于某种解题方法，在任何时候积 分的三个基本方法都是适用的，特别是直接积分法提供了简捷明快的直观方法，譬 如：对于cosx~sinxdx就需要直接积分而不能再用换元法或分步积分法(否则会 sin x —cosx变得更困难)，而例题2中采用换元积分法就使计算过程变得相对简单。

有时候一道 题目可以采用这三种方法中的多种方法求解，有时候一道题目要同时运用多种方法求解譬如:例题6求不定积分：11严=X —I n1 ex) c.方法1中采用了直接积分法1方法2 Edx =Xex x(1 e )e1 1dX「(厂 C)eXdX1 ideX Xd(1 eX)e 1 e=In eX _ l n 1 eX) c=x -I n1 eX) c.方法2中综合采用了直接积分法和换元积分法，这里换元的过程:种非常实用的换元技巧.1 1r d(1 ex) r dex ”是1 e 1 e方法 吉米多维奇.数学分析习题集题解[Z].济南:山东大学出版社,1999, R45-P156. .±d—=d—”de_-|n(e—) c.方法3中采用了分部积分法.不管采用何种方法，运用何种解题技巧，都是希望能更简单、更准确地求出所 要求的不定积分，笔者在此所探讨的技巧，就是要充分体现化繁为简、化未知为已 知的化归思想方法⑷熟练掌握这三种积分方法，带着化繁为简的数学思想灵活地 运用，还能衍生出各类积分方法参考文献：[1] 孙立卓,孙辉.谈不定积分运算中的一些灵活性[J].高等数学研究，2002,(5)4[2] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1992, R76-R87.[4]化归思想方法在求不定积分中的运用 [J].《枣庄师范专科学校学报》1996年03期Indefinite integral problem-solving skills in a number ofHeZhiqi ng(Jin gga ngsha n Uni versity, Departme nt of Mathematics, Jia ngxi, Ji'a n 343009)In structor Wan gDa nhuaAbstract: Gives the in defi nite in tegral to solve the three commo nly used methods, with examples, discuss the solution of these three time in the indefinite integral to solve a number of skills, master the methods of solving the indefinite integral of some sig nifica nee.Key words: indefinite integral;solution; skills1 1 + e — e 1解方法 1 * .厂gdx「丁Ldx-.dx-.厂眉(1 V)。