高中数学-第二章综合直线与圆锥曲线的位置关系知识精讲-文-北师大版选修1-1.doc

高二数学选修1－1 第二章综合 直线与圆锥曲线的位置关系北师大版〔文〕【本讲教育信息】一、教学内容直线与圆锥曲线的位置关系二、教学目标1、熟练的掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法，会求直线与圆锥曲线相交时的弦长、定值、范围等问题2、体会方程的数学思想、转化的数学思想及点差法、判别式法等数学思想方法应用三、知识要点分析1、直线与圆锥曲线的位置关系的判断，〔直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离〕设直线L的方程是：，圆锥曲线的方程是，那么由消去得：…………〔*〕设方程〔*〕的判别式〔1〕假设圆锥曲线是椭圆，假设方程〔*〕有两个不等实根直线L与椭圆相交直线与椭圆有两个不同的公共点假设方程〔*〕有两个相等的实根直线L与椭圆相切直线与椭圆只有一个公共点假设方程〔*〕无实根直线L与椭圆相离直线与椭圆无公共点〔2〕假设圆锥曲线是双曲线假设方程〔*〕有两个不等实根直线L与双曲线相交直线与双曲线有两个不同的公共点假设方程〔*〕有两个相等的实根直线L与双曲线相切直线与双曲线只有一个公共点假设方程〔*〕无实根直线L与双曲线相离直线与双曲线无公共点注：当直线L与渐近线平行，直线L也与双曲线是相交的，此时直线L与双曲线只有一个公共点。

故直线L与双曲线只有一个公共点时，直线L与双曲线可能相交也可能相切〔3〕假设圆锥曲线是抛物线假设方程〔*〕有两个不等实根直线L与抛物线相交直线与抛物线有两个不同的公共点假设方程〔*〕有两个相等的实根直线L与抛物线相切直线与抛物线只有一个公共点假设方程〔*〕无实根直线L与抛物线相离直线与抛物线无公共点注：当直线L与抛物线的对称轴平行时，直线L与抛物线只有一个公共点，此时直线L与抛物线相交，故直线L与抛物线只有一个公共点时可能相交也可能相切2、直线L与圆锥曲线相交时的弦长设直线L与圆锥曲线交于，直线L的斜率为k，那么==【典型例题】考点一：直线与圆锥曲线的位置关系的研究例1：设抛物线的准线与x轴交于点Q，过点Q的直线L与抛物线有公共点，求直线L的斜率k的取值范围思路分析】由抛物线方程可求Q，写出过Q点的直线方程与抛物线方程组成方程组消去y利用求k的范围解：由得Q〔－2，0〕，过Q点的直线L的斜率为k，〔显然k存在，当k不存在时直线L与抛物线无公共点〕那么直线L的方程是，故消去y得：………………〔*〕由直线L与抛物线有公共点知：方程〔*〕有解，即解得，故所求k的范围是［－1，1］考点二：弦长及中点弦的问题的研究例2：过点P〔－1 ，1〕的直线与椭圆交于A，B两点，假设线段AB的中点恰为P点，求AB所在的直线方程及弦长|AB|【思路分析】设A，把A，B两点的坐标代入椭圆方程相减〔点差法〕现结合中点坐标公式求出直线AB的斜率，从而可求直线AB所在直线的方程。

再根据弦长公式求|AB|解：设A，由A，B两点在椭圆上得：，两式相减得：……〔1〕显然，故由〔1〕得：因为P是AB的中点，所以有：…………〔2〕把〔2〕代入〔1〕得：，故AB的直线方程是即x－2y+3=0消去y得：，例3：过椭圆内一定点M〔1，0〕引弦，求弦的中点轨迹方程【思路分析】用“点差法〞及中点坐标公式表示出弦的斜率，然后利用点斜式求出中点轨迹方程解：设弦的两端点，弦中点是P〔x，y〕 两式相减得：……〔*〕由P是P1P2的中点得：代入〔*〕得：即弦的斜率k=，故弦的中点轨迹方程是y－0=整理得：【说明】由于M〔1，0〕在椭圆的内部，过M的直线必与椭圆有两个交点考点三：范围与最值问题例4：假设在抛物线上存在相异两点关于直线L：对称，求m的范围思路分析】由直线L：y=m〔x－2〕知：当m=0时，直线L恰好是抛物线的对称轴显然抛物线上存在两点关于直线L对称当m时，设P是抛物线上关于直线L对称的两点PQ中点是M，设直线PQ的方程是把直线方程代入抛物线方程得到关于y的一元二次方程，由判别式大于零得到m与b的不等关系式，再由M点在直线L上得到关于m，b的等式然后消去b得到关于m的不等式解：当m=0时，直线L：y=0恰好是抛物线的对称轴。

满足题设条件当m时，设P是抛物线上关于直线L对称的两点PQ中点是M，设直线PQ方程是消去x得：…………〔*〕方程〔*〕有两个不等实根 〔m与b的不等关系〕，由M点在直线L上得：………………〔2〕〔m与b的等量关系〕把〔2〕代入〔1〕得：综合上述知：所求m的范围是【本讲涉及的数学思想、方法】本讲主要讲述直线与圆锥曲线的位置关系，直线与圆锥曲线相交是高考的重点在此过程中，充分表达了方程的数学思想、等价转化的数学思想及判别式法、点差法等数学思想方法的应用预习导学案〔第三章：变化率与导数〕〔一〕预习前知1、设一运动的物体从时间变化到时间时，物体所走的路程从变化到，这段时间内物体的平均速度是多少？2、体温的变化的快慢可用平均变化率来描述，当体温由时间变为时，体温由变为，这段时间内体温的平均变化率是多少？〔二〕预习导学反思探究反思探究的任务：变化率与导数1、对于一般的函数y=f〔x〕，当自变量x从x1变到x2时，函数值由变到，那么函数的变化率是 常用 来刻画函数值在区间[上的变化快慢2、瞬时变化率是 。

反思】瞬时变化率主要是刻画函数 3、导数的定义是 反思】根据导数定义：==A，那么= 4、导数的几何意义是 反思】根据导数的几何意义：你能求出函数在x=2处的切线方程吗？求函数在x=1处的切线的斜率模拟试题】〔答题时间：40分钟〕一、选择题： 1、点A〔4，2〕是直线L被椭圆所截得的线段中点，那么L的方程是〔 〕A. x－2y=0 B. x+2y－4=0 C. 2x+3y+4=0 D. x+2y－8=02、双曲线方程，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|=m F1为另一焦点，那么的周长是〔 〕A. 2a+2m B. 4a+2m C. a+m D. 2a+4m3、直线L与抛物线交于A，B两点，且L经过抛物线的焦点F，点A〔8，8〕，那么线段AB的中点到准线的距离是〔 〕A. B. C. D. 254、抛物线上一点到直线y=4x－5的距离最短，那么该点坐标是〔 〕A.〔1，2〕 B.〔0，0〕 C.〔 D.〔1，4〕5、对一切实数k，假设直线L：y=kx+1与椭圆恒有公共点，那么m的取值范围是〔 〕A.［1，+ B.〔0，1〕 C. [1，5〕 D.二、填空题〔每题6分，计30分〕6、直线L：y=2与抛物线的交点坐标是 7、直线L：y=－x+3与双曲线的交点个数是 个8、直线L过椭圆的焦点且垂直于x轴，那么直线被椭圆截得的弦长是 。

9、过抛物线焦点的直线的倾斜角是45，那么此直线方程是 10、假设直线L：y=－x+m与椭圆有两个不同的交点，那么m的范围是 三、计算题：11、直线y=x+b与双曲线相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点，求b的值〔12分〕12、经过双曲线的右焦点F2作倾斜角为30的弦AB，〔1〕求|AB|〔2〕求三角形的周长，〔F1是左焦点〕〔14分〕13、抛物线与直线y=k〔x+1〕相交于A，B两点，〔1〕求证：〔2〕当，求k值〔14分【试题答案】一、选择题：1、〔D〕 解析：设弦的两端点P，那么两式相减得：故直线方程为y－2=－，即：x+2y－8=02、〔B〕 利用双曲线的第一定义3、〔A〕 解析：设AB的中点是P，到准线的距离是|PQ|F〔2，0〕，直线AB的方程是：y=A〔消去x得：，由抛物线的定义知：|PQ|=4、〔C〕 解析：设P〔，P点到直线的距离d=，故当a时，d最小，此时P点坐标为〔5、〔D〕 直线L过定点〔0，1〕，故直线L恒与椭圆有公共点的充要条件是定点〔0，1〕在椭圆的内部或椭圆上，故答案选〔D〕二、填空题6、〔1，2〕7、1 解析：因直线与双曲线的渐近线平行。

8、 解析：椭圆的右焦点F〔2，0〕，过右焦点F且垂直于x轴的直线方程是x=2，P，Q是直线x=2与椭圆的两个交点9、y=x－110、〔〕 解析：三、计算题：11、解：设A〔，由以AB为直径的圆过原点知：………………〔*〕…………〔1〕，…〔2〕把〔1〕〔2〕代入〔*〕得：12、解：〔1〕由双曲线的方程知：AB的直线方程为：消去y得：，〔2〕由于，故A，B两点在双曲线的两支上，设有的周长=|AB|+|=3+13、解：〔1〕如图：由方程组，设A〔，由A，B两点在抛物线上得：〔2〕设直线AB与x轴交于N，显然k不等于0令y=0，那么x=－1，即N〔－1，0〕。