小升初8道经典数学行程问题和解析.doc
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小升初8道经典数学行程问题及解析以下这八道题目每道都非常非常经典.每一道题目既简单有趣又颇具启发性1.甲、乙两人分别从相距 100 米的 A 、B 两地出发.相向而行.其中甲的速度是 2 米每秒.乙的速度是 3 米每秒一只狗从 A 地出发.先以 6 米每秒的速度奔向乙.碰到乙后再掉头冲向甲.碰到甲之后再跑向乙.如此反复.直到甲、乙两人相遇问在此过程中狗一共跑了多少米？ 这可以说是最经典的行程问题了不用分析小狗具体跑过哪些路程.只需要注意到甲、乙两人从出发到相遇需要 20 秒.在这 20 秒的时间里小狗一直在跑.因此它跑过的路程就是 120 米2.假设你站在甲、乙两地之间的某个位置.想乘坐出租车到乙地去你看见一辆空车远远地从甲地驶来.而此时整条路上并没有别人与你争抢空车我们假定车的行驶速度和人的步行速度都是固定不变的.并且车速大于人速为了更快地到达目的地.你应该迎着车走过去.还是顺着车的方向往前走一点？ 在各种人多的场合下提出这个问题.此时大家的观点往往会立即分为鲜明的两派.并且各有各的道理有人说.由于车速大于人速.我应该尽可能早地上车.充分利用汽车的速度优势.因此应该迎着空车走上去.提前与车相遇嘛。
另一派人则说.为了尽早到达目的地.我应该充分利用时间.马不停蹄地赶往目的地因此.我应该自己先朝目的地走一段路.再让出租车载我走完剩下的路程3.某人上午八点从山脚出发.沿山路步行上山.晚上八点到达山顶不过.他并不是匀速前进的.有时慢.有时快.有时甚至会停下来第二天.他早晨八点从山顶出发.沿着原路下山.途中也是有时快有时慢.最终在晚上八点到达山脚试着说明：此人一定在这两天的某个相同的时刻经过了山路上的同一个点 ４.船在静水中往返 A 、 B 两地和在流水中往返 A 、 B 两地相比.哪种情况下更快？ ５.甲、乙、丙三人百米赛跑.每次都是甲胜乙 10 米.乙胜丙 10 米则甲胜丙多少米？ ６.哥哥弟弟百米赛跑.哥哥赢了弟弟 1 米第二次.哥哥在起跑线处退后 1 米与弟弟比赛.那么谁会获胜？ ７.如果你上山的速度是 2 米每秒.下山的速度是 6 米每秒〔假设上山和下山走的是同一条山路那么.你全程的平均速度是多少？ ８.你需要从机场的一号航站楼走到二号航站楼路途分为两段.一段是平地.一段是自动传送带假设你的步行速度是一定的.因而在传送带上步行的实际速度就是你在平地上的速度加上传送带的速度如果在整个过程中.你必须花两秒钟的时间停下来做一件事情〔比如蹲下来系鞋带.那么为了更快到达目的地.你应该把这两秒钟的时间花在哪里更好？ 1. 说到这个经典问题.故事可就多了。
下面引用某个经典的数学家八卦帖子： John von Neumann 曾被问起一个中国小学生都很熟的问题：两个人相向而行.中间一只狗跑来跑去.问两个人相遇后狗走了多少路诀窍无非是先求出相遇的时间再乘以狗的速度 Neumann 当然瞬间给出了答案提问的人失望地说你以前一定听说过这个诀窍吧 Neumann 惊讶道："什么诀窍？我就是把狗每次跑的都算出来.然后计算无穷级数……"2. 其实答案出人意料的简单.两种方案花费的时间显然是一样的只要站在出租车的角度上想一想.问题就变得很显然了：不管人在哪儿上车.出租车反正都要驶完甲地到乙地的全部路程.因此你到达乙地的时间总等于出租车驶完全程的时间.加上途中接人上车可能耽误的时间从省事儿的角度来讲.站在原地不动是最好的方案！ 不过不少人都找到了这个题的一个 bug ：在某些极端情况下.顺着车的方向往前走可能会更好一些.因为你或许会直接走到终点.而此时出租车根本还没追上你！3. 这个题目也是经典中的经典了把这个人两天的行程重叠到一天去.换句话说想像有一个人从山脚走到了山顶.同一天还有另一个人从山顶走到了山脚这两个人一定会在途中的某个地点相遇这就说明了.这个人在两天的同一时刻都经过了这里。
4. 这是一个经典问题了答案是.船在静水中更快一些注意船在顺水中的实际速度与在逆水中的实际速度的平均值就是它的静水速度.但由前一个问题的结论.实际的总平均速度会小于这个平均值因此.船在流水中往返需要的总时间更久考虑一种极端情况可以让问题的答案变得异常显然.颇有一种荒谬的喜剧效果假设船刚开始在上游如果水速等于船速的话.它将以原速度的两倍飞速到达折返点但它永远也回不来了…… 5. 答案是 19 米"乙胜丙 10 米"的意思就是.等乙到了终点处时.丙只到了 90 米处"甲胜乙 10 米"的意思就是.甲到了终点处时.乙只到了 90 米处.而此时丙应该还在 81 米处所以甲胜了丙 19 米6. 答案是.哥哥还是获胜了哥哥跑 100 米需要的时间等于弟弟跑 99 米需要的时间第二次.哥哥在 -1 米处起跑.弟弟在 0 米处起跑.两人将在第 99 米处追平在剩下的 1 米里.哥哥超过了弟弟并获得胜利7. 这是小学行程问题中最容易错的题之一.是小孩子们死活也搞不明白的问题答案不是 4 米每秒.而是 3 米每秒不妨假设全程是 S 米.那么上山的时间就是 S/2 .下山的时间就是 S/6 .往返的总路程为 2S .往返的总时间为 S/2 + S/6 .因而全程的平均速度为 2S / = 3 。
其实.我们很容易看出.如果前一半路程的速度为 a .后一半路程的速度为 b .那么总的平均速度应该小于 / 2 这是因为.你会把更多的时间花在速度慢的那一半路程上.从而把平均速度拖慢了事实上.总的平均速度应该是 a 和 b 的调和平均数.即 2 / <1/a + 1/b> .很容易证明调和平均数总是小于等于算术平均数的 8. 很多人可能会认为.两种方案是一样的吧？然而.真正的答案却是.把这两秒花在传送带上会更快一些这是因为.传送带能给你提供一些额外的速度.因而你会希望在传送带上停留更久的时间.更充分地利用传送带的好处因此.如果你必须停下来一会儿的话.你应该在传送带上多停一会儿 小学奥数知识清单.总结很全面！小学奥数号 lopolovelogo功能介绍 "小学奥数"是由全国十佳金牌奥数教练慧思老师团队运营,专业的奥数团队深得家长欢迎 现已开通奥数/作文/阅读网络直播课、奥数/语文天天练、免费精品资料、语数英专题文章、热门教育文章分享等专栏；小学奥数可以分为计算、计数、数论、几何、应用题、行程、组合七大板块.其中必须掌握的三十六个知识点.内容从和差倍问题、年龄问题到循环小数.包含了小学奥数七个模块的知识。
以下是小学奥数知识清单：2、年龄问题的三个基本特征：①两个人的年龄差是不变的；②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；③两个人的年龄的倍数是发生变化的；3、归一问题 基本特点：问题中有一个不变的量.一般是那个"单一量".题目一般用"照这样的速度"……等词语来表示 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量4.植树问题5、鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题.就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路：①假设.即假设某种现象存在〔甲和乙一样或者乙和甲一样：②假设后.发生了和题目条件不同的差.找出这个差是多少；③每个事物造成的差是固定的.从而找出出现这个差的原因；④再根据这两个差作适当的调整.消去出现的差 基本公式：①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝〔兔脚数×总头数－总脚数÷〔兔脚数－鸡脚数②把所有兔子假设成鸡：兔数＝〔总脚数一鸡脚数×总头数÷〔兔脚数一鸡脚数 关键问题：找出总量的差与单位量的差6、盈亏问题 基本概念：一定量的对象.按照某种标准分组.产生一种结果：按照另一种标准分组.又产生一种结果.由于分组的标准不同.造成结果的差异.由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量． 基本思路：先将两种分配方案进行比较.分析由于标准的差异造成结果的变化.根据这个关系求出参加分配的总份数.然后根据题意求出对象的总量． 基本题型：①一次有余数.另一次不足； 基本公式：总份数＝〔余数＋不足数÷两次每份数的差②当两次都有余数； 基本公式：总份数＝〔较大余数一较小余数÷两次每份数的差③当两次都不足； 基本公式：总份数＝〔较大不足数一较小不足数÷两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：确定对象总量和总的组数第二部分〔知识点7-11 7、牛吃草问题 基本思路：假设每头牛吃草的速度为"1"份.根据两次不同的吃法.求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因.即可确定草的生长速度和总草量 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的； 关键问题：确定两个不变的量 基本公式： 生长量=〔较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数÷〔长时间-短时间； 总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量； 8、周期循环与数表规律 周期现象：事物在运动变化的过程中.某些特征有规律循环出现 周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期 关键问题：确定循环周期 闰年：一年有366天；①年份能被4整除；②如果年份能被100整除.则年份必须能被400整除； 平年：一年有365天①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除.但不能被400整除；9、平均数 基本公式：①平均数=总数量÷总份数 总数量=平均数×总份数 总份数=总数量÷平均数②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数 基本算法：①求出总数量以及总份数.利用基本公式①进行计算.②基准数法：根据给出的数之间的关系.确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准.求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和.就是所求的平均数.具体关系见基本公式②。
10、抽屉原理 抽屉原则一：如果把〔n+1个物体放在n个抽屉里.那么必有一个抽屉中至少放有2个物体 例：把4个物体放在3个抽屉里.也就是把4分解成三个整数的和.那么就有以下四种情况：①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1 观察上面四种放物体的方式.我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体.也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体 抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里.其中n>m.那么必有一个抽屉至少有:①k=[n/m ]+1个物体：当n不能被m整除时②k=n/m个物体：当n能被m整除时 理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数 例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2； 关键问题：构造物体和抽屉也就是找到代表物体和抽屉的量.而后依据抽屉原则进行运算 11、定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号.这个新的运算符号包含有多种基本〔混合运算 基本思路：严格按照新定义的运算规则.把已知的数代入.转化为加减乘除的运算.然后按照基本运算过程、规律进行运算 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义 注意事项：①新的运算不一定符合运算规律.特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用第三部分〔知识点12-1612、数列求和 等差数列：在一列数中.任意相邻两个数的差是一定的.这样的一列数.就叫做等差数列 基本概念：首项：等差数列的第一个数.一般用a1表示； 项数：等差数列的所有数的个数.一般用n表示； 公差：数列中任意相邻两个数的差.一般用d。
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