近世代数课件4.3.主理想环.ppt

§ 3. 主理想环主理想环•3.1 定义定义•3.2 两个有趣的引理两个有趣的引理•3.3主要定理主要定理 要知道一个整环是不是一个唯一分解铪不是一件容易的事，因为要测验唯一分解定义里的条件（ⅰ），（ⅱ）或是（Ⅳ），2，定理2里的条件（ⅰ），（ⅲ）能否被满足，一般是非常困难的以下我们要认识几种特殊的唯一分解环，使得我们在解决以上问题时可以有一点帮助3.1 定义定义第一种是主理想环定义定义 一个环 叫做一个主理想环主理想环，假如 的没个理想都是主理想3.2 两个有趣的引理两个有趣的引理 本节证明, 一个主理想环一定是一个唯一分解环为证明这一点，我们需要两个引理这两个引理本身也是很重要例例1 环R的理想升链:的并 是理想例例2 在整环中, (2) 是相伴元 (1) 引理引理 1 假定 是一个主理想环，若在序列 中每一个元是前面一个真因子，那么这个序列一定是一个有限序列, 也就是说, 一定存在 , 使得 不是 的真因子。

证明证明 构造主理想 由于 是 的因子，显然 我们看这些理想的并集 , 是R的一个理想(例1)由于R是主理想环， 一定是一个主理想： 这个d属于 ，所以也属于某一个 我们将证明，这个 一定是我们要求的元首先, = 可以得到于是 其次,已知条件 这样 和 是相伴元 引理引理 2 假定R是一个主理想环，那么R的一个素元 生成一个最大理想证明证明 假定 是满足条件的理想:由于R是主理想环，我们有因而 是 的因子但 是素元，所以 不是 的相伴元，就是单位 如果 是 的相伴元, 如果 是单位, 证完3.3主要定理主要定理现在我们证明定理定理 一个主理想环R是一个唯一分解环证明证明 我们使用第二阶的定理2 （ⅰ）R的每一个既不是零也不是单位的元 都有一个分解 (反证法) 我们看R的一个不是零也不是单位的元 , 假定 不能写成有限个素元的乘积，那么 不会是一 个素元，那么b 和c都是 的真因子。

的这两个真因子之中至少有一 不能写成素元的乘积，不然的话 就会是素元的乘积，与假定冲突我们得到了结论：假如一个元 没有分解，那么 一定有一个真因子 , 也没有分解这样，在元 没有分解的假定之下，我们会得到一个无穷序列在这个序列里每一个元前面一个真因子, 与引理1矛盾, 这是不可能的，所以 一定有分解ⅲ）R的一个素元 若能整除 ，那么 能整除 或 假定R的素元 能够整除 , 那么这就是说在剩余类环 里， 依照引理2， 是最大理想，因此依照第三章，9，定理， 是一个域因为域没有零因子，上边的式子告诉我们这就是说 这样 证完•作业•P138: 1,2。