考研高数讲义 新高等数学下册辅导讲义——第十二章.doc

第十二章 无穷级数0第十二章 无穷级数【本章网络结构图】 p定 义性 质 由 定 义 判 断由 收 敛 的 必 要 条 件 判 断 级 数 的 发 散 性收 敛 的 充 要 条 件常 比 较 审 敛 法数 比 较 审 敛 法 的 极 限 形 式正 项 级 数项 比 值 审 敛 法判 断 敛 散 性级 利 用 收 敛 判 别 法 则 根 值 审 敛 法数 常 用 级 数 ： 级 数 和 几 何 级 数交 错 级 数 （ 莱 布 尼 茨 判 别 法 ）变 号 级 数 一 般 级 数 （ 绝 对 收 敛 和 条 件 收 敛 ）无 利 用 级 数 的 若 干 性 质 （ 添 项 减 项 ， 加 括 号 ， 去 括 号 等 等 ）穷级 求数[,]0l和 —转 化 为 幂 级 数 求 和 或 者 利 用 定 义幂 级 数 收 敛 性 的 特 点求 幂 级 数 的 收 敛 域 的 方 法幂 级 数 幂 级 数 和 函 数 的 性 质幂 级 数 的 求 和 直 接 法函 数 展 开 成 幂 级 数 间 接 法求 定 义 在 上 的 函 数 的 傅 里 叶 级 数求 定 义 在 上 函 数 的 正 弦 或 者 余 弦 级 数傅 里 叶 级 数 已 知 函 数 的 表 达 式 求 它 的 傅 里 叶 级 数 和 常 数 项 级 数 求 和狄 利 克 来 收 敛 定 理 第十二章 无穷级数0第一节 常数项级数的概念和性质一、常数项级数的收敛与发散给定一个数列 将各项依次相加, 简记为 ,,321nu，即 ，称该式为无穷级数，1nu nn321其中第 项 叫做级数的一般项, 级数的前 项和n称为级数的部分和。

若nnk uuS321存在，则称无穷级数收敛，并称 为级数的和 , 记作nlimS；若 不存在，则称无穷级数发散1nuSnSli当级数收敛时, 称差值 为级数的余21nnnuSr项0limnr【例 1】 （93 三）级数 的和为 .12)3(lnn【答案】 l32结论：等比（几何）级数 ：收敛 当 时0naq|1q发散 当 时|二、收敛级数的和若 收敛，则其和定义为 1nu 11limlinnknSuS三、无穷级数的基本性质学习笔记： 第十二章 无穷级数1（1）若级数 收敛于 ，即 ，则各项乘以常数 所得1nuS1nuc级数 也收敛，其和为 1ncc注：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变（2）设有两个收敛级数 ， ，则级数1nuS1nv也收敛, 其和为 )(1nnvu 注：该性质表明收敛级数可逐项相加或相减相关结论：（1）若两级数中一个收敛一个发散,则 必发1()nuv散。

2）若二级数都发散， 不一定发散1()nuv【例】取 ， ，而 nnu2)1(2)v0n（3）在级数前面加上或去掉有限项，不会影响级数的敛散性4）收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和推论：若加括弧后的级数发散，则原级数必发散注：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛例】 ，但 发散0)1( 1【例 2】判断级数的敛散性：  141312【解析与答案】 11122nSn学习笔记： 第十二章 无穷级数2 nn1321 1121 nSlim不存在故原级数发散四、级数收敛的必要条件必要条件：若 收敛，则 1nulim0nu逆否命题：若级数的一般项不趋于 0，则级数必发散例】 ，其一般项为 1)(5432n，当 时， 不趋于 0，因此这个级数发散1)(nun u注： 并非级数收敛的充分条件lim0n【例】调和级数 ，虽然 nn1321，但是此级数发散。

事实上，假设调和级数收敛0liliun于 ，则 ，S)(m2nS但 ，矛盾！所以213112 nn 假设不真例 3】判断下列级数的敛散性，若收敛求其和：（1）1ln（2）1cosn【答案】 （1）发散；（2）发散五、两个重要级数：几何级数与 p级数的敛散性学习笔记： 第十二章 无穷级数3（1）几何级数： ，当 时收敛；当 时发散.1nr|1|r（2） 级数(或对数 级数)： ，当 时pp1pn2lnp或 收敛，当 时发散1【重点小结】1、常数项级数收敛和发散的定义2、常数项级数敛散的性质3、常数项级数收敛的必要条件4、常用的两个常数项级数第二节 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数：若，则称0nu为正项级1n数收敛定理 1：正项级数 收1nu敛等价于部分和序列 nS有界),21(收敛定理 2 ：(比较审敛法)设 ，1nu是两个正项1nv级数, 且存在，对一切ZN，有n（常数 vku 第十二章 无穷级数4),则有0k（1）若强级数 收敛，则弱级数 也收敛；1nv1nu（2）若弱级数 发散，则强级数 也发散。

1nu1nv调和级数与 级数是两个常用的比较级数p学习笔记：具体的：若存在，对一切ZN，n，则u1)(发散；1n)1()2(pu，则 收敛1n【例 1】 判断下列级数的敛散性（1）nn53（2）1na（0, ） （3） 1576nn 第十二章 无穷级数5（4） 12n（5） 12ln【答案】 （1）收敛；（2）当 10a时，发散；当 1a时，收敛；（3）收敛； （4）发散； （5）收敛【例 2】 （97 一）设 ， ，证明12a1()1,2)nna(Ⅰ) 存在；（Ⅱ）级数 收敛.limn1()n【解析】 （1）用单调有界必收敛证明；（2）用比较审敛法证明收敛定理 3： (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数 ，1nu，满足 ，则有:1nvlvunlim（1）当 时, 两个级数同时收敛或发散；l0（2）当 时，且 收敛时， 也收敛；1nv1nu（3）当 时，且 发散时， 也发散。

l1n1n【例 3】判断下列级数的敛散性学习笔记：（1）  n134233（2） 2ln1p（其 第十二章 无穷级数6中常数 0p）【答案】 （1）收敛；（2）发散【例 4】 （04 一）设 为正项级数，下列结论中正确的是1na（A）若 则级数 收敛.lim0,n1n（B）若存在非零常数 使得 则级数 发散.,li.na1na（C）若级数 收敛，则1na2li0.n（D）若级数 发散，则存在非零常数 ，使得1n ,lim.na答案：（B）收敛定理 4：（比值审敛法）设 为正项级数，且 ，1nunu1li则有：（1）当 时，级数收敛；（2）当 或 时，级数发散（3）当 时,级数可能收敛也可能发散.【例】 级数 ： ，但p1np 1limli)(1pnnu级 数 发 散 级 数 收 敛 ；,【例 5】判断级数的敛散性学习笔记：（1） 23n 第十二章 无穷级数7（2） 10!n【答案】 （1）收敛；（2）发散【例 6】 （04 三）设有下列命题：①若 收敛，则 收敛.21()n1nu②若 收敛，则 收敛.1nu10n③若 ，则 发散.limn1nu④若 收敛，则 ， 都收敛.1()nv1n1nv则以上命题中正确的是（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④【答案】 （B）【例7】（88三）讨论级数 的敛散性.1)!(n【答案】收敛.收敛定理 5：（根值审敛法）设 为正项级数, 且 ，1nunulim则有：（1）当 时，级数收敛；（2）当 时，级数发散；（3）当 时,级数可能收敛也可能发散。

【例】 级数 ：p1np，pnu1)(nn，学习笔记： 第十二章 无穷级数8但 级 数 发 散 级 数 收 敛 ；,1p【例 8】判断级数的敛散性（1） （2）34nn112)(3nn【答案】 （1）收敛；（2）发散二 、交错级数及其审敛法 设 ，则各项符号正负相间的级数,21,0nu称为交错级数 u321)(收敛定理 6 ：(莱布尼茨判别法)若交错级数满足条件：（1） ；1,2)n（2） ，lim0u则级数 收敛，且其和 ，其余项满足 1)(nn1uS1nur【例 9】用莱布尼茨判别法判别级数的敛散性： 21l)(n【解析与答案】讨论 nul的极限和单调性，亦即讨论函数xfln，当 时的极限，和 xf在  2上的单调性，由此可知级数是收敛的例10】 （95一）设 nun1l)(，则级数（A） 与1nu都收敛. 12n（B） 与1nu都发散.12n（C） 收敛1nu而 发散. 12n（D） 发散1nu而 收敛.12n学习笔记： 第十二章 无穷级数9【答案】 （C）三、绝对收敛与条件收敛 定义：对任意项级数 ，。