最速降线问题(数学模型概述)PPT精品文档.ppt

Ch1.数学模型概述 § §数学模型分类数学模型分类1 1）依数学模型功能分为：）依数学模型功能分为：①①定性的定性的②②定量的定量的2 2）依数学模型目的分为：）依数学模型目的分为：①①理论研究的理论研究的②②预知结果预知结果的的 ③③优化的优化的. . 3 3）依数学模型变量关系分为：）依数学模型变量关系分为： ①①代数的代数的②②几何的几何的 ③③积分的积分的4 4）依数学模型结构分为：）依数学模型结构分为： ①①分析的分析的②②非分析的非分析的 ③③图论图论5 5）依数学模型研究对象特征分为：）依数学模型研究对象特征分为： ①①确定的与随机的确定的与随机的②②静态的与动态的静态的与动态的 ③③连续的与离散的连续的与离散的④④线性的与非线性的线性的与非线性的1 16 6）依数学模型所用方法分为：）依数学模型所用方法分为： ①①初等模型初等模型 ②② DE DE模型模型 ③③优化模型优化模型 ④④统计模统计模 ⑤⑤控制论模型控制论模型⑥⑥逻辑模型逻辑模型⑦⑦扩散模型扩散模型7 7）依数学模型的领域分为：）依数学模型的领域分为： ①①人口模型人口模型②②交通模型交通模型③③生态模型生态模型④④生理模型生理模型 ⑤⑤经济模型经济模型⑥⑥社会模型社会模型⑦⑦工程系统模型以及电力模型工程系统模型以及电力模型8 8）依数学模型对象的了解程度分为：）依数学模型对象的了解程度分为： ①①白箱模型白箱模型 ②②灰箱模型灰箱模型 ③③黑箱模型黑箱模型. . §1-4 §1-4建模步骤和原则建模步骤和原则1 1）模型准备：了解问题的实际背景，明确建模的目的。

模型准备：了解问题的实际背景，明确建模的目的2 2）模型假设：由实际对象的特性和建模的目的，在掌握）模型假设：由实际对象的特性和建模的目的，在掌握必要资料基础上对问题进行必要的简化，并用精确的语必要资料基础上对问题进行必要的简化，并用精确的语言作出假设言作出假设 (关键一步关键一步) )2 2•3 3）模型建立）模型建立: :据假设据假设 ，用适当数学工具刻划变量间的关，用适当数学工具刻划变量间的关系，建立数学结构（公式，图形，表格）系，建立数学结构（公式，图形，表格）•4 4）模型求解）模型求解: :对模型求解，包括解方程，图解，逻辑推对模型求解，包括解方程，图解，逻辑推理，定理证明，特点性分析等（设计技术，计算技巧）理，定理证明，特点性分析等（设计技术，计算技巧）•5 5）模型分析）模型分析: :对求解结果在数学上进行预测，分析各变对求解结果在数学上进行预测，分析各变量关系或特点性态，或根据结果作预测或得出最优决策量关系或特点性态，或根据结果作预测或得出最优决策与控制方案与控制方案. .•6 6）模型检验）模型检验: :用实际现象，根据检验模型的合理性，通用实际现象，根据检验模型的合理性，通用性（正确性）若与结果不符，要重新假设建模用性（正确性）若与结果不符，要重新假设建模. .•7 7）模型应用）模型应用: :若拓展结果正确，满足问题的要求，便可若拓展结果正确，满足问题的要求，便可以利用此模型解决实际问题以利用此模型解决实际问题. .•注注 可以可以NewtonNewton万有引力模型为例，叙述建模的七个步万有引力模型为例，叙述建模的七个步骤骤. .3 3 Ch2建模的常用方法 （（1 1）理论分析法（）理论分析法（2 2）模拟方法（）模拟方法（3 3）类比分析法）类比分析法 （（4 4）数据分析法（）数据分析法（5 5）人工假设法（）人工假设法（6 6）物理系统建模法）物理系统建模法请作习题二，请作习题二，2.52.5 MP MO MS MP MO MS MAP MAN MAP MAN，，MT MFMT MF MM准备准备MM假设假设分析分析 检验检验MM建立建立MM求解求解M应用4 4 Ch3.初等模型•简单方法建立问题的数学模型：简单方法建立问题的数学模型：•1.代数法•此方法涉及到以下四个例题此方法涉及到以下四个例题: :•1 1）例）例3.1.1 3.1.1 生小兔问题（生小兔问题（FabonacciFabonacci问题）问题）•2 2）例）例3.1.2 3.1.2 椅子问题（战略核武器杀伤力问题）椅子问题（战略核武器杀伤力问题）•3 3）例）例3.1.3 3.1.3 雨中行走问题雨中行走问题•4 4）例）例3.1.4 3.1.4 动物形体问题动物形体问题•2.图解法•1 1）例）例3.1 3.1 实物交换问题实物交换问题•2 2）例）例3.2.2 3.2.2 导弹核武器危机导弹核武器危机5 5•3.量纲分析法•1 1）单摆运动）单摆运动•2 2）开普勒第三定律）开普勒第三定律•4.初等概率法•1 1）例）例3.4.1 Buffon3.4.1 Buffon问题（投针问题）问题（投针问题）•2 2）例）例3.4.2 3.4.2 下赌注问题下赌注问题•3 3）例）例3.4.3 Banach3.4.3 Banach火柴盒问题火柴盒问题•4 4）例）例3.4.43.4.4生男生女问题生男生女问题•5 5）例）例3.4.53.4.5供电问题供电问题 •另外还有另外还有 递推法递推法 人狗鸡米渡河问题人狗鸡米渡河问题• 夫妻过河问题夫妻过河问题• 图形法图形法 市场平衡问题市场平衡问题奇偶校验法（铺方砖法奇偶校验法（铺方砖法) )及优化决策问题及优化决策问题- -工厂选址问题工厂选址问题 6 6•作业p37,2,3,9•习题3 3.1；3.4；3.12；3.16•第一次作业第一次作业•1. 3.12 1. 3.12 候车问题候车问题 公共汽车每隔五分钟有辆公共汽车公共汽车每隔五分钟有辆公共汽车通过，乘客到车站的任一时刻是等可能的，试分别用几通过，乘客到车站的任一时刻是等可能的，试分别用几何概型，均匀分布概型求乘客候车不超过三分钟的概率何概型，均匀分布概型求乘客候车不超过三分钟的概率（假设公共汽车一来，乘客就上车）（假设公共汽车一来，乘客就上车）•2. 3.16 2. 3.16 已知某项提案有已知某项提案有48%48%的选民支持，并假设职工的选民支持，并假设职工代表确实代表确实 能解决选民的观点。

试问由能解决选民的观点试问由435435名代表组成的名代表组成的职代会会通过这项提案的可能性有多大职代会会通过这项提案的可能性有多大7 7 Ch4. DE模型（ Ch5. 差分方程模型Ch6. 工程系统中的模型） 在化工、仪表、通讯、交通、生物、经济、医学、在化工、仪表、通讯、交通、生物、经济、医学、工程及社会等领域中，有大量的系统是工程及社会等领域中，有大量的系统是DEDE模型建模的方法可归纳为：模的方法可归纳为：（（1 1）由规律列方程：如数学定律、物理、力学、电学、）由规律列方程：如数学定律、物理、力学、电学、光学、生物学、药学、化学定律光学、生物学、药学、化学定律（（2 2）由微分法列方程：如微元法）由微分法列方程：如微元法（（3 3）模拟近似法：有些象生物，经济学科的实际问题，）模拟近似法：有些象生物，经济学科的实际问题，规律性不清楚，建模时在不同的假设下去近似模拟规律性不清楚，建模时在不同的假设下去近似模拟实际现象，得到实际现象，得到DEDE求出解来与实际对比求出解来与实际对比看其能否刻划某些实际现象否刻划某些实际现象8 8本章研究本章研究DEDE模型的建模方法：模型的建模方法：涉及：几何；力学；电学；化学；热学；扩散；医学；人涉及：几何；力学；电学；化学；热学；扩散；医学；人口；体育；社会经济等。

口；体育；社会经济等 §4-1几何问题建立几何问题的数学模型方法：建立几何问题的数学模型方法：1 1）找出反映该问题的几何关系）找出反映该问题的几何关系2 2）把几何量的表达式代入该关系式）把几何量的表达式代入该关系式3 3）得到）得到DEDE即几何问题的数学模型即几何问题的数学模型 模型三、模型三、 最速降线问题最速降线问题1.1.历史背景历史背景历史背景历史背景：：16961696年，瑞士数学家年，瑞士数学家Johann BernoulliJohann Bernoulli在在《教师报》上发表了一封公开信信的内容是：请世界《教师报》上发表了一封公开信信的内容是：请世界上的数学家解决一个难题上的数学家解决一个难题- “- “最速降线问题最速降线问题” ” 此问题的提此问题的提出一时轰动了欧洲引起了数学家的极大兴趣之后出一时轰动了欧洲引起了数学家的极大兴趣之后此问题由此问题由NewtonNewton，，LebenizLebeniz，，BernoulliBernoulli兄弟所解决，从而兄弟所解决，从而产生了一门新的学科产生了一门新的学科- -变分学。

变分学9 9•2.2.问题问题问题问题：确定一条连接二定点：确定一条连接二定点A A，，B B的曲线使质点的曲线使质点在这曲线上用最短的时间由在这曲线上用最短的时间由A A滑向滑向B B点点( (介质的摩擦力介质的摩擦力与空气阻力忽略不计）与空气阻力忽略不计） 有人指出：连结有人指出：连结A A，，B B的直线段即为速度线回答是的直线段即为速度线回答是否定的在否定的在16301630年年NewtonNewton实验：在铅垂平面内，取实验：在铅垂平面内，取两个球，其中一个沿圆弧从两个球，其中一个沿圆弧从A A滑到滑到B B先到达B B）） 另一个沿直线从另一个沿直线从A A滑到滑到B B晚到达B B）） Galilei Galilei认为速降线是圆弧线（错了）认为速降线是圆弧线（错了）•3.3.建模建模建模建模 3.1 3.1 模型准备模型准备 选取直角坐标系选取直角坐标系 参看下页图参看下页图1010 3.2 3.2 模型假设模型假设 设想质点由设想质点由A A滑到滑到B B的路径，的路径， 使所需时间为最短（像光学一样）使所需时间为最短（像光学一样） 依光学原理（史奈尔折射定律）得依光学原理（史奈尔折射定律）得 （常数）（（常数）（1 1）） 3.3 3.3 模型建立。

模型建立 据能量守恒定律，质点在一定高度处的速度，完全由其据能量守恒定律，质点在一定高度处的速度，完全由其到达该高度处所损失的势能确定，而与路径无关该质到达该高度处所损失的势能确定，而与路径无关该质点质量为点质量为mm，重力加速度为，重力加速度为g g，质点由，质点由A A滑到点滑到点 的的速度为速度为v. v.则则 （（2 2）） 由几何关系，有由几何关系，有 （（3 3））1111 由（由（1 1）（）（2 2 ）（）（3 3）） ，得：，得： （（4 4）） 此为速降线的数学模型的此为速降线的数学模型的DE.DE. 3.4 3.4 模型求解模型求解 把（把（4 4）变为）变为• （（5 5）） 则则 1212 所以所以 积分得：积分得： 因为曲线过（因为曲线过（0 0，，0 0），所以当），所以当t=0t=0时，有时，有x=y=0.x=y=0.于是于是 =0. =0.所以所以 （（6 6）） 而而 （（7 7）） 若令若令 则则(6)(7)(6)(7)变为变为 （（8 8））1313 此为旋轮线（圆滚线，外摆线）的参数方程此为旋轮线（圆滚线，外摆线）的参数方程. .（外摆线为齿轮线）（外摆线为齿轮线） 3.5 3.5 模型分析模型分析 3.6 3.6 模型检验模型检验 注注注注1 1 只要适当选只要适当选a a，可使摆线过，可使摆线过B B点。

点 3.7 3.7 模型应用模型应用 注注注注2 2 速降线的深远意义：速降线的深远意义： 1 1，由此产生了变分法，由此产生了变分法————近代分析的一重要分支；近代分析的一重要分支； 2 2，揭示了物理世界的心脏中包含着简单性，揭示了物理世界的心脏中包含着简单性. . 注注注注3 3 应用变分法可同样得到模型（应用变分法可同样得到模型（4 4））. . ①①设设s s为为 的弧长，则有的弧长，则有 ②②又由弧微分有又由弧微分有 所以所以 ③③整个下降时间是整个下降时间是 的积分的积分. .故，需取最小值的积分故，需取最小值的积分（x,y）1414是是 ：： （（9 9））此为求泛函此为求泛函 的极小值问题。

的极小值问题 令令由变分法知，（由变分法知，（9 9）的解所满足的欧拉方程为）的解所满足的欧拉方程为 即即 此即为（此即为（4 4））. . ④1515 作业作业: : 习题四习题四4.14.1 1. 1.如图所示，沿如图所示，沿 轴及直线轴及直线 是河的两岸，河水以是河的两岸，河水以 匀速匀速 朝朝 轴方向流动，轴方向流动， 小船从小船从 处入河相对处入河相对 于河水的速度于河水的速度 直接朝原点行驶直接朝原点行驶. . 求船行路线，并确定求船行路线，并确定 与与 须满足须满足 什么条件才能使小船到达彼岸，什么条件才能使小船到达彼岸， 船在何处登岸？船在何处登岸？问题问题1: 建立我国海上人员缉私的实际模型。

建立我国海上人员缉私的实际模型问题问题2: 外摆线齿轮与圆渐开线齿轮数学模型的外摆线齿轮与圆渐开线齿轮数学模型的区别研究区别研究1616 模型四、追线问题（追击模型） 1.问题描述问题描述（模型准备） 我海上缉私舰雷达发现，距c海里处有一艘走私船正以匀速a沿直线行驶.缉私舰立即以最大速度b追赶，若用雷达进行跟踪保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐路线和追上的时间 2. 模型假设模型假设 （见下页图）1717 1 1）选取走私船逃跑）选取走私船逃跑 的方向为的方向为y y 轴方向；轴方向； 2 2）缉私舰在（）缉私舰在（c c，，0 0）） 处发现走私船在（处发现走私船在（0 0，，0 0）处 3 3）船舰视为两个质点船舰视为两个质点 4 4）设发现船的）设发现船的t t时刻时，走时刻时，走 私船到达私船到达R R（（0 0，，atat）点，缉私舰到达）点，缉私舰到达D D（（ ，， ））. . 3. 3. 模型建立模型建立 因为直线因为直线DRDR与路径相切，所以由几何关系，有与路径相切，所以由几何关系，有 （（1010）） 两端对两端对x x求导，有求导，有 （（1111））代入代入 （最大速度为（最大速度为b b（缉私舰））（缉私舰））y-at1818 得到得到 （（1212）） （此处负号是因为（此处负号是因为s s随随x x减小而增大）减小而增大） 所以由（所以由（1111）） ，（，（1212），得追线的），得追线的DE——DE——数学模型：数学模型： （（1313）） 其中其中 （（1313）是不显示）是不显示y y的的DE.DE.令令 则上式可化为则上式可化为 又又 所以所以1919所以所以 （（1414））先确定先确定k.k.①①若若 从而从而 积分（积分（1414），有：），有：当当t=0t=0时，时， 即走私船被缉私舰捕捉前所跑过的距离为即走私船被缉私舰捕捉前所跑过的距离为所用的时间为：所用的时间为：②②若若 即即 则由（则由（1414）可得：）可得： （（1515））2020 ③③若若 即即 显然，此时缉私舰也不可能追显然，此时缉私舰也不可能追上走私船。

上走私船 作业作业 ：习题四：习题四 .4.3 1. 1. 设飞机在半径为设飞机在半径为 的圆周上以等速的圆周上以等速v v运动，导弹从运动，导弹从圆心出发追踪，当圆心出发追踪，当 时，飞机在时，飞机在 ，导弹在圆，导弹在圆心，若导弹速度也是心，若导弹速度也是v v，而且圆心、导弹、飞机总是在，而且圆心、导弹、飞机总是在一条直线上，证明当飞机飞行至一条直线上，证明当飞机飞行至 时，导弹正好追时，导弹正好追上它问题问题3: 建立导弹攻击目标的数学模型建立导弹攻击目标的数学模型问题问题4: 建立潜水艇的导弹攻击目标的数学模型建立潜水艇的导弹攻击目标的数学模型2121。