专题5.4：几类基本不等式的研究与拓展.doc

专题5.4：几类基本不等式的研究与拓展【探究拓展】探究1：（1）若正数满足，则的取值范围为_________.（2）若正数满足，则的取值范围为_________.（3）当时，函数的最大值为__________.（4）当时，函数的最大值为___________.探究2：设，，则的最小值为_______. 变式1：设，，则的最小值为_______4解：将等式变形为，则变式2：设，，则的最大值为_________ 变式3：设，，则的最大值为________ 探究3：（1）设为正实数，满足，则的最小值为________.（2）若△的内角满足,则的最小值是_________.（3）若已知，则的最小值为 .解：时可取得函数的最小值，此时，此时，最小值为拓展：设是不全为零的实数，求的最大值.探究4：（1）已知且，则的最小值为_________；（2）若A，B，C为△ABC的三个内角，则＋的最小值为 ；（3）已知，则的最小值为__________（4）已知各项为正数的等比数列满足．若存在两项使得，则的最小值为 ．探究5：若是与的等比中项，则的最大值为______ 变式1：已知，，，则的最大值为________ 变式2：已知，，，则的最大值为________ 1（注意这里基本不等式等号成立的条件不满足）探究6：若，且，则的最小值是 ．两次利用基本不等式，两次取得等号的条件能同时具备；变式 1：设，且，则函数的最小值为 ．易得，设，则（当且仅当时等号成立），则原式（当且仅当时等号成立）；变式2：若，且，则的最小值为 ．； （双换元）变式3：设是正实数，且，则的最小值是__________.方法1：考虑通法，消元化为单元函数，而后可用导数法和判别式法求解函数的最小值；方法2：考虑整体替换的方法，分母的和为常数方法2：设，，则，所以=，因为所以探究6：设为正实数，，，.（1）如果，则是否存在以为三边长的三角形？请说明理由；（2）对任意的正实数，试探索当存在以为三边长的三角形时的取值范围.解析：（1）时，此时直角三角形；（2）由题可知： 综上可得：探究7：已知实数满足，则最小值为 . 12变式1：已知，且，，求的最大值为______变式2：已知实数满足方程及,则的最小值是 .，，利用柯西不等式：可解得的取值范围是另解：消去，把视为主元，根据方程有解，易得的取值范围探究8：在平面直角坐标系xoy下，已知双曲线（），右焦点为F，右准线为l,点A，B是右支上两点， ，线段AB的中点M在右准线上的射影点为，则的最大值为 . 变式：函数满足，且均大于，， 则的最小值为 . 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。