复变函数目标检测练习册.doc
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复变函数目标检测练习册-———————————————————————————————— 作者：———————————————————————————————— 日期： 练习一 复数及其代数运算、复数的几何表示一、 填空题1．4＝ 2．＝ Arg= arg 3.z=，那么= argz= 4.将z=－cos + isin表示成三角形式为 表示成指数形式为 Argz= argz= 5.－i的三角表示形式为 ，指数表示形式为 二．分别就0＜与-＜＜-两种情形将复数z=1 - cos + isin化成三角形式与指数形式，并求它的辐角主值三．利用复数表示圆的方程 a2+y2+ bx + cy + d = 0，其中a , b , c , d是实常数。
四．求以下方程所表示的曲线①z + = 1②z－z－ = 4五．证明⑴假设z1 + z2 + z3 = 0且1=2=3=1，那么点z1 , z2 , z3为一内接单位圆的等边三角形的顶点⑵假设z1 + z2 + z3 + z4 = 0且1=2=3=4，那么点z1 , z2 , z3 , z4或者为一矩形的顶点，或者两两重合练习二 复数的乘幂与方根、区域一、 填空题1．〔1＋i〕3＋〔1－i〕3＝ 2．＝ 3．{z1<<2}的内点是 外点是 边界点是 4．0 六、求证：〔1+cos+isin〕n=2ncosn(cos+isin)练习三 复变函数、复变函数的极限和连续性一、 选择题1．以下函数极限存在的是〔 〕A． B. C. D. ( －)2．将Z平面上的曲线x2+y2=4映射成W平面上的曲线u2+v2=的映射函数f(z)为〔 〕A．W= B.W=Z2 C.W= D.W=3．复变函数W=Z2确定的两个实元函数为〔 〕A.u=x2+y2 v=2xy B.u=2xy v=x2-y2 C.u=x2 v=2xy D.u=x2+y2 v=2xy4．两个实二元函数u=5．在映射W=Z2之下，Z平面的双曲线x2－y2=4映射成W平面上的图形为〔 〕2+v2=4 C.直线v=4 D.双曲线uv=4二、考虑f(z)=+在z=0的极限三、函数W=把以下z平面上的 曲线映射成W平面上怎样的曲线？〔1〕y=x (2) x=1 (3) (x－1)2+y2=1四、试讨论函数f(z)= 练习四 解析函数的概念 函数解析的充要条件一、 选择题1．以下命题正确的选项是〔 〕A．如果在z0连续，那么存在B．如果存在，那么在z0解析C．如果在z0解析，那么存在D．如果z0是的奇点，那么在z0不可导2．以下函数仅在z=0处可导的是〔 〕A. ＝2 B. =x+2yi C. =z2 D. =3．以下函数在复平面内处处解析的是〔 〕A．f(z)= B.f(z)=ex(cosy+isiny) C.f(z)= D.f(z)=—黎曼方程的极坐标形式的是〔 〕A．= =-B. = =-C. = =-D. =r =-r5．以下说法正确的选项是〔 〕A．如果z0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z0也是f(z)＋g(z)的一个奇点B．如果z0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z0也是f(z)－g(z)的一个奇点C．如果z0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z0也是f(z)g(z)的一个奇点D．如果z0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z0也是f(z)/g(z)的一个奇点二．设ay3+bx2y+i(x3+pxy2)为解析函数，试求a,b,p之值。 三．以下函数在何处可导，何处解析，并求可导处的导数1．f(z)= 2.f(z)=zIm(z) 3.f(z)=(y3-3x2y)+i(x3-3xy2+1)四．设f(z)=u+iv=为解析函数，证明：假设函数u,v,之一恒等于常数，那么函数f(z)亦为常数练习五 初等函数一． 填空题1．i2-i= (-1) = 1i= 2.e= eln(1-i)= 3.lni= Lni= 4.sin(i+2i)= 二．解方程1．sinz+1=0 z为复数2．e z=-1 z为复数三．求22i的主值及主值的辐角主值四．当z=x+iy时，试证以下不等式〔1〕 (2)练习六 复变函数积分的概念 柯西——古萨根本定理 复合闭路定理一． 填空题1． 设C为正向圆周：=3 那么= = = (n为大于1的正整数)2．= 其中C为正向圆周：＝23．＝ 其中C为正向圆周：＝44．＝ 其中C为正向圆周：＝15．＝ 其中C为正向圆周：二．求和，其中和的起点和终点一样，都是0和1＋i，但路径不同，是连接这两点的直线段，是经过z=1的折线段。 三．试求以下积分的值〔1〕c={ }(2)c={ }(3)c={ }(4)c={ }四．设0 4．区域D内的解析函数的虚部 〔是，不是〕实部的共轭调和函数，实部 〔是，不是〕虚部的共轭调和函数二．设C是不通过z的简单闭曲线，试求g(z)=的值三．求积分的值，假设C为正向圆周：〔1〕 〔2〕 〔3〕四．为调和函数，求满足f(2)=-i的解析函数f(z)=u+iv练习九 复数项级数 幂级数一． 选择题1．以下数列极限不存在的是〔 〕A． B. C. D.2．以下结论正确的选项是〔 〕A．每一个幂级数在它的收敛圆内与收敛圆上收敛B．每一个幂级数收敛于一个解析函数C．每一个在z连续的函数一定可以在z的领域内展开成幂级数D．在收敛圆内，幂级数的和函数是解析函数3．以下级数绝对收敛的是〔 〕A． B. C. D.的是〔 〕A． B. C. D.5．=〔 〕A．0 B. C.1 D.为0 为 为1 时不存在二．以下级数是否收敛？是否绝对收敛？〔1〕 〔2〕 〔3〕 〔4〕三．设级数收敛，而发散，证明的收敛半径为1练习十 泰勒级数 洛朗级数一． 将函数f(z)=展开成z的幂级数，写出它的收敛圆周。 二．求函数在点z＝-1处的泰勒展开式，并指出它的收敛半径三．〔1〕求函数f(z)=在以z＝0为中心，由它的奇点互相隔开的各个不同圆环域内的洛朗展开式〔2〕求函数f(z)=在以z＝1为中心的圆环域： ① ②内的洛朗展开式练习十一 孤立奇点一． 选择题1．Z＝0是函数的〔 〕2．z＝1是f(z)=的〔 〕3．z＝1是f(z)＝的〔 〕4．z＝0是函数f(z)=的 级极点5．是f(z)=的〔 〕二．求出函数f(z)= 的奇点，如果是极点，指出它的级三．函数f(z)=在扩大复平面内有些什么类型的奇点？如果是极点，指出它的级练习十二 留数 留数在定积分计算。
