《微积分(二)》同步练册(最终使用版).doc

第五章 不定积分§5.3 凑微分法和分部积分法〔第5.1~5.2节的内容,请参见本练习册末尾、第五章"自测题"前的附加材料〕1.求下列不定积分：<1> ；<2>；<3>；<4>；<5>；<6>；<7>；<8>；<9>；<10>；<11>；<12*>；<13*>；<14*>．3.求下列不定积分：<1>；<2>；<3>； <4>；<5> ； <6>．4.求下列有理函数的不定积分：<1> ；<2>.5. 求下列不定积分：<1> 已知是的一个原函数,求；<2> 已知是的一个原函数,求.§5.4 换元积分法1. 求下列不定积分： <1>； <2>；<3>； <4>；<5>；<6>； <7><7> ．2*.求不定积分.3*. 试求不定积分．4*.已知,求.第六章 定积分§6.1 定积分的概念与性质1. 利用定积分的几何意义,计算下列定积分：<1〕；<2〕；<3〕.2. 不计算积分,比较下列各积分值的大小〔指出明确的""关系,并给出必要的理由〕.<1〕与； <2〕与；<3〕与； <4〕与．3. 利用定积分的性质,估计的大小.4. 设在区间上连续,在内可导,且满足,试证：在内至少存在一点,使得.5. 试判断下列定积分是否有意义〔即,被积函数在相应的积分区间上是否"可积"〕,并说明理由.<1〕；<2〕,其中．6*.根据定积分的定义,试将极限表达为定积分的形式〔不需要计算出具体的数值结果〕：§6.2 微积分基本定理1．求下列函数关于的导数：<1〕； <2〕；<3〕；<4*〕．2．求下列极限：<1〕；<2〕；<3〕．3．求函数的极值点．4．计算下列定积分：<1〕；<2〕；<3〕； <4〕；<5〕,其中；<6〕,其中为常数．5．设在上连续,且满足,试求．6*．试利用定积分的定义与计算原理求解数列极限,其中．§6.3 定积分的换元积分法与分部积分法1. 试利用定积分的换元法计算下列积分：<1〕；<2〕；<3〕； <4〕；<5〕.2.利用函数的奇偶性计算下列定积分：<1〕； <2〕.3.设是上的连续函数,试证：对于任意常数,均有.4*. 设是上的连续函数,并满足,试求.5.利用定积分的分部积分法计算下列积分：<1〕； <2〕；<3〕.6*. 试计算,其中.7*. 已知是上的连续函数,试证：.§6.4 定积分的应用1. 计算下列曲线围成的平面封闭图形的面积：<1〕；<2〕.2.假设曲线、轴和轴所围成的区域被曲线分为面积相等的两部分,试确定常数的值.3. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定轴旋转一周而成的立体体积：<1〕；绕轴,〔2〕： 〔i〕绕轴〔ii〕绕轴4. 已知某产品的固定成本为,边际成本和边际收益函数分别为,,其中为产品的销售量〔产量〕,试求最大利润.5.已知某产品在定价时的市场需求量,在任意价格处的需求价格弹性为,其中均为常数,为产品在价格处的市场需求量.试求该产品的市场需求函数．§6.5 反常积分初步1.判定下列无穷限积分的敛散性；若收敛, 则求其值. <1>〔为常数〕；<2>〔为常数〕；<3>〔其中,均为常数〕.2.求下列极限：<1>；<2*>.3.判定下列积分的敛散性；若收敛, 则求其值.<1>,为常数；<2>； <3>.4.利用函数和函数的性质,以与的结果,分别计算,,.5.计算下列反常积分〔提示：利用函数的定义,以与的结果〕<1>； <2>.6*.考察曲线,,试求解：<1>该曲线与轴和直线所围成的平面图形的"面积"；<2>上述图形绕周旋转一周所成旋转体的"体积".第七章 多元函数微积分学§7.1 预备知识 §7.2 多元函数的概念1. 已知点,在轴上找出与点相距的点．2. 求过点,,的平面方程．3. 分别写出下列区域的"x-型"与"y-型"表达形式：<1> 由、、所围成的区域；<2> 由、所围成的区域；<3> 由、所围成的区域．4. 求下列函数的定义域并画出定义域的示意图：〔1〕；〔2〕．5. 设,求．6. 试求下列二元函数的极限：〔1〕； 〔2〕．7*. 设,讨论在点处的连续性．§7.3 偏导数与全微分 1. 求下列函数在给定点处的偏导数：〔1〕,求；〔4〕,求．2. 求下列函数的指定偏导数：〔1〕,求；〔2〕,求；〔3〕,求．3. 设,分别讨论在处是否连续、是否存在偏导数．4. 求下列函数的全微分：〔1〕；　　　　　　　　　〔2〕．5. 求函数在点<2,1>处的全微分．6. 计算的近似值．7. 已知一矩形的长为6米、宽为8米.当长增加5厘米,宽减少10厘米时,求矩形对角线长度变化的近似值.§7.4 多元复合函数与隐函数微分法 1. 求下列复合函数的偏导数或导数：〔1〕,求；〔2〕,求；〔3〕,求；〔4〕,求．2. 设,求．3. 设可导,,证明：．4. 求下列方程所确定隐函数的导数：〔1〕；〔2〕．5. 求下列二元〔三元〕方程所确定的隐函数〔〕的全微分：〔1〕；〔2〕．§7.5 高阶偏导数 1. 设,求．2.设,求．3. 设可微,, 求．4. 设可微,,求．5. 设,求．§7.6 多元函数的极值 1. 求的极值．2. 求在区域上的最大值与最小值．3. 求在条件,下的最值．4. 求曲线上到平面距离最短的点．5. 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种商品,商品在两个市场上的需求量与定价分别满足,,其中分别是该产品在两个市场上的价格<单位：万元/吨>,分别是该产品在两个市场上的需求量<单位：吨>,且该企业生产这种产品的总成本函数为.如果该企业实行价格无差别策略,试确定两个市场上该产品的销售量与统一的价格,使该企业的总利润最大化.§7.7 二重积分 1. 将二重积分按两种次序化为累次积分,其中积分区域分别给定如下：〔1〕由曲线与直线所围成；〔3〕由直线,,所围成．2. 交换积分次序：〔1〕； 〔2〕；〔3〕．3. 计算二重积分：〔1〕；〔2〕；〔3〕,其中由所围成．4. 计算累次积分：〔1〕； 〔2〕．5. 画出区域,并把化为极坐标系下的二次积分：〔1〕；〔2〕．6. 利用极坐标变换计算：〔1〕,；〔2〕．7. 用二重积分计算曲线,围成的平面图形的面积．8. 用二重积分计算由坐标面与平面所围立体的体积．9*. 计算二重积分．10*. 试证明下列命题：〔1〕若连续于,则；〔2〕若在上均连续、单增,则．第八章 无穷级数§8.1 常数项级数的概念和性质1.利用下列级数的部分和,求和以与和值.<1>； <2>．2.判断下列级数是否收敛；若收敛,求其和值. <1>；<2>；　　　　　　　　<3>．3．已知级数收敛,且和值为,证明：<1> 级数收敛,且和值为；<2> 级数收敛. 4．利用无穷级数性质以与几何级数与调和级数的敛散性,判别下列级数的敛散性：<1>；<2>；<3>；<4>．5．给定级数,有,试证级数收敛,其和．§8.2 正项级数1．利用比较判别法或其极限形式判别下列级数的敛散性：<1>；<2>；<3>； <4>．<5>； <6>．2．利用比值判别法或根值法判别下列级数的敛散性：<1> ； <2>；<3>；<4> ；<5>；<6>．3*．证明：若正项级数收敛,则与均收敛．4*．假设正项级数发散,试证：1〕级数发散；2〕级数收敛．§8.3 任意项级数1. 判别下列级数是绝对收敛,条件收敛还是发散？<1>； <2>；<3>； <4>；<5>.2.判别下列交错级数的敛散性：<1>；<2>.3．如果级数绝对收敛,试证：<1> 级数绝对收敛；<2>级数收敛. §8.4 幂级数1．求下列级数的收敛半径、收敛区间和收敛域：<1>；<2>；<3>；<4>；<5>.2．求下列级数的收敛域,以与它们在收敛域上的和函数： <1>；<2>.3．求幂级数收敛域与和函数,并求的和.4．已知级数在时收敛,试讨论在以下各点处的敛散性：<1>；<2>；<3>；<4>.5．将下列函数展开成的幂级数,并写明后者的收敛域.<1>；<2>；<3>； <4>.6．求下列函数在指定点的幂级数展开式,并求收敛域. <1>；<2>．第九章 微分方程初步§9.1 微分方程的基本概念1. 验证下列各函数是否为所给微分方程的通解：<1> ,；<2> ,；<3> ,．2. 验证函数是否为初值问题,的解：3. 验证函数是否分别为：1〕微分方程的解；2〕初值问题,,的解：§9.2 一阶微分方程1. 求下列方程的通解或在给定条件下的特解：<1> ； <2> ；<3> ； <4> ；<5> ； <6> ；<7> ； <8> ；<9> ,．2. 设函数满足方程,试求．3*. 设函数满足方程,试求．4*. 设,证明：和函数满足微分方程方程,并求．第十章 差分方程§10.1 差分方程的基本概念1. 计算下列差分：<1> ,求； <2> ,求．2. 按教材P330定义改写下列差分方程,并指出方程的阶数：<1> ； <2> ．3. 验证以下是否为数列所给方程的解〔其中,为任意常数〕：<1> ,；<2> ,§10.2 简单的一阶常系数差分方程的解法求下列差分方程的通解或满足给定条件的特解：<1> ； <2> ；<3> ,．[补充材料] 第五章 不定积分〔2011学年第一学期内容缩编〕§5.1 原函数与不定积分的概念 §5.2 基本积分公式1.已知一曲线经过点,且在其上任一点处的切线斜率等于,求曲线的方程.2.求下列不定积分：<1>已知,求不定积分；<2>已知,求不定积分；<3>已知,求不定积分.3.求下列不定积分：<1>；<2>；<3> ；<4> ；<5>；<6> ；<7> ； <8>；<9>.第五章 自测题一、选择题 1．设,则的结果是[ ]． [A][B][C] [D]2．= [ ]．[A] [B][C][D]3．设,则[ ]．[A] [B] [C] [D] 4．若,则下列等式中一定成立的是[ 。