基本求导积分公式二.doc

f'(c) = 0 f(xA n) = n xA(x-1)f(1/x) = -1/xA2f( Vx) = 1/2 Vxf( In x) = 1/xf( log ax) = 1/x In a (a 为底)f'(aAx) = aAx * n af'(eAx) = eAxf'(sinx) = cosxf'(cosx) = -sinxf'(tanx) = (secA2)x = 1/(cosA2)xf'(cotx) = -(cscA2)x = -1/(sinA2)xf'(secx) = cesx * tanxf'(cscx) = -cscx * cotxf'(arcsinx) = 1/ -xAV2) (1f'(arccosx) = -1/ V(-1xA2)f'(arctanx) = 1/1+xA2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1. y=f[g(x)],y'=f'[g(x)] ?g'(x) 『f'[g(x)] 中 g(x )看作整个变量， 而 g'(x) 中把 x 看作变量』2. y=u/v,y'=u'v-uv'/vA23. y=f(x) 的反函数是 x=g(y )，则有 y'=1/x'证：1. 显而易见， y=c 是一条平行于 x 轴的直线，所以处处的切线都是平行于 x 的，故斜率为0。

用导数的定义做也是一样的： y=c, " y=c-c=0,lim "x宀0" y/ " x=02. 这个的推导暂且不证， 因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到 n 为任意实数的一般情况在得到 y=e^x y'=eAx 和y=lnx y'=1/x 这两个结果后能用复合函数的求导给予证明3. y=aAx,"y=aA(x+ " x)-aAx=aAx(aA " x-1)"y/ " x=aAx(aA " x-1)/ " x如果直接令"x-0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数 3 = aA "x-1通过换元进行计算由设的辅助函数可以知道：" x=loga(1+ 3 )所以(aA " x-1)/ " x= 3 /loga(1+ 3 )=1/loga(1+ 3 )人1/ 3显然，当"x— 0时，3也是趋向于 0的而lim 3 — 0(1+ 3 )人1/ 3 =e,所以lim 3 — 01/loga(1 +3 )A1/ 3 =1/logae=lna 把这个结果代入 lim " x— 0" y/ " x=lim " x—0aAx(aA " x-1)/ "x 后得到 lim " x — 0" y/ " x=aAxlna 。

可以知道，当 a=e 时有 y=eAx y'=eAx 4. y=logax" y=loga(x+ " x)-logax=loga(x+ " x)/x=loga[(1+ " x/x)Ax]/x" y/ " x=loga[(1+ " x/x)A(x/ " x)]/x因为当"x— 0时，"x/x趋向于0而x/ "x趋向于g,所以 lim "x— 0loga(1+ "x/x)A(x/"x) = logae,所以有lim " x — 0" y/ " x = logae/x 可以知道,当 a=e 时有 y=lnx y'=1/x 这时可以进行 y=xAn y'=nxA(n-1) 的推导了因为 y=xAn, 所以 y=eAln(xAn)=eAnlnx,所以 y'=eAnlnx ?(nlnx)'=xAn ?n/x=nxA(n-1) 5. y=sinx" y=sin(x+ " x)-sinx=2cos(x+ " x/2)sin( " x/2)" y/ " x=2cos(x+ " x/2)sin( " x/2)/ " x=cos(x+ " x/2)sin( " x/2)/( " x/2)所以 lim "x—0"y/"x=lim "x—0cos(x+ "x/2) ?lim "x—0sin( "x/2)/( "x/2)=cosx6. 类似地,可以导出 y=cosx y'=-sinx 。

7. y=tanx=sinx/cosxy'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cosA2x=(cosA2x+sinA2x)/cosA2x=1/cosA2x8. y=cotx=cosx/sinx第 # 页 共 13 页y'=[(cosx)'s in x-cosx(s in x)']/s in A2x=-1/s in A2x9. y=arcs inxx=s inyx'=cosyy'=1/x'=1/cosy=1/ V 1-si nA2y=1/ V 1咲人210. y=arccosxx=cosyx'=-si nyy'=1/x'=-1/siny=-1/ V 1-cosA2y=-1/ V 1帜人211. y=arcta nxx=ta nyx'=1/cosA2yy'=1/x'=cosA2y=1/secA2y=1/1+ta nA2x=1/1+xA212. y=arccotxx=cotyx'=-1/si nA2yy'=1/x'=-si nA2y=-1/cscA2y=-1/1+cotA2y=-1/1+xA2等和其他较复杂的复另外在对双曲函数 shx,chx,thx 等以及反双曲函数 arshx,archx,arthx合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与4. y=u 土 v,y'=u' 土 v'5. y=uv,y=u'v+uv'1 •基本求导公式⑴（C）丄 0 （C 为常数）⑵（xn）J nxn4 ；—般地，（x）h\x1 1 1特别地:(X)=1 , (x2) =2x,(丄)一4，( X)二 1 。

x x 2^X⑶（ex）、ex ；般地，(ax)二 ax|na(a 0,a = 1)1⑷(ln x)x般地,(log a x)1xln a(a 0, a 1)第#页共13页2•求导法则⑴四则运算法则设 f(x) , g(x)均在点 x 可导，则有：(I) (f (x) _g(x)) = f (x) _ g (x)；(n) (f (x)g(x)^ f (x)g(x) f (x)g (x)，特别(Cf(x))JCf (x) (C 为常数);(m) (g(x)f(x))」(x)吧"^ W)，特别说厂黑g2(x)3.微分 函数y = f (x)在点x处的微分：dy = y dx = f (x)dx4、常用的不定积分公式(1)x dx = x‘ C (：北-1), dx = x c, xdx = c, x dx = ' •土 X 24x3dx 二仝 c43x3 .;(2)exdx 二 ex C ; axdx =xaIn aC (a 0,a = 1);(3)kf (x)dx 二 k f (x)dx (k 为常数)5、定积分f(x)dx 二 F(x) |： = F(b)-F(a)b b ba[k1 f(x) k2g(x)]dx a f (x)dx k? a g(x)dx分部积分法设u(x) , v(x)在［a, b］上具有连续导数u(x),v(x)，则b b bau(x)dv(x) =u(x)v(x) a - a v(x)du(x)6、线性代数特殊矩阵的概念(1 )、零矩阵10 …0101 ■■亠,(2)、单位矩阵In =+0_*00 …010…二阶丨2粽10 1o o_-22印0(3)、对角矩阵A =_00a2+・・■ *0 0⑷、对称矩阵aij =aji , A2 1 21 - 3 - 5】2 -5 7 一0a22 …a2n下三角形矩阵A=0a?… 0++「°0 0a nn1 I00 0 anai211(5)、上三角形矩阵 A二a1n-an a12a1n1ana21…an1、矩阵转置A =a21 a22 …*a2n转置后AT =a12a22 …+■ ■・ *an2an1 an2 …ann1 Ia1 na2n…ann(6)-nJf h+ +b deg+ +a c_--nJf he g_+-II—J b d a c_6、矩阵运算]严 + bg af + bha bc d g h |[ce dg cf dh7、MATLAB^件计算题y的命令语句。

例6试写出用MATLAB^件求函数y =1 n(・.x • X2 • ex)的二阶导数 解: >>clear;>>syms x y;>>y=log(sqrt(x+xA2)+exp(x));>>dy=diff(y,2)例:试写出用MATLAB软件求函数y=ln( x • ex)的一阶导数/的命令语句>>clear;>>syms x y;>>y=log(sqrt(x)+exp(x));>>dy=diff(y)2 A 3例11试写出用MATLAB^件计算定积分 -ex dx的命令语句1 x解：>>clear;>>syms x y; >>y=(1/x)*exp(xA3);>>in t(y,1,2)1 x3例试写出用MATLAB软件计算定积分 一e dx的命令语句x解：>>clear;>>syms x y;>>y=(1/x)*exp(xA3);>>i nt(y)MATLAB^件的函数命令表1 MATLAB软件中的函数命令函数axtxx eln xlg xlog；ixMATLABxA asqrt(x)exp(x)log( x)log10(x)log 2(x)abs(x)运算符号运算符+-*/A功能加减乘除乘方典型例题例1设某物资要从产地 Al, A2, A调往销地Bl, B2, B3, B4,运输平衡表（单位：吨）和运价表（单位：百元/吨）如下表所示：运输平衡表与运价表、、销地产地BiB3供应量BB2BbB4A17311311A41928A974105需求量365620（1） 用最小元素法编制的初始调运方案，（2） 检验上述初始调运方案是否最优，若非最优，求最优调运方案，并计算最低运输 总费用。

找空格对应的闭回路，计算检验数:解：用最小元素法编制的初始调运方案如下表所示： 运输平衡表与运价表、销地 产地'B1EbB3供应量B1B2BbB4A437311311A3141928A63974105需求量365620。