[数学]复变函数第三章-2.ppt

1,§3.3 柯西积分公式,,设 为单连通域D内一点， 在D内解析，C为D内,,,绕 的一条闭曲线，考虑积分,函数 在 不解析，所以在D内沿围绕 的一条,曲线C的积分 一般不为零根据闭路变形原理，此积分在D内沿任何一条围绕,的简单闭曲线的值都相同下面求这个积分的值2,既然沿围绕 的任何简单闭曲线积分值都相同那么,就取以 为中心，半径为 ( >0)的很小,圆周 (取其正向)作为积分,曲线C从而使我们猜想积分 的,值也将随着 的减小而接近于,其实两者是相等的，即,即有下面的定理由于 的连续性,3,定理 (柯西积分公式),设f(z)在简单闭曲线C所围成的区,域D内解析，在 上连续，z0是D内一点，则,（3.10）,公式(3.10)称为柯西积分公式柯西积分公式说明：,如果一个函数在简单闭曲线C内部解析，在C上连续，,则函数在C内部的值完全可由C上的值而定它不仅提供了计算某复变函数沿简单闭曲线积分的一种方法，而且可以帮助我们研究解析函数的许多重要性质。

4,[证],,在D内除点 外,,均解析现以点 为中心，以充分小,,,的 为半径作圆L: ，使,,,L及其内部均含于D内在C与L所围的区域上应用闭路变形定,理得,因 在 处连续，则对任意给定的 ，存在,,,，使当 时，就有 5,由此,,,,其中,,这表明不等式左端积分的模可以任意小，只要 足够,小就行了根据闭路变形原理，该积分的值与 无关，所,所以只有在对所有的 积分值为零时才有可能因此，可得,[证毕],6,如果C是圆周 ，由(3.10)可得下面推论.,推论1（平均值公式）,设 在 内解析，,在 上连续，则,即：一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.,推论2,设 在简单闭曲线C1, C2所围成的二连域D内解析,,并在C1, C2上连续, C2在C1的内部, z0为D内一点，则,此式为多连域柯西积分公式。

7,若将 看作变数，则（3.10）式写成如下形式：,其中z在C的内部柯西积分公式的应用:,常根据柯西积分公式，通过求函数 f(z)在某一点 的值来求积分的值,,,8,【例3.14】 求下列积分的值：,(1) ；(2) ;,(3) .,解:,(1),9,(2),,由平均值公式还可推出解析函数的一个重要性质, 即解析函数的最大模原理3),10,定理3.8 (最大模原理),设函数 在区域D内解析，又 不是常数，,,则在D内 没有最大值解析函数的最大模原理说明：一个解析函数的模, 在区域内,的任何一点都达不到最大值, 除非这个函数恒等于常数[证],记 若 ，则定理结论成立.,现设 ，用反证法，若D内有一点 使 ，,则由推论1(平均值公式)，只要圆盘 含于D，,就成立着,于是,11,,,由此推出,,,可以证明，在 内 。

因为，若不然，,,,,就有一点 使 ，故存在,,,使 由于 在 内为连,,,,,续，故在圆周 上连续于是存在着 ，,,使当 时 ，,,,从而有,12,,因此有下面的估计,,,,但这与 相矛盾！所以 在,,,,内成立再由在D内解析，就可知在 内恒为一常,数，此常数的模为 以上证明了，若D内有一点 使 ，则只要圆,盘 含于D，在 内 便恒等于一个模,为 的常数记 现在利用这一结果来证明，,在整个D内 恒等于常数设M为函数模的最大值）,13,,,,,,,图3.12,设 是D内任意一点。

由D的连通性, 在D内有一条折线l 连接,,和 (图3.12). 记l 与D的边界的距离为d . 在l上从 到 依次插入分点 ，使,,,,,,,则每个圆盘 一定含于D内，且包含着点 根据上述证明的结果，在,内， ，而 在此圆盘内，故 再,从 出发，用上述证明的结果知在 内，,，而 在此圆盘内，故 经过,步，就可证明 由于 的任意性，知,在D内 但这与原来给定 不为常数的条,件相矛盾，故 在D内没有最大值14,证明二:,,姑且假设 在D的内部达到最大值M；并把D内所有的使,的点的集合记为B如果B=D，那么我们在D内处处,有 ，即 是一常数，由此可知 在D内也是一常数。

这是与定理得假设相矛盾的如果B与D不相同，那么必有这集合的一个边界点z0存在，它,同时也是D的一个内点由于 是连续的，有,因为在z0的邻域内都必有B的点，作一个在区域D,,内的圆周C： 使得在圆周上至少有一个,集合D的点z1这时 ，又由于 是连续的，,对于足够小的ε>0 ，总可以指定圆周C的这样,一个包含点z1在内的部分C1，使得在C1上有,15,,,,,,,,,,,,,,,,把圆周的其余部分记为C2，显然在C2上有,根据中值定理，有,其中 是圆周的弧长单元,1,2,3,16,,,,,,,,,,,,,,,,则可以得到,由于 所以上式不可能成立，因此前面所做的假设不能 成立因此最大值定理得证17,,,,,,,,,,,,,,,,推论1,在区域D内解析的函数，若其模在D的内点达到,最大值，则此函数恒为常数推论2,若 在有界区域D内解析，在 上连续，则,必在D的边界上达到最大模[证],若 在D内为常数，推论显然正确。

若 在D内,不恒为常数，由连续函数的性质及本定理立即得证18,【例3.15】设函数 在全平面为解析，又对任意 ,,,令 求证： 是 的单调上升函数[证],因为对于任意的 ， 在 上为解析, 所以由最,,大模原理及其推论2知 在 上的最大值必在,,,,上取得因此，当 时，有,,即： 是 的单调上升函数就是说，,19,§3.4 解析函数的高阶导数,解析函数的导数仍然是解析的关于解析函数的高阶导数我们有下面的定理：,定理,设函数 在简单闭曲线C所围成的区域D内解析，,而在 上连续，则 的各阶导函数均在D内解析，,对D内任一点z，有,(3.11),即：,解析函数的任意阶导数都存在20,[证],先证 的情形根据定义,,,,从柯西积分公式得,,,,,从而有,,21,图3.12,对上式右端的积分值，作如下的估计。

因f( )在C上连续，可设M 是f( )在C上的最大值，又设 为点z到曲线C上各点的最短距离，于是当 在C上时，有 ,,,先取 (图3.12)，,,则有,,,,,因此,22,因为,,,,其中L表示C的长度，于是有,,,由此可知,,,,,即 时(3.11)式成立23,现在假定当 时(3.11)式成立，再来推证当,时(3.11)式也成立为此将 看作 ，,用类似于 情形的推证方法可证得 时(3.11),式也成立故由数学归纳法可证明,,,[证毕],——解析函数的高阶导数公式,可从两方面应用这个公式：,用求积分来代替求导数；,用求导的方法来计算积分，即,,24,【例3.16】求下列积分的值，其中C为正向圆周： .,1) ； 2),解: 1) 函数 在C内的 处不解析，但,在C内却是处处解析的。

由高阶导数公式有,25,,图3.13,2) 函数 在C内的 处不解析在C内以为i中心作一个正向圆周C1，以-i为中心作一个正向圆周C2(图3.13)，那么函数,在由C, C1和C2所围成的区域内是解析的.,根据复合闭路定理，有,26,,,,由高阶导数公式有,,27,【例3.17】计算积分 ，其中C为不经过点,,0与1的正向简单闭曲线此题没有明确给出积分路径C，我们必须就点0， 1与C的各种不同位置关系，利用柯西积分定理与柯西积分公式来计算分析：,解: (1) 点0，1均不在C内部时,此时被积函数 在以C为边界的闭区域,上解析，由柯西积分定理得,28,,(2) 点0在C内，而点1在C外时,在C内挖去点0的邻域，由闭路变形原理与柯西积分公式得,其中C0是以点0为中心而包含在C内部的圆周3) 点1在C内，而点0在C外时，同上可得,其中C1是以点1为中心而包含在C内部的圆周29,,(4) 点0，1均在C内部时,C内两个互不相交且互不包含的圆周C0与C1, C0以点0为圆心, C1以点1为圆心, 则由多连通域的积分基本定理和柯西积分公式得,故,其中D为C所围成的区域。