2010年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）)1. 不等式2-x4+x>0的解集为________2. 若复数z=1-2i（i为虚数单位），则z⋅z-z=________．3. 动点P到点F(2, 0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则P的轨迹方程为________．4. 行列式cosπ6sinπ6sinπ6cosπ6的值是________．5. 圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=________．6. 随机变量ξ的概率分布率由下图给出：x78910P(ξ=x)0.30.350.20.15则随机变量ξ的均值是________．7. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在右边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入________．8. （上海卷理8）对任意不等于1的正数a，函数f(x)=loga(x+3)的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标是________9. 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P(A∪B)=________．（结果用最简分数表示）10. 在n行m列矩阵123…n-2n-12234…n-1n1345…n12………………n12…n-3n-2n-1中，记位于第i行第j列的数为aij(i, j=1, 2…,n)．当n=9时，a11+a22+a33+...+a99=________．11. 将直线l1:nx+y-n=0和直线l2:x+ny-n=0(n∈N*, n≥2)x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为Sn，则limn→∞Sn=________．12. 如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、(B)、C、D、O为顶点的四面体的体积为________．13. 如图所示，直线x=2与双曲线Γ：x24-y2=1的渐近线交于E1，E2两点，记OE1→=e1→，OE2→=e2→，任取双曲线上的点P，若OP→=ae1→+be2→(a, b∈R)，则a、b满足的一个等式是________．14. 以集合U={a, b, c, d}的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：(1)⌀、U都要选出；(2)对选出的任意两个子集A和B，必有A⊆B或B⊆A，那么共有________种不同的选法．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）)15. “x=2kπ+π4(k∈Z)”是“tanx=1”成立的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件16. 直线l的参数方程是x=1+2ty=2-t(t∈R)，则l的方向向量d→可以是（ ）A.(1, 2) B.(2, 1) C.(-2, 1) D.(1, -2)17. 若x0是方程(12)x=x13的解，则x0属于区间（ ）A.(23, 1) B.(12, 23) C.(13, 12) D.(0, 13)18. （上海卷理18）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人将（ ）A.不能作出这样的三角形 B.作出一个锐角三角形C.作出一个直角三角形 D.作出一个钝角三角形三、解答题（共5小题，满分74分）)19. 已知0Sn成立的最小正整数n．21. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）． （1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线A1B3与A3B5所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）22. 若实数x、y、m满足|x-m|>|y-m|，则称x比y远离m． （1）若x2-1比1远离0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2abab；（3）已知函数f(x)的定义域D={{x|x≠kπ2+π4，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f(x)等于sinx和cosx中远离0的那个值．写出函数f(x)的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．23. 已知椭圆┍的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，点P的坐标为(-a, b)． （1）若直角坐标平面上的点M、A(0, -b)，B(a, 0)满足PM→=12(PA→+PB→)，求点M的坐标；（2）设直线l1:y=k1x+p交椭圆┍于C、D两点，交直线l2:y=k2x于点E．若k1⋅k2=-b2a2，证明：E为CD的中点；（3）对于椭圆┍上的点Q(acosθ, bsinθ)(0<θ<π)，如果椭圆┍上存在不同的两个交点P1、P2满足PP1→+PP2→=PQ→，写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的θ的取值范围． 参考答案与试题解析2010年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1. (-4, 2)2. 4+2i3. y2=8x4. 125. 36. 8.27. S=S+a8. (0, -2)9. 72610. 4511. 112. 82313. 4ab=114. 36二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15. A16. C17. C18. D三、解答题（共5小题，满分74分）19. 解：原式=lg(cosx⋅sinxcosx+cosx)+lg2(cosx⋅22+sinx⋅22)-lg(sin2x+cos2x+2sinxcosx)=lg(sinx+cosx)+lg(cosx+sinx)-lg(sinx+cosx)2=0．20. 当n＝1时，a1＝-14；当n≥2时，an＝Sn-Sn-1＝-5an+5an-1+1，所以an-1=56(an-1-1)，又a1-1＝-15≠0，所以数列{an-1}是等比数列；由（1）知：an-1=-15⋅(56)n-1，得an=1-15⋅(56)n-1，从而Sn=75⋅(56)n-1+n-90(n∈N*)；由Sn+1>Sn，得(56)n<115，即n>log56115≈14.9，最小正整数n＝15．21. 解：（1）设圆柱的高为h，由题意可知，4(4r+2h)=9.6，即2r+h=1.2，s=2πrh+πr2=πr(2.4-3r)=3π[-(r-0.4)2+0.16]，其中01∴ x2-1>1或x2-1<-1解得x∈(-∞,-2)∪(2．+∞)（2）证明：欲证明a3+b3比a2b+ab2远离2abab即证|a3+b3-2abab|>|a2b+ab2-2abab|，又任意两个不相等的正数a、b即证$|\frac{b^{2}}{a} + \frac{a^{2}}{b} - 2\sqrt{ab\hspace{0pt}}| > |a + b - 2\sqrt{ab\hspace{0pt}}|$由于$a + b \geq 2\sqrt{ab\hspace{0pt}}$，b2a+a2b-(a+b)=(a+b)(a2+b2-2ab)ab>0∴ b2a+a2b>a+b>2ab即证$|\frac{b^{2}}{a} + \frac{a^{2}}{b} - 2\sqrt{ab\hspace{0pt}}| > |a + b - 2\sqrt{ab\hspace{0pt}}|$成立∴ |a3+b3-2abab|>|a2b+ab2-2abab|（3）由题意知f(x)=sinx,x∈(kπ+π4，kπ+3π4)cosx,x∈(kπ-π4，kπ+π4)性质：①函数是偶函数；②周期T=π2③在区间(kπ2+π4，kπ2+π2]k∈z是增函数，在[kπ2-π4，kπ2+π4)k∈z是减函数④最大值为1，最小值为22⑤定义域D={x|x≠kπ2+π4，k∈Z，x∈R}23. 解：（1）设M(x, y)∵ PM→=12(PA→+PB→)，∴ 2(x+a, y-b)=(a, -2b)+(2a, -b)∴ 2(x+a)=3a2(y-b)=-3b，解得x=a2y=-b2M点坐标为(a2, -b2)（2）由方程组y=k1x+px2a2+y2b2=1，消y得方程(a2k1+b2)x2+2a2k1px+a2(p2-b2)=0，因为直线l1:y=k1x+p交椭圆于C、D两点，所以△>0，即a2k12+b2-p2>0，设C(x1, y1)、D(x2, y2)，CD中点坐标为(x0, y0)，则x0=x1+x22=-a2k1pa2k12+b2，y0=k1x0+p=b2pa2k12+b2，由方程组y=k1x+py=k2x，消y得方程(k2-k1)x=p，又因为k2=-b2a2k1，所以x=pk2-k1=x0，y=k2x=y0故E为CD的中点；（3）求作点P1、P2的步骤：1∘求出PQ的中点E(-a(1-cosθ)2, b(1+sinθ)2)，2∘求出直线OE的斜率k2=b(1+sinθ)2a(1-cosθ)2=b(1+sinθ)a(1-cosθ)，3∘由PP1→+PP2→=PQ→，知E为CD的中点，根据（2）可得CD的斜率k1=b(1-cosθ)a(1+sinθ)，4∘从而得直线P1P2的方程：y-b(1+sinθ)2=b(1-cosθ)a(1+sinθ)(x+a(1-cosθ)2)，5∘将直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标．欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内，所以(1-cosθ)24+(1+sinθ)24<1，化简得。
